Fluctuations d'échantillonnage Stage

Pierre Dusart

Description

IREM Limoges Année 2012 Statistiques Inférentielles Pierre DUSART Prérequis : Fluctuations d'échantillonnage (Stage 1) Convergence de la loi binomiale vers loi normale (Stage 2) Propriétés de la loi normale (Stage 2)

• zn ≤


• intervalle de fluctuation asymptotique de la variable xn au seuil


• recherche des bornes de l'intervalle


• intervalle de fluctuation au seuil


• intervalle de proche en proche


• seuil fixé


• intervalle de fluctuation asymptotique

Sujets

• Dusart

Informations

• Publié par: pefav
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• Langue: Français

Extrait

normaleIREMrgenceLimogesnormaleAnn?ebinomiale2012Propri?t?sStatistiquesvInf?renlatiellesersPierre2)DUSARlaT2)Pr?requise:deloiFluctuationsvd'?cloihan(Stagetillonnagede(Stageloi1)(StageConX X
[a;b]
X
=P (X62 [a;b]):
P (X2 [a;b]) = 1 :
1
X
IF1
IF2
X IF3
IF4
X B(n;p) ]0; 1[
n = 100 p = 0; 3 = 0; 05
IF [22; 39]1
IF np2
n p [21; 39]
IF X [20; 39]3
X X
IF4
B N p
IF IF1 2
IF IF1 2
IF X = 03
a P (Xa) = 0; 025
b X =n
P (Xb) = 0; 025 X = 0
b P (Xb) = 0; 975:
n;p;
a b IF3
etlal'ext?rieurprobabilit?dedealablegagnerde(?vtel?nemesenetttconteltraire)loisoitiformeautanla,ous0.5)suneoirensuitevjusqu'?lecpr?f?reconenerdre,partirplpasdonnerCetunin0,025tervdealleuctuationestparappdesel?ininlatervourallehedeiuctuationPauossibleseuilvn'aimetoutesonensuite(ou(icicoerecienal?atoitcettedetervsde?Acurit?).etRemarquet1?:etitcommeplusindiqu?l'indans(leindoaucumen(approtproressource,deunouri,nd?partterv(Laalleourdemouctuation).aualleseuilc1vn'a?pas(seuil)d'ins'int?r?tetiteetloi.n'aonpaserdepr?alit?.(ouRemarqueOn2alisation:vCette),notionaleurd'inbtervM?mealleeutdeuneuctuationjusqu'?est1.1?FLUCTUAnetervpas?confondreestadonn?s).vvec2inlatveprobabilit?rv,025alleplusdeinf?rieureconancealeur,quequel'onaleursvaerra0,9701.parunelaeausuite.alleEnceet,0,95,danscertainesledepremieretcheas,[20,la0,9786.loil'ondeetCommeqprendetallesestparam?tresvalesonprobabletloiconnvus.enneOnautrespneutincproheprrc(enherprobabilit?:pconuntervinlatervhoisie.alle?quionaplusl'aleuramplitudeonmiournimalebinomial),(te:ouritiersde)veutlepluspluspphercetitvinOntervplusallepcensatr?onautourcettedeourl'espn?ranceque(suithoiecOnallemen)ariableincr?menunaleinertervOnalledequi1sym?trisePlederniersle,probabilit?shercquepuisquetervtervsoit(lorsque?sonl'ext?rieurp(id?el'inde?ppas?):prendreunainectervealleinf?rieureappro0cqueh?soit(calculpapproetc?h?quedesoitseconde,grandoulremplacemenvtdepartervunlle,eprobabilit?loiconvtinsurue)niv(seconde),n'appartiennetervquedeprobabilit?appro)h?1.2seuilApplicationvasousuconditionscasximationbinomialmiserSoiteadoivunecvdea:r40]iprobabilit?ableM?thosuiv:anPtqueuneit?)loiuiprobabill(?c'est-?-direonerdre,unptervdedeetrestrein)?unseuler?elaleurdansvl'inurtervplusallep(not?uniformerisquelalela.aleurOnypprequenloisd,O??tendtitrecetd'exempleterv,dealorscma?triseenOno,he.incluanformelalad'unedealeuralleossetbletervtig?einl'inunalle)surobtenirmiserprobabilit?.cOndescourhet?resser,cparthelaunpinvtervpal(leSidepuctuationleauasseuipuislincr?men?cettedealeurplestrouvdi?renl'entscettecrit?resque:ossiblesaleurs(lesconduitprendreelapcle),proceluihequiossible).acl'amplitudeheminimalela:aleuraleurs,.vpartd'autresladegrandprobabilit?aleur0,9502ossibler?(ue,surpuismiserd?cr?mdete),vlepplustrouvpl'eetittierinteltervconnalleunecensitr?.autourrde.l'espp?rance?gale(l'espt?rancedevvautetdroitterpvoururunetrouvloiconsid?rebinomialequedeD?nitionsparam?tresFluctuationlealleetInaTION)DE:ourl'oneSiinprobable.aldepasprobabilit?rec0,9625hefaire(cetplusnlaallealeurx?,LLEnivVeautpremi?re),Ilceluieutquiunesym?trisedeslesaleursprobabilINTERit?s1queourvsoit0,95.selonIF X
92Pierre?DUSARe/Tde3supprim?esExemplealeurdederecLesherc69hetdesscStatistiquesvIREMpossiblede:(soitCal0culons100).lesprobabilit?sprobabilit?sdeasso?coni?es?t??duch?ma.haquIF4
p p
[np n;np + n]
p p
[np u np(1 p);np +u np(1 p)]
u P ( u <Z <u ) = 1 Z N (0; 1)
n = 100 p = 0:3 = 0:05 u = 1:96
IF = [30 10 ; 30 + 10] [21; 018 ; 38; 982]4
p n
p
n
n
X B(n;p)n
P (X a)P (Z a)n n
p
Z N (np; np(1 p))n
p
a P (Z a) = 0:025 Z N (np; np(1 p))n n p
b P (Z b) = 0:975 Z N (np; np(1 p))n n
p
N (np; np(1 p))
0; 025 0; 975 a b np
(np (1 p))
95%,vjusticationaleursl'deauxm?mestetendeladesde,l'aideleserinteltecrapproveallesCetteaugmenfonctiontenCetecarsicommele,seuilLLEaugmen,te.paragrapheanp,ourtervun:seuisuivlaleursx?estetroplaouructuationunesm?me=loi.normale.inverse(prvobaaleuremenderetienourde,vcesautdi?1reteden:tsvinetervtrouvallestson.tquepropdeortionnellemenrapptaplusanptetitsondanlorsquelesphercaugmensimplete.r?ci1.3deInr?partitiontnormaleervseuilallealledepuctuationfaireasymptotiquetableurOnmoo?.a(pr?requis)ectipartervledoncth?or?meourdevMoivre-Laplaceouque,mosousFLUCTUAcertainest-typeconditionscinedeVcenonquevergenceseconde(classe:grand,1.3)...),alorsqueequeau?riersuivsuittlaseloilabinomi(donaleh?vceuttelpalleOnl'inouformealorselle)On(soittesetv,cici,suivSoitan.probabilit?snormaletesloicorrespunevt.anrecsuivheecunvcalculo?fonctionapquequesuitlatelder?eldel'uniqueloid?signetouteso?de,auterminaledede..calculLaeutreceherc?hed'undes:boba,ornesyenne,det-type)l'inprtervvalleuestrespalorsvplustfacilein(onoudisptosepd'unetrouvloilaconaleurtinOnueTIONplut?tlaqueyenned'uneautfonctioneten?carescalier).vOnracDEhercAheINTER:4classeavup
Z npnpN (0; 1) Z N (np; np(1 p)) Z = N (0; 1)n
np(1 p)

Z np a np a npn 0 0p p pP (Z a) =P (Z npa np) =P =P (Za ) a =n n
np(1 p) np(1 p) np(1 p)
0 0a P (Z <a ) = 0:025
1 0 N (0; 1) (0:025) a = 1:96
u z = 0:05 = 2
N (0; 1)
a npp = 1:96
np(1 p)
p
a =np 1:96 np(1 p):
Z np b npn 0p pb P (Z b) = P ( ) = P (Z b )n
np(1 p) np(1 p)
10; 975 (0:975) = 1:96 P (Z < 1:96) = 0:975
p
b =np + 1:96 np(1 p):
Xn
p p
I = [np 1:96 np(1 p);np + 1:96 np(1 p)]:
p p
p p(1 p) 1=2 1:96 p(1 p) 1
p p
I = [np n;np + n]:
n

1 1
I = p p ;p +p :
n n
X N (0; 1) P ( 2:576<
X < 1:696) 0:95
Onqueul'onl'insouhaitealors?galhe?ariableouallelacetvasymptotique.tCommematiftrmendeg?n?raleexemple,not?esuittpsterve,leurta,,seuilvp(cettedansalsecondeeurcalcultelleRemarquequepas.ceSoittr?eeard.inverse(0.025)trouvtervOn?treett.delanormafonctionourdem?mer?partitionEnderfaitretrouvenallehexhercdeclaOnprop.pr(Exmep27pcramenerCalculuneossible?vl'incuctuationtableur:=LOI.NORMALquiI.NORMALE.STANDARD(-detableurnormaleun.auAinsiseuil=loi.normale.st0.95invalleauteutecsimpli?.vobtienal'incalcul?ealleouuctuationsuitloi.le,Ainsion,pded?marctableslaheanIREMdivisanrcpaesuivaonveectervhauc(approOni.)o?95%,Siour).vestfr?quence,proos?cleheogdeam1/2,dealorsEnStatistiquese/tPierreceCette?vlecturealeurtablepconduiteut:DUSARterv,desonn'estmaximuniqueum.parAinsi,sicommesuitT,5laGr?celoi?trecenluer?duiteauxSipropri?t?salorsde.laanddans,les2L'inDotervRessource).allepdeauctuationeasymptotiqueunde:laE.STANDARD(1,696)-LOv2,576)ariableX n p X
X
p
p
p
x = 69 f = 69=1000
x = 70; 31 f = 70; 31=100

XnF = pn n
E(F ) =E(X =n) =E(X )=n =np=n =p:n n n
X B(n;p) Xn np p
[np n;np + n];
p p
P (np n<X <np + n) = 0; 95:n
X pn

p p X 1 X 1n n
p p(np n<X <np + n), <p< + :n
n n n n
Xn fn
p
1 1
f p ;f +p :
n n
deinstable.irotervOnologique,pveut(toutprendreonune100vloialeurbinommorisqueyetennev(vtremplaceInalle2.1quiconanceledepalle)d'o?matervonIns2heCONFIANCEue.DErisqueLE2.ALQuestions)lancers,quifoiseobtenirspteplusourstable.(VquiOnprendrepencoreeutpistesprendredeundein?tervCettealtlemoiquiquelquesenglobcequilescviale,aleurs3.lesprendreplusvprobables.conna?tJustications1.th?oriques.:?tudea)formeOnousmonsatpreinqu'enconancemomaisyrisqenneunlapvuneariableestal?atoireplusINTERappara?tobservaleureutla2eut6oupOnest:uneQuelquesbconanceonnealleal'inppd?nitionro(C'estximationmesur?deunonfois,carconna?t),prenanassezauland'ipartervr?alisations)deononancehercourenpropestquinpronneAlorsonsautObservQueeut.?vdeductionsansl'onautueQueq?foisautdeQuet:b).).On.p?pid?mieuttirages,aussideseOndirealorsque(ssiparCetter?alisationfois,,suitouronunsaittervd'o?dequesimpli?suitouralors:caru?tervuallepdeestuctuationcesimpli?l'inetC'est,formepasnl'observallet?ecTp?t?uner?portionaseraation?sOnn!enererminale.autanp
" # " #r r r r
f(1 f) f(1 f) f(1 f) f(1 f)
f u ;f +u f u ;f +u :
n n n 1 n 1
p
B N
n
384 3= 0; 5311 0; 531 10723

1 1 1 1 3f p ;f +p = 0; 531 p ; 0; 531 +p = [0; 494; 0; 568] 10 ):
n n 723 723
p = 0:82
p 5%
p p
p(1 p) p(1 p)
IF (p) = [p u p ;p +u p ]1
n n
p
p(1 p)
u p 5%;
n
p(1 p)2nu : 2(5=100)
u = 2; 576; p = 0; 82 n 392
cacemenMargetPdehercquepparsondageourl'eectifn'inueourpasformettrop.al3.laQueformeleser?pr?ponsesuctuationne?sonuntdepasalable,bobserviOnais?esteoutrouvpm?mervalleerties:(pcourelestaillsondagesSolutiond'opiniloion)v...nalemenPpourOnessadeyrepr?sener1.d'?treestimatiole?cplus?proestimercqueheppvossialeur.bleeutdeelalar?alit?,lalesuneinstitutssdeuisondageind?pprennenunttddeel'?csir?l'incbinomialehan(param?tretillonsunedela1000ipqueersonnesortionaudeminim?remplum,PierreciblenIREMtaules:pllonersonnesl'?c(s'ilsfautonsoittqueeutitropdansdedesr?pceonsesarrondiesdehefemmes,eutilinstitutsstctagesherctionhsansefourcnlaquelletcette?2?quilibrerOnaervtecsousdesl'?tuder?pdeonsesuctuation,denationlappartdonn?e.desdisphommes)desetationsr?cupan?rentes),tOnl'information?autervtrauctuationveersaudeD?terminerdi?renminimaletstillonmovypr?cisionensondeallecommyunicationBernoulli(t?l?phone,oursondagesesdeopulationrue,al?atoire...).deIlsconnaissanmoPdientication,t'onalorsQu'estldeeslar?sultatsnonentervfonctionOnde:r?sultatseanTt?Statistiquesrtrouvialleeurs,conancedeseuilconfron95%tationtatif?soitlair?alit?,hanetc..QueC'est:unilm?tier.vApplicationn1cette:ourSondagellon.d'opinionhan(Electionunau?es1err?alisationstourl'a