Generalites Critere principal Interpretation geometrique Une caracterisation dynamique de la composante absolument continue Operateurs de permutation Operateurs unitaires multi diagonaux Quelques mots sur l'hamiltonien de Floquet Remarques

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Table des matieres Introduction viii 1 Generalites 1 1.1 Critere principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Interpretation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Une caracterisation dynamique de la composante absolument continue . . . 5 1.4 Operateurs de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Operateurs unitaires multi-diagonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Quelques mots sur l'hamiltonien de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Operateurs frappes 13 2.1 An explicitly solvable model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Additional assumptions and results .

• operateurs unitaires multi-diagonaux


• operateur unitaire


• introduction du formalisme des matrices de transfert


• equipe phymat de l'universite de toulon


• membres du centre de physique theori


• exemples de constructions fondees


• application aux operateurs


• constructions de systemes dynamiques

Sujets

• United States
• Howland
• Duclos
• Opérateur unitaire

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

Table des mati`eres
Introduction viii
1 G´en´eralit´es 1
1.1 Crit`ere principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Une caract´erisation dynamique de la composante absolument continue . . . 5
1.4 Op´erateurs de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Op´erateurs unitaires multi-diagonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Quelques mots sur l’hamiltonien de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Op´erateurs frapp´es 13
2.1 An explicitly solvable model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Additional assumptions and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Proof of Theorem 2.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 A flavour of analytic number theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Technicalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Proofs of Theorems 2.2.4 and 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Complementary tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Proof of Theorem 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.3 Proof of Theorem 2.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Sur un mod`ele de conduction ´electronique unidimensionnel 31
3.1 Construction de l’op´erateur de monodromie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Quelques lemmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Les cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.1 Absence de transitions entre bandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.2 Absence de r´eflexion en bords de bandes . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Etudes des fonctions propres g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.1 Principe g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2 Introduction du formalisme des matrices de transfert . . . . . . . . . 38
3.5 Perspectives d’´etudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Exemples de constructions fond´ees sur des syst`emes ergodiques 43
4.1 Hypoth`eses et r´esultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Transformations et syst`emes dynamiques ergodiques . . . . . . . . . 44
iii4.2.2 Un jumelage fructueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.3 Questions de mesurabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Preuve du th´eor`eme 4.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1 Constructions de syst`emes dynamiques ergodiques lin´eaires . . . . . 49
4.3.2 Th´eor`eme multiplicatif ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.3 Exposant de Lyapunov et preuve du th´eor`eme 4.1.1 . . . . . . . . . 55
4.4 Positivit´e de l’exposant de Lyapunov γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571,[1]λ
4.5 Positivit´e de l’exposant de Lyapunov γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601,[3]λ
4.6 Preuve du th´eor`eme 4.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7 Remarques compl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7.1 Quelques mots sur l’invariance du support spectral . . . . . . . . . . 61
4.7.2 En suivant Gordon ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Cas p´eriodique 63
5.1 Hypoth`eses et r´esultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Quelques mots sur la th´eorie de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Preuve du th´eor`eme 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 Cas ou` la p´eriodicit´e est 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.2 Cas ou` la p´eriodicit´e est sup´erieure `a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Preuve du th´eor`eme 5.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.1 Absence de composante singuli`ere continue . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.2 Intervention des matrices de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
A Fonctions propres g´en´eralis´ees et spectre d’un op´erateur unitaire 81
A.1 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A.2 Construction de Berezanskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
A.3 Preuve du th´eor`eme A.0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B Sur une classe d’op´erateurs unitaires `a spectre singulier 89
C Sur les perturbations d’op´erateurs unitaires 93
C.1 Perturbations d’un op´erateur unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C.2 Supports de mesure: mat´eriel pr´eparatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
C.3 Application aux op´erateurs frapp´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
ivA la m´emoire de Mamie,
vviRemerciements
Je souhaite remercier Alain Joye et Joachim Asch de m’avoir accompagn´e, suivi mais
aussi guid´e tout au long de ces ann´ees de doctorat. Leur gentillesse, leur patience et leur
esprit critique ont ´enorm´ement contribu´e `a cr´eer un climat de travail chaleureux, sain et
stimulant `a la fois. La confiance qu’ils m’ont accord´ee depuis mon DEA m’a permis de
transformer un voeu cher en r´ealit´e.
Monique Combescure et Stephan DeBi`evre ont accept´e d’ˆetre les rapporteurs d’un
manuscrit perfectible `a bien des ´egards. Les d´elais impartis ne leur ont d’ailleurs pas
facilit´e la tˆache. Je leur suis reconnaissant pour leur lecture m´eticuleuse et leurs conseils,
donn´es parfois avec humour, qui m’ont aid´e `a mettre en valeur mon propre travail.
J’ai ´egalement appris avec plaisir que Pierre Duclos et Yves Colin de Verdi`ere avaient
accept´e de faire parti du jury de cette soutenance. Je leur suis redevable de nombreuses
discussions enrichissantes et agr´eables.
La vie est parfois faite de ces petits riens qui vous empoisonnent l’existence. J’ai tou-
jours trouv´e `a l’Institut Fourier une ˆame prˆete a` ´ecouter et m’aider. Je pense en parti-
culier a` Arlette, Elisabeth, Corinne et Franc¸oise, aux membres de l’´equipe de Physique
Math´ematique de l’Institut Fourier, `a Janick, Christiane et Bruno, `a Christophe pour son
soutien inconditionnel, mais aussi aux locataires et aux visiteurs pr´esents et pass´es du
bureau 209. Je suis tout particuli`erement redevable `a Vidian, Yan, Vincent, Christophe,
Sanet Nicolas de m’avoir´epaul´e a` diverses reprises, parfoisjusqu’auderniermoment dans
le long et fastidieux processus de correction du manuscrit.
Mesremerciementss’adressent´egalement auxmembresduCentredePhysiqueTh´eori-
que `a Marseille et de l’´equipe PHYMAT de l’Universit´e de Toulon pour m’avoir accueilli
`a plusieurs reprises durant cette th`ese, m’avoir fait partager leurs connaissances et leur
gouˆt pour la physique math´ematique.
Cetravails’inscritdanslacontinuit´edeprobl´ematiquesauxquelless’estint´eress´eJames
Howland. Le d´eveloppement d’une partie de ce travail doit beaucoup aux discussions sti-
mulantes que nous avons pu avoir lors de mon s´ejour `a l’Universit´e de la Virginie, a`
Charlottesville et lors desavenue en France. Avec gentillesse et g´en´erosit´e, Hope et James
Howland m’ont fait d´ecouvrir un petit morceau des Etats-Unis bien ´eloign´e de certains
clich´es v´ehicul´es a` l’heure actuelle.
Ce travail est d’une certaine fac¸on le fruit de la patience, de la confiance et de l’amour
que m’ont port´e mes proches. Il sera la marque de ma reconnaissance envers eux tous.
viiviiiIntroduction
L’´etude du comportement temporel des syst`emes dynamiques quantiques est en plein
essor depuis les ann´ees 80. La question, motiv´ee par quelques exp´eriences physiques frap-
pantes([BGK],[YA],[Bar],[BS],...)estencorelargementouverte.L’analyseetlesmoyens
utilis´es pour r´esoudre les probl`emes pos´es empruntent autant `a la physique des solides, la
physique mol´eculaire qu’aux math´ematiques. Du point de vue math´ematique, il n’existe
pas encore de cadre unifi´e.
Formellement, la dynamique d’un syst`eme quantique est d´ecrite par la soluti