GUO NIU HAN

Dominique Foata

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
GUO-NIU HAN THESE presentee pour obtenir le grade de DOCTEUR Domaine : MATHEMATIQUE Titre : CALCUL DENERTIEN Soutenue le 17 janvier 1992 devant la Commission d'Examen : MM. D. FOATA, President du Jury, J.-P. JOUANOLOU, Rapporteur interne, A. LASCOUX, Rapporteur externe, J. DESARMENIEN, M. MIGNOTTE. 1991 476/TS-29

• meme let- tre


• euler-mahonienne


• etudes statis- tiques sur le groupe symetrique


• groupe symetrique


• statis- tique


• large classe de statistiques


• savoir-faire en typographie informatique


• tique


• statistique

Sujets

• Institut de recherche mathématique avancée
• Groupe symétrique

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 janvier 1992
• Nombre de lectures: 54

Extrait

GUO-NIU HAN
`THESE
pr´esent´ee pour obtenir
le grade deDOCTEUR
´Domaine :MATHEMATIQUE
Titre : CALCUL DENERTIEN
Soutenue le 17 janvier 1992 devant la Commission d’Examen :
MM. D. FOATA, Pr´esident du Jury,
J.-P. JOUANOLOU, Rapporteur interne,
A. LASCOUX, Rapporteur externe,
´ ´J. DESARMENIEN,
M. MIGNOTTE.
1991 476/TS-29´UNIVERSITE LOUIS PASTEUR
D´epartement de Math´ematique
´ ´INSTITUTDERECHERCHEMATHEMATIQUEAVANCEE
Unit´e associ´ee au C.N.R.S. 001
STRASBOURG
`THESE
pr´esent´ee pour obtenir le grade de
DOCTEUR
par
GUO-NIU HAN
A.M.S. Subject Classification (1980) 05A15 05A17 33A15 33A75
Mots clefs : Statistiques euler-mahoniennes, nombre d’inversions, in-
dice majeur, permutations, mots, r´earrangements, commu-
tation,tableaux de Young, nombres de Kostka, nombres de
Genocchi, q-analogues.
Titre : CALCUL DENERTIEN
Soutenue le 17 janvier 1992 devant la Commission d’Examen :
MM. D. FOATA, Pr´esident du Jury,
J.-P. JOUANOLOU, Rapporteur interne,
A. LASCOUX, Rapporteur externe,
´ ´J. DESARMENIEN,
M. MIGNOTTE.`TABLE DES MATIERES
Remerciements ............................................. 3
CHAPITRE 0. — Introduction ................................. 5
CHAPITRE 1. — La statistique de Denert ....................... 9
PARTIE 1.1. — Distribution Euler-mahonienne : une correspon-
dance ............................................. 11
PARTIE 1.2. — Une nouvelle bijection pour la statistique de
Denert............................................. 17
PARTIE 1.3. — La troisi`eme transformation fondamentale ..... 23
CHAPITRE 2. — Statistique sur les tableaux de Young ........... 73
PARTIE 2.1. — Croissance des polynoˆmes de Kostka ......... 75
PARTIE 2.2. — Polynˆomes de Kostka-Foulkes : une ´etude statis-
tique .............................................. 81
CHAPITRE 3. — Sym´etries trivari´ees sur les nombres de Genocchi . 103
Index ...................................................... 119REMERCIEMENTS
Je tiens d’abord `a exprimer toute ma reconnaissance `a M. Dominique
FOATA sous la direction et avec l’aide duquel ce travail a ´et´e effectu´e. Ses
conseils judicieux et sa grande exp´erience tant sur le plan math´ematique
que sur le plan humain ainsi que son allant permanent et sa disponibilit´e,
m’ont ´et´e tr`es profitables depuis mon arriv´ee `a Strasbourg.
Je ne saurais oublier M. A. LASCOUX pour son ´etroite collaboration
de tous les instants; il m’a fait b´en´eficier de sa grande exp´erience en
math´ematique et m’a soutenu de fa¸con ind´efectible avec une extrˆeme gen-
tillesse et m’a donn´e beaucoup de courage en face de toutes les difficult´es
rencontr´eesdurantmess´ejours`aIvry.Qu’iltrouveicil’expressiondetoute
ma gratitude.
Je remercie vivement M. J.-P. JOUANOLOU, qui a fid`element ´ecout´e
mes expos´es au s´eminaire, et a bien voulu rapporter sur mes travaux. Je
´ ´remercie´egalement MM. J.DESARMENIENet M. MIGNOTTEquim’ont fait
le grand plaisir de juger ce travail en participant au jury.
¨Mes remerciements vont aussi a` M. M.-P. SCHUTZENBERGER qui m’a
consacr´e beaucoup de son temps pr´ecieux pour de nombreuses discussions
sur les math´ematiques et l’informatique qui m’ont beaucoup aid´e.
Je tiens ´egalement `a remercier mes coll`egues D. DUMONT et J. ZENG
sansl’aidedesquelscetravailn’auraitpuˆetremen´ea`bien.EnfinRaymond
SEROUL a eu la gentillesse de me faire b´en´eficier de tout son savoir-faire
en typographie informatique.CHAPITRE 0
INTRODUCTION
´Le titre initial qui avait ´et´e donn´e `a cette th`ese ´etait “Etudes statis-
tiques sur le groupe sym´etrique et les tableaux de Young.” En effet, le but
de ce travail´etaitd’´etudier lespropri´et´es d’une largeclassede statistiques
sur ces derni`eres structures. Dans la r´edaction finale, le chapitre 1 a pris
une placetellement pr´epond´erante qu’ilafourni enfaitletitredelath`ese.
On sait depuis MACMAHON [MacM] que les statistiques indice ma-
jeur (“maj”) et nombre d’inversions (“inv”) ont mˆeme distribution non
seulement sur le groupe sym´etrique, mais aussi sur toute classe de
r´earrangements d’un mot (avec´eventuellement r´ep´etitiond’une mˆemelet-
tre). Il en est de mˆeme des statistiques nombre d’exc´edances (“exc”) et
nombre de descentes (“des”). Le polynˆome g´en´erateur de “des” (donc
de “exc”) sur le groupe sym´etrique est le polynoˆme eul´erien [F-S] et
le polynˆome g´en´erateur du couple (des, maj) est le q-analogue de ce
polynˆome. On dit encore que ce couple est euler-mahonien. La question
naturelle qui se posait ´etait de trouver la statistique qu’il fallait associer
a` “exc” pour que la paire ainsi constitu´ee soit aussi euler-mahonienne.
On doit a` DENERT [Den] d’avoir imagin´e la d´efinition de cette statis-
tique, appel´ee “den” par la suite, dans un contexte tout `a fait diff´erent,
celui des fonctions zˆeta attach´ees aux structures d’ordre de certaines
alg`ebres simples.
Le fait que le couple (exc, den) est euler-mahonien a tout d’abord
´et´e d´emontr´e par FOATA et ZEILBERGER [F-Z]. Une premi`ere question
naturelle qui se posait ´etait d’´etablir ce r´esultat combinatoirement, c’est-
a`-dire sachant que la paire classique (des,maj) est euler-mahonienne, de
construire une bijection deS sur lui-mˆeme qui envoie la paire (des,maj)n
sur la paire (exc,den).6 Guo-Niu HAN
Nous avons donn´e la construction de deux telles bijections, d´ecrites
dans deux notes aux Compte-Rendus, reproduites ici comme parties 1.1
et 1.2.
La seconde question naturelle qui se posait ´etait d’´etendre le r´esultat
de FOATA et ZEILBERGER, valable pour le seul groupe sym´etrique, au
cas des classes de r´earrangements de mots quelconques. Une premi`ere
difficult´e ´etait de prolonger la d´efinition de “den” elle-mˆeme au cas des
mots arbitraires. Nous avons pu le faire a` partird’une formule´equivalente
´etablie par ces auteurs.
Le probl`eme majeur`a r´esoudre ensuite´etaitde construire une bijection
d’une classe de r´earrangements sur elle-mˆeme qui envoie le couple (des,
maj) sur (exc, den). Pour ce faire, nous avons duˆ faire tout d’abord une
´etudesyst´ematiquedesstatistiquessurlegroupesym´etriqueetlemono¨ıde
libre ordonn´e. Il a fallu reprendre ensuite l’´etude de l’alg`ebre des circuits
telle qu’elle avait ´et´e d´evelopp´ee dans CARTIER-FOATA [C-F]. La loi de
transpositiondescircuitsdevienticibeaucouppluscomplexe,maisconduit
toutnaturellement enutilisantcequenousappellonsh-multiplicationvers
la construction explicite de cette bijection.
Le r´esultat principal de cette partie est consign´e dans les th´eor`emes
10.4.1et10.5.8.Labijectiond´efiniesurlemono¨ıdelibreordonn´equienvoie
la paire (exc, den) sur (des, maj) est appel´ee “troisi`eme transformation
fondamentale,” faisant suite aux deux transformations fondamentales qui
envoyaient “exc” sur “des”, et “maj” sur “inv,” respectivement. On peut
ainsi consid´erer cette nouvelle transformation comme le q-analogue de la
premi`ere tansformation fondamentale.
Le deuxi`eme chapitre est consacr´e `a une ´etude combinatoire et analy-
tique des polynoˆmes de Kostka-Foulkes K (q) (; ´etant des partitions;
et q une variable), d´efinis comme les coefficients de la matrice de pas-
sage, dans l’alg`ebre des fonctions sym´etriques, de la base des fonctions de
Schur a` celle form´ee par les fonctions de Hall-Littlewood. On sait d’apr`es
¨les travaux de LASCOUX et SCHUTZENGBERGER [L-S] que ces polynoˆmes
sont `a coefficients entiers positifs. Ces auteurs ont, en effet, d´emontr´e que
K (q) ´etait le polynoˆme g´en´erateur de l’ensemble des tableaux de forme;
et d’´evaluation par une certaine statistique `a valeurs enti`eres appel´ee
charge.
Nous avons utilis´e cette interpr´etation combinatoire pour ´etudier les
propri´et´es de croissance de ces polynoˆmes et r´epondu ainsi, dans uneIntroduction 7
Note aux Compte-Rendus, reproduite comme partie 2.1 ici, `a une conjec-
ture propos´ee par GUPTA-BRYLINSKI [Gup], `a savoir d´emontr´e l’in´egalit´e
K (q)K (q).; [a;[a
Leprobl`emequiresteouvertest d’´etudierlalimitelim K n n(q).n [a ;[a
Sous cette forme g´en´erale, le probl`eme reste trop complexe. Suivant une
suggestiondeLASCOUX,ilsembleplusfructueuxdetrouveruneexpression
P
n
n nsimple pour la somme de la s´erie z K (q). On conjecture[a ;[an0
quecettesommeestunefractionrationnelleenq d´ependant naturellement
des param`etres , et a.
Dans ce chapitre, le calcul est explicitement fait dans le cas ou` a = 1,
q = 1 et = 11:::1, c’est-a`-dire dans le cas des tableaux de Young de
jj+1forme.Ontrouve,eneffet,unefractionrationnelleP (1 z)=(1 z) .
Le calcul nous