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Laia Moret-Gabarro

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
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• perturbation de pres- sion


• equations adjointes


• sensibilite du champ direct


• calcul de la perturbation optimale et du controle optimal


• champ adjoint


• ecoulement compressibles de canal et de cavite


• ecoulement


• adjoint des equations de navier-stokes compressibles


• perturbation optimale

Sujets

• Écoulement

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

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ADJOINT

Part

II

SIMULATIONS

Chapter 4

Adjoint methods

Me´thodes adjointes

Lesme ´ thodesadjointessontbas ´ eessurl'utilisationdese ´ quationsadjointes,obtenuesmathe ´ matiquement parlade ´ nitiond'unproduitscalaireetd'inte ´ grationparpartiespourdese ´ quationsdiff ´ erentiellesou deri ´ eespartielles.Ellespr ´ esententunlarge ´ eventaild'applicationspourlesproble  mesdedynamique v desuides:l'analysedelasensibilite ´ etdelar ´ eceptivite ´ ,lecalculdelaperturbationoptimaleet du controˆle optimal, ainsi que d'autres probl emes tels que l'optimisation de forme et l'optimisation de grille,laminimisationd'erreur,etl'optimisationdel' ´ ecoulementmoyen. Danscettethe  se,plusieursutilisationsdesm ´ ethodesajointesont ´ ete ´ e ´ tudie ´ es.L'analysedesensibilit ´ e ae ´ t ´ ere ´ alis ´ eepourles ´ ecoulementcompressiblesdecanaletdecavite ´ ,commenousleverronsauchap ˆ tre §6nal2decamentoule ´ nceuoure ´ psutid ´ e ´ eett ´ onalimptoelo ˆ rtnocelteeltrruabitnopoitam.LapeD incompressibleenpr ´ esencedeperturbations3D,dontlesr ´ esultatssontajout ´ esdansl'annexe§A. Formulation Nouspre ´ sentonsdanscechap ˆ trelaformulationadjointepourunprobel  medeminimisationdes perturbations.Notezquebienqued'autresapplicationsdesm ´ ethodesadjointespeuvente ˆ trefaites, seulel'applicationa  laminimisationdeperturbationestexplique ´ eici,carc'estellequiestutilis ´ eedans l'analyse de sensibilit  ´ e. Andeminimiserlesperturbationsdel' ´ ecoulement,lafonctionnelleLagrangienneL(q ′  q ∗ )de´nie par l' e´quation(4.5)oitcnofatu ˆ ocnestutilis ´ ee.LJenien ´ ed(4.3)eprsuciedetua-neet ´ rseengr'le ´ tions d' e´tatq ′ ,q ∗ les variables adjointes etN ′ (q)ier-Stoks ´ edeNavudtiseL.peoropl'steirae ´ nilruetare ´ scalaireh isteed ´ mesndelbusine'lr ´ 'lsnadenoitauqeiaendumoect-seapcommempsiqu ´ eind(4.4). Parconse ´ quent,lafonctionnelleLagrangiennedoite ˆ treminimis ´ eeparrapporta  q ′ etq ∗  minimisa-. La tion deL(q ′  q ∗ )par rapport aq ∗ conduit au systeme direct (voir e´quation(4.7)). An de de´river la fonctionnelle Lagrangienne par rapport aq ′ eeteerro ˆ dge ´ rni ´ titdoleelabd'utto, parparties,cequifaitappara ˆ tredestermesdebord.Andesimplierlaformulationduproe  bmle,ces termesdebordpeuvente ˆ treannul ´ es.Ainsi,lesconditions'terminales'duchampadjointsontq ∗ (t f ) = 0

A  METHODSD JOINT et les perturbations initiales de l' e´coulement sontq ′ (t 0 ) = 0 la minimisation de. Finalement,L(q ′  q ∗ ) par rapport aq ′ conduit au systeme adjoint(4.14)  ,ouN ′ (q) ∗ intdadjoteur ´ era'lpoetseN ′ (q). Analyse de sensibilit´ e La sensibilite´ est une quantite´ qui permet de quantier les grandeurs de l'e´coulement et de localiser les zones d' e´coulement sensibles ades petites perturbations susceptibles donc, de modier faiblement ouprofond ´ ementcete ´ coulement.Ellepermetainsidede ´ crirecommentlesvariablesd' ´ etatd'unsyste  me sont affecte´es par la variation d'un de ses param etres. Ces variations peuvent provenir de perturbations de l' e´coulement moyen, de rugosite´s aux parois solides, etc. . . Unmanie  red'e ´ tudierlessensibilite ´ sestl'analysedeperturbation,quipeut ˆ etreeffectu ´ eeenutil- isantles ´ equationslin ´ eairesdeperturbation.δ pour trouver Ainsi,est une distribution de Dirac. l'emplacementx c ouun forc¸agef ′ =δ(x−x c )(t−t 0 )de la perturbation d' e´tatq ′ modiera le plus la perturbation d' e´tat al'emplacementx e et aun temps nalt f .ser,pulisuesrisumalitonssontn ´ ecessai En fait, on doit faire une simulation pour chaque emplacement possiblex c rapercemoand¸ageforcdu leur effet al'emplacementx e et au tempst f (voir gure4.2). L'utilisationdem ´ ethodesadjointesconstitueunemanie  realternativeder ´ ealiserunee ´ tudedesensi- bilite ´ .Apartirdel'identit ´ eadjointede ´ niea  l' ´ equation(4.10), on peut voir queq ′ et' ´ itnlajtoeatdq ∗ v ´ erientlarelationsuivante:q ′ (x e  t f ) =q ∗ (x c  t 0 ). Cette expression signie que l'effet surq ′ (x e  t f ) cre ´ eparunfor¸cagef ′ =δ(x−x c )(t−t 0 )des e´quations directes est e´quivalent al'effet surq ∗ (x c  t 0 ) cre ´ eparunfor¸cageg ∗ =δ(x−x e )(t−t f )des e´quations adjointes, comme illustre´ sur la gure4.3. Ceciconstitueleprincipalavantagedel'utilisationdesm ´ ethodesadjointes.Danscetexemple,une seule simulation du systeme adjoint det f at 0 c¸oredago  e,efulsnoiojdae ´ setauqceseasriets ´ nsestinte plac ´ eenx e comme montre´ sur la gure4.4larsnsseilib ´ eittnatsuonnnodolaechLe.luse ´ rtniojdapma duchampdirect:pluslavaleurdelavariableadjointeeste ´ lev ´ ee,pluslasensibilite ´ duchampdirectest ´leve´e. Ainsi, l'endroit o ula valeur deq ∗ est la plus forte nous indique l'emplacementx c ega¸crofle  uo e dese ´ quationsdirectesdoit ˆ etreplace ´ a  l'instantt 0 pour affecter le plusq ′ (x e  t f ). L'adjoint des e´quations de Navier-Stokes compressibles Nousavonsdoncimple ´ mente ´ l'adjointdes ´ equationsdeNavier-Stokescompressiblesinstationnaires, enutilisantuneapprochecontinuesuivied'unediscr ´ etisation.Lessimulationsdirectessontrealise ´ esen ´ utilisantles ´ equationsdeNavier-Stokes ´ ecritesenvariablesconservatives[ρ ρu ρv ρe], mais l'adjoint aet ´ ed ´ eriv ´ edes ´ equationsdeNavier-Stokesline ´ aris ´ ees ´ ecritespourq ′ = [ρ ′ (ρu) ′ (ρv) ′  p ′ ](§4.2.1). ´ L'avantage de cette formulation est qu'il est plus facile d' e´tudier et de controˆler la perturbation de pres- sion,cequiestcrucialpourdese ´ tudesd'a ´ eroacoustique.Deplus,l'expressiondese ´ quationsadjointes enestrelativementsimpli ´ ee. Cependant,deuxsimplicationsont ´ et ´ efaitesavantdede ´ riverles ´ equationsadjointes:laviscosite ´ e,gieren ´ 'lednoitauqe ´ 'lqueusedeationvisedidsspilttereemtanseents ´ pocoee ´ te ´ puseaΦ ν t ´´ e,ae ne ´ glige ´ .Cessimplicationssontbas ´ eessurlasuppositionquelesvariationsspatialesettemporellesde la viscosite´ ainsi que la dissipation visqueuse dans l' e´quation de l' e´nergie n'ont pas d'effet signicatif sur lapropagationdubruite ´ tantdonne ´ qu'ellesagissentauxpetites ´ echelles[27]. Les e´quations adjointes du§4.2.2sont donc line´aires, elles se propagent 'inversement' en temps, et le champ adjoint estq ∗ = [p ∗ (ρu) ∗ (ρv) ∗  ρ ∗ ]ot.Nquezpalesseranoiiojdntcodeontiuaeq' ´ la  ee ´ ilertseetnlaqseularo ´ t,eniiu densit ´ eadjointeestrelie ´ ea  l' ´ equationdel'e ´ nergie.

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