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Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Lire la seconde partie de la thèse

  • représentation des lignes de courant

  • point critique

  • cercle

  • plan médian du canal

  • champ de vitesses bidimensionnel

  • classification de la topologie des champs de vitesses moyens

  • plan du cercle

  • classification des régimes de topologie

  • écoulement moyen


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Langue Français
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Extrait

Lire
la seconde partie
de la thèseCHAPITRE5
Classification de la topologie des champs de vitesses moyens
Sommaire
5.1 Méthodes d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Classification des régimes de topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Influencedesparamètressurlastructureduchampdevitessesmoyen104
95CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES
MOYENS
Introduction
La caractérisation de la structure interne de l’écoulement au voisinage de l’obstacle revêt un
enjeuimportant.Eneffet,d’unepartnousavonssoulignélemanquededonnéesquantitativessur
cette région et d’autre part les informations issues de l’analyse locale doivent pouvoir fournir des
élémentsutilesàladéterminationdesmécanismesphysiquesàl’originedelavariétédessolutions
mises en évidence dans le chapitre 4. Nous avons choisi de caractériser d’abord la topologie du
champ de vitesse moyen (l’étude de l’écoulement instantanné et celle de l’écoulement fluctuant
font partie du chapitre 8). Cette analyse permet, en outre, d’établir une classification en régimes
de topologie du champ de vitesse moyen dans le plan des paramètres{α,F }. Nous aurons ainsi0
l’opportunité de comparer cette classification avec celle réalisée pour les ondes de surface.
5.1 Méthodes d’analyse
La méthode d’analyse de la topologie du champ de vitesse moyen que nous utilisons consiste
en la localisation et la description de points critiques de l’écoulement. Perry et Fairlie [PF 1974]
ont introduit la théorie des points critiques et son application aux écoulements de fluides. Cette
méthode a largement prouvé son efficacité (e.g. Hunt et coll. [HAPW 1978], Perry et Chong
[PC 1987] et [PC 1993]). Les définitions et caractéristiques générales des points critiques, que
l’on peut observer dans un champ de vitesses bidimensionnel, sont présentées dans l’annexe
A. En complément de cette théorie, les théorème de Grobman-Hartman et de Poincaré sont
particulièrement intéressants pour la détermination de la topologie du champ de vitesses moyen.
Notamment, parce que tous les points critiques ne seront pas identifiables expérimentalement
compte tenu de la limitation du champ de mesure ou de celle de la résolution.
D’après Milnor et Weaver [MW 1965], on peut définir pour chaque point critique un indice de
Poincaré,I dont la valeur dépend de la nature du point critique (Glendinning [Gle 1994]) :
I = 1 pour un noeud stable ou instable, un centre et une spirale stable ou instable.
I =−1 pour un point selle.
En présence d’une paroi, il est possible d’observer des demi-selles ou des demi-noeuds. Hunt
1etcoll.[HAPW 1978]montrentquel’indiced’unedemi-selleestI =− etceluid’undemi-noeud
2
1estI = .
2
LethéorèmedePoincaréétablitquelasommedesindicesI despointscritiquesd’undomaine
est égale à la caractéristique d’Euler-Poincaré de ce domaine. Pour un plan, la caractéristique
d’Euler-Poincaré égale à 2.
Hunt et coll. [HAPW 1978], en s’appuyant sur le théorème de Poincaré, montrent que pour
un champ de vitesse moyen, la relation suivante se vérifie :
X
I = 1−n (5.1)i c
i
où 1−n est la caractéristique de Poincaré et n représente le degré de connexité du domainec c
fluide considéré.
Dans notre étude, l’obstacle est posé sur le fond du canal donc celui-ci est lié à la paroi du
fond. D’après Hunt et coll. [HAPW 1978], le degré de connexité de ce type de configuration est
n = 1. Cela signifie donc que, d’après l’équation (5.1), pour que l’équilibre topologique soitc
vérifié dans notre configuration, il faut que la somme des indices des points critiques soit nulle.
Nous utilisons désormais le terme "équilibre topologique" pour désigner un écoulement tel que
le théorème de Poincaré est vérifié.
En pratique, dans le plan (O,x,z), nous avons calculé les lignes de courant à partir des
champs moyens de la vitesse dans chaquerégime observé. De plus, le sens de parcoursde celles-ci
965.2. CLASSIFICATION DES RÉGIMES DE TOPOLOGIE
Figure5.1–Lignesdecourantpourlepointdefonctionnement (α = 0.1,F = 0.4),appartenant0
1au régime T .vm
indique l’orientation de ces vecteurs vitesse. Et donc finalement, la représentation de l’ensemble
des lignes de courant permet de décrire la topologie du champ de vitesses. A partir des lignes de
courant, nous identifions le type des points critiques.
5.2 Classification des régimes de topologie
Dans ce paragraphe, la classification des régimes de topologie est établie. L’obstacle utilisé
est le demi-cylindre.
Deux régimes de topologie ont été observés et le détail de leurs caractéristiques est présenté
sur la base d’un exemple représentatif dans les deux paragraphes suivants.
15.2.1 Régime Tvm
1PouranalyserlatopologieduchampdevitessemoyendanslerégimeT ,nousnousappuyonsvm
sur la figure (5.1), sur laquelle sont représentées les lignes de courant calculées pour le point de
fonctionnement {α = 0.1,F = 0.4} de ce régime.0
5.2.1.1 Dénombrement des points critiques
Sur la figure (5.1), en amont de l’obstacle, les lignes de courant contournent l’obstacle. On
peut toutefois observer qu’une de celles-ci intercepte la face amont de l’obstacle, il y a donc
1formation d’une demi-selle, d’indice I = − , sur la face amont de l’obstacle. Sur cette figure,
2
on peut également observer qu’une des lignes de courant se développant vers l’aval de l’obstacle
1a pour origine la crête de celui-ci : la crête de l’obstacle est donc une demi-selle (I =− ). De
2
plus, sur la figure (5.1), deux points critiques sont observés au sein de l’écoulement, en aval de
l’obstacle :
x zN , situé en{ = 1.2, = 0.25} et tel que les lignes de courant en son voisinage montrent1 H H
qu’il s’agit d’un centre (I = 1) et donc que l’écoulement moyen est bidimensionnel à cet endroit.
et
x zN , situé en{ = 4.05, = 0.85}. Les lignes de courant montrent qu’il s’agit d’une spirale2 H H
stable(I = 1).LefluideestdoncattiréversN etensuiteévacuésuivantladirectiontransversale.2
Ce résultat signifie donc que l’écoulement moyen est tridimensionnel à cet endroit. Ce résultat
apparaîtendésaccordaveclefaitquelesmesuresdevitessesaientétéfaitesdansleplan (O,x,z).
97CHAPITRE 5. CLASSIFICATION DE LA TOPOLOGIE DES CHAMPS DE VITESSES
MOYENS
z
z
Cercle O
1limite
O
1
y
N
2x
N
2
O
2
O
2
plan (x,0,z)
(a) (b)
Figure5.2–Schématisationd’uncerclelimiteinstable:(a),représentationdeslignesdecourant
() dans le plan du cercle; (b), représentation des lignes de courant ( ) dans un plan normal
au cercle limite (adapté de Perry et Chong [PC 1987])
En effet dans ce plan on s’attend à un écoulement bidimensionnel et le point critique serait alors
un centre. De notre point de vue, deux explications existent pour ce résultat :
le plan de mesure n’est pas rigoureusement vertical et centré sur l’axe de symétrie, auquel
cas il est possible d’oberver des effets tridimensionnels de l’écoulement. En effet, compte tenu
du fort confinement du canal de mesure utilisé, la seule région de l’écoulement où celui-ci est
bidimensionnel est le plan médian du canal à cause des écoulements secondaires (e.g. Tominaga
et coll. [TNEN 1989]). De plus, comme nous l’avons vu dans le paragraphe 3.5, l’épaisseur δ due
plan laser est de quelques millimètres et donc n’est donc pas négligeable, il est donc possible que
l’ajustement du plan laser le long du plan médian ne soit pas parfait.
l’écoulement en aval de l’obstacle n’est pas rigoureusement symétrique auquel cas, dans le
plan (O,x,z),lacomposanteV(x,z) = 0.Lecaséchéant,lefluidepeuttraverserleplan (O,x,z).
xEnoutre,en = 6.2,onpeutobserverunpointderéattachementd’unelignedecourantissue
H
x 1du point critique centré en = 4.05. Ce point de réattachement est une demi-selle (I =− ).
H 2
L’analyse de la figure (5.1) met en évidence un autre résultat : autour du point critique N ,2
il se forme un cercle limite instable, noté C sur la figure. Une représentation schématique d’unc
cercle limite instable et des lignes de courant typiques dans le plan de ce cercle sont présentées
surlafigure(5.2.a).Cettefigurepermetdevoirquelesparticulesfluidesissuesdececerclelimite
soit convergent vers le point critique N , qui est aussi le centre du cercle, soit divergent et sont2
entrainées vers l’aval de l’écoulement. Par ailleurs, à l’aide de la figure (5.2.b), le tracé des lignes
de courant dans un plan normal au plan du cercle limite, déduit à partir des travaux de Perry
et Chong [PC 1987], montre que c’est d’un écoulement normal au plan du

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