No d'ordre Annee

Thomas Haberkorn

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
No d'ordre : 2141 Annee 2004 THESE presentee pour obtenir le titre de DOCTEUR DE L'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE Ecole Doctorale : Informatique & Telecommunications Specialite : Mathematiques Appliquees par Thomas Haberkorn Transfert orbital a poussee faible avec minimisation de la consommation : resolution par homotopie differentielle Soutenue publiquement le 18 Octobre 2004 devant le jury compose de : MM. B. Bonnard Rapporteurs G. Colasurdo MM. R. Epenoy Examinateurs J. Gergaud P. Legendre M. Dayde Invite M. J. Noailles Directeur de these

• visage des esprits mercantiles


• homotopie differentielle


• resolution par homotopie differentielle


• premiere formulation


• transfert coplanaire en temps minimum


• traitement des minima locaux


• transfert coplanaire

Sujets

• Friedrich Nietzsche
• Institut national polytechnique de Toulouse

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Nombre de lectures: 40
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 5 Mo

Extrait

o N d’ordre : 2141

TH È SE

présentée pour obtenir le titre de

Année 2004

DOCTEUR DE L’INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUS É Ecole Doctorale : Informatique & Télécommunications Spécialité : Mathématiques Appliquées

par

ThomasHaberkorn

Transfert orbital à poussée faible avec minimisation de la consommation : résolution par homotopie différentielle

Soutenue publiquement le 18 Octobre 2004 devant le jury composé de :

MM.

MM.

M.

B. Bonnard G. Colasurdo

R. Epenoy J. Gergaud P. Legendre M. Daydé

J. Noailles

Rapporteurs

Examinateurs

Invité

Directeur de thèse

Ce qui se paie n’a guère de valeur ; voilà la croyance que je cracherai au visage des esprits mercantiles. (Friedrich Nietzsche)

Quelqu’un demandait à Antisthène ce qu’il enseignerait à son fils. Antisthène répondit : La philosophie, s’il doit vivre en compagnie des dieux, la rhétorique, s’il vit avec les hommes.

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Table

1

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des

matières

Problème traité et difficultés 1.1 Le problème physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Contrôle optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Méthodes homotopiques 2.1 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Homotopie associée à notre problème . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Homotopie discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Homotopie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Homotopie différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Aspects numériques 3.1 HOMPACK90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Mise à l’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Rubriqueàbrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Résultats et interprétations 4.1 Les critères homotopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Première formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Traitement des minima locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Troisième formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 12

23 23 24 28 30 30

37 38 44 46 49 52 56

59 60 63 68 89

Conditions initiales, lien impulsionnel 101 5.1 Sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2 Grandes variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Contrainte de cône 137 6.1 Transfert coplanaire en temps minimum . . . . . . . . . . . . 137 6.2 Transfert non coplanaire en temps minimum . . . . . . . . . . 144 6.3 Transfert coplanaire, maximisation de la masse finale . . . . . 149

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Approche directe 155 7.1 Méthode utilisée : Knitro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.2 Problèmes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.3 Transfert orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

A Détails des minimisations 181 A.1 Critère convexe, commandeH. . . . . . . . . . . 181minimale . A.2 Critère puissance, commandeHminimale . . . . . . . . . . . 182 A.3 Système non autonome, minimisation du Hamiltonien . . . . 183

B

C

Des contraintes de cônes et des commandesHminimales 185 B.1 Minimisation du temps de transfert . . . . . . . . . . . . . . . 185 B.2 Maximisation de la masse finale . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Cas du transfert impulsionnel 189 C.1 Le problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 C.2 Application à nos transferts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

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Introduction

Sujet Le présent manuscrit se rapporte à l’application du contrôle optimal à l’un de ses domaines de prédilection, à savoir la mécanique spatiale. En effet, les problèmes de mécanique spatiale, en l’occurrence de transfert orbital, se prêtent naturellement à une écriture sous forme de problèmes de contrôle optimal. On s’intéresse dans notre cas au transfert d’un satellite d’une or bite initiale basse et fortement elliptique jusqu’à l’orbite géostationnair equatoriale,letoutconsidérédansu é nréférentielgéocentrique.Cesatellite est de plus muni d’une propulsion de type électroionique et donc de faible magnitude. De tels transferts ont déjà été abondamment étudiés sous l’angle de la minimisation du temps de transfert [14, 34, 49], c’estàdire de la re cherche d’une loi de commande (direction et magnitude de la propulsion au cours du temps) minimisant la durée nécessaire à l’accomplissement de la manœuvre. Notre travail quant à lui s’oriente pour la majeure partie vers la recherche d’une loi de commande minimisant la consommation de carburant et donc maximisant la charge utile de l’engin spatial. Un tel critère est dans la continuation logique du précédent tout comme pourrait l’être un enri chissement de la modélisation de nos transferts orbitaux par adjonction de contraintes opérationnelles supplémentaires (dont un aspect est également traité dans ce rapport).

Idée générale Afin de traiter les problèmes de contrôle optimal, nous disposons d’un outil très puissant qui est le Principe du Maximum de Pontryagin [24, 11]. Ce principe a donné naissance aux méthodes de résolution dites indirectes. Parmi cellesci notre choix s’est porté sur le tir simple qui consiste à ra mener la résolution d’un problème aux deux bouts à la recherche d’un zéro d’une application non linéaire. L’avantage de cette méthode (et de toutes les méthodes indirectes) est sans conteste sa rapidité et sa précision qui sont des caractéristiques (spécialement la dernière) indispensables en aérospatial. Le revers de la médaille est une grande sensibilité du tir simple par rapport au point de départ de l’algorithme de recherche de zéro, encore exacerbée par la nature de nos lois de poussées optimales. Cette sensibilité, déjà présente,

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dans une moindre mesure, dans le problème de transfert en temps minimum avait dans ce cas été traitée avec une stratégie de continuation sur le module de la poussée [14]. Pour notre part nous avons choisi d’employer une méthode homotopique [3] permettant d’initialiser de manière plus que satisfaisante notre méthode de tir simple. L’homotopie considérée relie un critère de mi nimisation de l’énergie à celui désiré de maximisation de la masse finale. De part les propriétés de régularité de l’homotopie, nous utilisons une continua tion différentielle qui s’est révélée tout à fait adaptée. En effet, nous avons avec succès résolu le problème de transfert pour des poussées descendant jusqu’à 20mN(milliNewton) ce pour un satellite d’une masse initiale de 1500kg. Plus que la poussée minimale atteinte, l’efficacité de cette méthode vient du fait que pour obtenir un transfert solution, elle ne nécessite aucune connaissancea priorisur la structure de la stratégie de poussée solution. En effet, les transferts à masse finale maximum sont connus pour engendrer des commandes discontinues de norme soit maximale soit nulle. On peut traiter de tels problèmes grâce à une méthode de tir multiple [50] mais cela nécessite de connâıtre les instants de commutation (nombre, localisation) du contrôle solution. Or, dans notre cas, le nombre d’instants de commuta tion est inconnu et très élevé (de l’ordre de 1700 pour une poussée de 0.1 Newton). Notre travail a débouché sur l’élaboration de 2 logiciels,MfMaxv0 [39, 41] etMfMaxv1[40, 41], basés sur le logicielTfMin[20] pour le tir simple et le paquetageHOMPACK90[61] pour l’homotopie différentielle.

Organisation du rapport Ce rapport est structuré en 7 chapitres distincts. Le premier introduit le problème de transfert orbital qu’on se propose de résoudre ainsi que la modélisation choisie qui est celle des coordonnées de Gauss, principa lement pour des raisons de stabilité numérique. Nous présentons également laméthodedetirsimpledefa¸consuccincteainsiquelesdifficultésparti culières engendrées par notre critère de maximisation de la masse finale. Ceci nous amène directement au second chapitre qui est une réponse au problème de sensibilité du tir simple. Ce second chapitre présente de manière générale les méthodes homoto piques pour ensuite donner spécifiquement l’approche retenue pour pallier la sensibilité excessive du tir simple. Elle consiste à relier le critère de minimi 2 sation de l’énergie (carré de la normeLdu contrôle) à celui de minimisation 1 de la consommation (normeLdu contrôle) qui est équivalent à la maxi misation de la masse finale. On continue en donnant quelques propriétés de l’application homotopique utilisée qui justifieront notre choix de méthode du suivi de chemin de zéros. Nous enchâınons alors tout naturellement sur une présentation de trois de ces méthodes qui sont la continuation discrète, l’homotopie simpliciale et la continuation différentielle. Nous utilisons en

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pratique cette dernière. Le troisième chapitre est consacré aux aspects numériques de notre mé thode de résolution. On commence par préciser l’algorithme de suivi de chemin de zéros qui fait partie du paquetageHOMPACK90[61] et corres pond à l’intégration par une méthode de prédictioncorrection du problèm avaleurinitialeassociéauchemind è ezéros.Nousprésentonsensuitedi vers aspects numériques tels que le calcul du jacobien, l’initialisation de notre méthode de résolution, la mise à l’échelle des différentes variables ou l’intégrateur numérique utilisé. Le quatrième chapitre donne les principaux résultats obtenus sur notre problème de transfert orbital avec maximisation de la masse finale. Dans unpremiertempsoncomparedeuxfac¸onsdifférentesderelierhomotopi quementle critère de minimisation de l’énergie à celui de minimisation de la consommation. On présente ensuite les résultats de la première formula tion employée qui nous montre clairement l’existence de minima locaux que nous traitons par une reformulation de notre problème. Cette reformulation nous permet de donner des résultats tout à fait satisfaisants, ainsi que de nombreuses interprétations, notamment sur l’évolution de la masse finale en fonction du temps de transfert alloué. Nous finissons par une troisième formulation basée sur la plus grande régularité du système dynamique ex primé en fonction de la longitude par rapport au système autonome. Cette dernière formulation donne des résultats similaires à la précédente en termes de stratégie optimale mais permet d’atteindre des poussées plus faibles avec des temps d’exécution moindres et une mise en œuvre plus pratique. On note de plus que cette formulation nous a donné la possibilité d’effectuer les nombreux tests ayant donné naissance au chapitre suivant. Le cinquième chapitre traite ensuite de la sensibilité de notre transfert par rapport à l’orbite initiale. On y étudie l’influence de faibles change ments sur la forme de l’orbite initiale et sur l’inclinaison. On poursuit par l’étude de plusieurs jeux de transferts orbitaux qui sont cette foisci relative ment éloignés du transfert nominal. Ceci nous permettant d’établir quelques constatations sur la spécificité de notre transfert orbital et sur l’influence de l’orbite initiale sur le problème de minimisation du temps de transfert ou de maximisation de la masse finale. Nous relevons également quelques si militudes entre le transfert à poussée faible et le transfert impulsionnel. Ce chapitre peut aussi être vu comme une validation de la robustesse de notre méthode de résolution. L’avant dernier chapitre étudie l’introduction d’une contrainte de cône (double puis quadruple) dans notre problème de transfert orbital avec comme critère la minimisation du temps de transfert suivi de la minimisation de la consommation. L’approche utilisée ici est encore une fois homotopique bien qu’à l’usage il apparaisse que cette approche ne soit pas toujours adaptée, notamment dans le cas d’un transfert noncoplanaire. Il s’agit cependant d’une étude préliminaire qui nous permet tout de même d’exposer un certain

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nombre de résultats intéressants comme la faisabilité pratique (augmenta tion non prohibitive du temps de transfert et incidemment de la consomma tion) de tels transferts. Le dernier chapitre présente une approche directe pour la résolution du problème de transfert orbital avec maximisation de la masse finale. Cette approche est basée sur la discrétisation totale de l’état et du contrôle mais ne donne pas de résultats très prometteurs du fait, entre autre, de la non régularité du critère considéré. Nous notons cependant que l’approche directe a été la première approche nous ayant donné des résultats sur le transfert en masse maximum [35, 42] mais avec cette fois une paramétrisation du contrôle uniquement.

Collaborations

Cette étude s’inscrit dans le cadre d’une longue et fructueuse collabora 1 tion entre le groupe Contrôle de l’équipe APO située à l’ENSEEIHT et 2 composante de l’IRIT , Unité Mixte de Recherche du CNRS, avec la Divi 3 sion de Mécanique Spatiale du CNES de Toulouse. Les thèses [44, 14, 34] et les rapports [16, 19, 18, 22, 17] témoignent du travail accompli sur cette thématique des transferts orbitaux à poussée faible.

1 Algorithmique Parallèle et Optimisation 2 Institut de Recherche en Informatique de Toulouse 3 Centre National d’Etude Spatiale