On quasitriangular quasi Hopf algebras and a group closely connected with Gal bar Q Q

Sarah Carr

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Thèse de doctorat Spécialité : Mathématiques présentée par Sarah CARR et soutenue à Paris le 27 juin 2008 Pour obtenir le grade de DOCTEUR de l'UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Multizeta values: Lie algebras and periods on M0,n - Valeurs multizêta : algèbres de Lie et périodes sur M0,n Directrice de thèse Leila SCHNEPS (CNRS) Rapporteurs Don ZAGIER (Collège de France, MPIM) Masanobu KANEKO (Kyushu Univ.) Jury Daniel BERTRAND (Univ. Paris VI) Jacky CRESSON (Univ. Pau) Hidekazu FURUSHO (Nagoya Univ.) Pierre LOCHAK (CNRS) HOANG NGOC MINH (Univ. Lille) Leila SCHNEPS (CNRS) Don ZAGIER (Collège de France, MPIM)

• rham des espaces de modules de courbes en genre


• all relations


• algèbre de lie


• filtration par profondeur en profondeurs


• top dimensional de rham cohomology

Sujets

• Bertrand
• Higgins
• Pierre and Marie Curie University
• Cresson
• Algèbre de Lie

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 juin 2008
• Nombre de lectures: 189
• Langue: English

Extrait

UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE
Thèse de doctorat
Spécialité : Mathématiques
présentée par
Sarah CARR
et soutenue à Paris le 27 juin 2008
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR de l’UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE
Multizeta values: Lie algebras and periods onM0,n
-
Valeurs multizêta : algèbres de Lie et périodes surM0,n
Directrice de thèse Jury
Leila SCHNEPS (CNRS) Daniel BERTRAND (Univ. Paris VI)
Jacky CRESSON (Univ. Pau)
Hidekazu FURUSHO (Nagoya Univ.)
Pierre LOCHAK (CNRS)
HOANG NGOC MINH (Univ. Lille)Rapporteurs
Leila SCHNEPS (CNRS)Don ZAGIER (Collège de France, MPIM)
Don ZAGIER (Collège de France, MPIM)Masanobu KANEKO (Kyushu Univ.)ABSTRACT
Multizeta values: Lie algebras and periods onM0,n
Sarah Carr
Leila Schneps, Advisor
This thesis is a study of algebraic and geometric relations between multizeta values.
There are many such known sets of relations, coming from different theories, which are
conjecturally equivalent to each other and which conjecturally describe all relations on
multizeta values. This thesis was inspired by the conjectures of equivalence of these
relations.
To study the algebraic relations, we begin by looking at the double shuffle Lie al
gebra associated to multizeta values, which encodes the double shuffle relations. In
chapter 2 of this thesis, we prove a result which gives the dimension of the associated
depth graded pieces of the double shuffle Lie algebra in depths 1 and 2, thus verifying
the conjecture that the double shuffle Lie algebra is isomorphic to the Grothendieck
Teichmüller Lie algebra in small depths.
Another conjecturally equivalent set of relations between multizeta values comes
from their expression as periods onM , stemming originally from the work of Cartier0,n
and Kontsevich (among others). In chapters 3 and 4, we study these geometric relations.
The results obtained from this study provide some evidence toward the conjecture that
the associated formal period algebra is isomorphic to the formal zeta value algebra. The
key ingredient in this study is the top dimensional de Rham cohomology of partially
n−3 δcompactified moduli spaces of genus 0 curves with n marked points, H (M ). In0,n
order to encode multizeta values in a formal period algebra, we give an explicit expres
n−3 δsion for a basis ofH (M ). The techniques used in this construction are generalized0,n
in chapter 4, in which we explicitly describe the bases of the cohomology of other par-
tially compactified moduli spaces. This thesis concludes with a result which gives a
new presentation ofPic(M ).0,n
iiRÉSUMÉ
Valeurs multizêta : algèbres de Lie et périodes surM0,n
Sarah Carr
Leila Schneps, directrice de thèse
Cette thèse est une étude des relations algébriques et géométriques entre valeurs mul
tizêta. Il y a de nombreux ensembles de telles relations, provenant de théories dif
férentes. Conjecturalement, ces sont équivalents et décrivent de plus toutes
les relations entre valeurs multizêta. Cette thèse s’inspire de ces conjectures portant sur
l’équivalence de ces relations.
Afin d’étudier les relations algébriques, on commence par regarder l’algèbre de Lie,
ds, qui encode les r de double mélange. Dans le chapitre 2, on démontre un
résultat qui donne la dimension des parties graduées de ds associées à sa filtration par
profondeur en profondeurs 1 et 2. On démontre donc que ds est isomorphe a l’algèbre
de Liegrt dans les petites profondeurs.
Un autre ensemble de relations entre multizêtas, conjecturalement équivalent au
système de double mélange, découle de leur expression comme périodes surM , suiv 0,n
ant les méthodes de Cartier et Kontsevich (parmi d’autres). Dans les chapitres 3 et 4,
on étudie ces relations géométriques. Les résultats obtenus sont en accord avec la con
jecture affirmant que l’algèbre formelle des périodes est isomorphe à l’algèbre formelle
des multizêtas. L’ingrédient principal dans cette étude est la cohomologie de de Rham
des espaces de modules de courbes en genre 0 avec n points marqués partiellement
n−3 δcompactifiés,H (M ). Afin d’encoder les valeurs multizêta dans l’algèbre formelle0,n
n−3 δdes périodes, on donne une expression explicite pour une base de H (M ). Ces0,n
techniques sont généralisées dans le chapitre 4, dans lequel on décrit explicitement les
bases de la cohomologie d’autres espaces de modules partiellement compactifiés. Dans
la dernière partie, on fournit une nouvelle présentation dePic(M ).0,n
iiiThis thesis is dedicated to my father, Bill Higgins, because he understands.
ivAcknowlegements - Remerciements
I would like to thank numerous people for all of their help and encouragement in the
writing of this thesis. I could not have done it alone. Everybody mentioned (and not)
deserves more gratitude than I can express in these short pages.
TO LEILA: There is not a day that passes where I don’t say to myself that I need to thank
Leila for something in my thesis acknowledgements. There are simple thanks, that one
says every day, and profound thanks, that mean thank you being there and changing my
life. When I say “thank you”, please understand that I mean it in the latter sense.
I’ll never forget our first lunch together at the crêperie, after which you gave me
a copy of Esquisse d’un Programme. I was immediately attracted to your openness, en
thusiasm, grace, all of your qualities that make you lovable and unforgettable to the
people that have the luck of being in your life. I thank you infinitely for making this
thesis possible in so many ways. Thank you for entrusting me with the most precious
things in your life, thus allowing me to come to Paris. Thank you for finding the MBA
Center and encouraging me to apply so that I could live comfortably through DEA and
thesis. Thank you for all of your encouragement in my travels as a mathematician, to
Lille, Luminy, Israel, Augsburg, Oberwolfach and Philadelphia. Your faith in me as a
mathematical diplomat planted a seed of mathematical confidence that is inside and
growing.
One thing that a graduate student in mathematics learns quickly is that mathemat
ics is difficult. Miraculously, you make it seem easy because you can see the truth
through the filter of definitions and notations. I’ve learned the most interesting subjects
in mathematics through your clear and intuitive explanations. Thanks for teaching me
to test my hypotheses and for helping me find the correct hypotheses to test. Thanks
for teaching me to do things rigorously, and for respecting my ideas. Thank you for
always pushing me in the right direction when I was stuck. Thank you for generously
sharing your ideas with me, and for letting me build on them as if they were my own.
Thank you for introducing me to double shuffle, cell numbers,M , and polygons: my0,n
best non human friends during this thesis. How does anybody live without you? I am
always proud to say that I am Leila Schneps’ thesis student. I could write a tome on
your qualities as thesis director, but I cannot write them all here, so please accept this
final word of thanks as a profound expression of my gratitude.
TO MY COLLEAGUES AT JUSSIEU: I would like to thank Pierre Lochak for all of his
valiant attempts at rendering me more intelligent. I often turned to him to remind me of
things I should already know, and I appreciate his patience (especially with chapter 4).
It is an understatement to say that his familiarity with, and curiosity about, mathematics
is astonishing. It was a real pleasure having Pierre near during these last six years.
J’exprime mes sincères remerciements à Daniel Bertrand pour son aide à l’entrée
vcomme en sortie de thèse. Il était toujours là, avec sa porte ouverte, pour donner
un coup de pouce. Je tiens également à remercier l’admirable ancien directeur de
l’IMJ, Gilles Godefroy, pour ses conseils, administratifs et professionnels. Ses qual
ités humaines sont beaucoup appréciées par les membres de l’IMJ. Mes sincères remer-
ciements vont également à Michel Waldschmidt pour avoir suivi mon développement
mathématique ainsi que pour son soutien avec les candidatures de postdoc. Son interêt
en mon travail est un honneur pour moi.
J’adresse mes remerciements particuliers à Francis de m’avoir adopté comme collab
oratrice. C’était un vrai plaisir de travailler avec lui autour des multizêtas cellulaires.
C’est un mathématicien d’exception et un véritable “role model”. Sa perspicacité à pro
pos des périodes est étonnante. Je considère le travail qu’on a effectué en 2006 comme
le plus in