PHENOMENES DE SYMETRIE DANS DES FORMES LINEAIRES EN POLYZETAS

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
PHENOMENES DE SYMETRIE DANS DES FORMES LINEAIRES EN POLYZETAS par J. Cresson, S. Fischler et T. Rivoal Resume. — On donne deux generalisations, en profondeur quelconque, du phenomene de symetrie utilise par Ball-Rivoal pour demontrer qu'une infinite de valeurs de la fonction ? de Riemann aux entiers impairs sont irrationnelles. Ces generalisations concernent des series mul- tiples de type hypergeometrique qui s'ecrivent comme formes lineaires en certains polyzetas. La preuve utilise notamment la regularisation des polyzetas a divergence logarithmique. Abstract. — We give two generalizations, in arbitrary depth, of the symmetry phenomenon used by Ball-Rivoal to prove that infinitely many values of Riemann ? function at odd integers are irrational. These generalizations concern multiple series of hypergeometric type, which can be written as linear forms in some specific multiple zeta values. The proof makes use of the regularization procedure for multiple zeta values with logarithmic divergence. Table des matieres 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. L'enonce dans le cas convergent . . . . . . . . . . . . . .

  • somme multiple

  • irrationalite de ?

  • regularisation des polyzetas

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  • phenomene de symetrie

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  • processus de regularisation

  • polyzetas


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¶ ? ¶PHENOMENES DE SYMETRIE DANS DES FORMES
¶ ^LINEAIRES EN POLYZETAS
par
J. Cresson, S. Fischler et T. Rivoal
R¶esum¶e. | On donne deux g¶en¶eralisations, en profondeur quelconque, du ph¶enomene? de
sym¶etrie utilis¶e par Ball-Rivoal pour d¶emontrer qu’une inflnit¶e de valeurs de la fonction ‡ de
Riemannauxentiersimpairssontirrationnelles.Cesg¶en¶eralisationsconcernentdess¶eriesmul-
tiples de type hyperg¶eom¶etrique qui s’¶ecrivent comme formes lin¶eaires en certains polyz^etas.
La preuve utilise notamment la r¶egularisation des polyz^etas a? divergence logarithmique.
Abstract. | We give two generalizations, in arbitrary depth, of the symmetry phenomenon
usedbyBall-RivoaltoprovethatinflnitelymanyvaluesofRiemann‡ functionatoddintegers
areirrational.Thesegeneralizationsconcernmultipleseriesofhypergeometrictype,whichcan
be written as linear forms in some speciflc m zeta values. The proof makes use of the
regularization procedure for multiple zeta values with logarithmic divergence.
Table des matieres?
1. Introduction .......................................................... 2
2. L’¶enonc¶e dans le cas convergent ...................................... 8
2.1. Polyz^etas antisym¶etriques ...................................... 8
2.2. Enonc¶e du r¶esultat principal .................................. 9
2.3. Applications diophantiennes ¶eventuelles ........................ 11
3. R¶egularisation des s¶eries divergentes .................................. 12
3.1. Rappels ........................................................ 12
¶3.2. Enonc¶e avec r¶egularisation des divergences .................... 13
4. D¶ecomposition en ¶el¶ements simples .................................. 14
4.1. Notations et actions de groupes ................................ 14
¶4.2. Enonc¶e r¶egularis¶e en termes d’¶el¶ements simples ................ 16
4.3. Liens entre les th¶eoremes? 5 et 6 ................................ 182
4.4. Preuve que le th¶eoreme? 6 implique le th¶eoreme? 4 .............. 18
5. D¶emonstration du th¶eoreme? 6 ........................................ 22
5.1. Preuve du th¶eoreme? 6 en profondeur 1 ........................ 22
5.2. Preuve du th¶eoreme? 6 en 2 ........................ 22
5.3. Preuve du th¶eoreme? 6 en profondeur 3 ........................ 26
5.4. Preuve du th¶eoreme? 6 en quelconque ................ 33
6. Preuve du th¶eoreme? d¶ecoupl¶e ........................................ 41
R¶ef¶erences .............................................................. 44
1. Introduction
Uneg¶en¶eralisationdelafonctionz^etadeRiemann‡(s)estdonn¶eeparless¶eriespolyz^etas,
d¶eflniespourtoutentierp‚1ettoutp-uplets=(s ;s ;:::;s )d’entiers‚1,avecs ‚2,1 2 p 1
par
X 1
‡(s ;s ;:::;s )= :1 2 p sps s1 2k k :::kp1 2k >k >:::>k ‚1p1 2
Les entiers p et s + s + ::: + s sont respectivement la profondeur et le poids de1 2 p
‡(s ;s ;:::;s ). On voit naturellement appara^‡tre les polyz^etas lorsque, par exemple, on1 2 p
consid?ere les produits des valeurs de la fonction z^eta : on a ‡(n)‡(m) = ‡(n + m) +
‡(n;m)+‡(m;n), ce qui permet en quelque sorte de lin¶eariser ces produits. En dehors
de quelques identit¶es telles que ‡(2;1)=‡(3) (due a? Euler), la nature arithm¶etique de ces
s¶eries est aussi peu connue que celle des nombres ‡(s). Cependant, l’ensemble des nombres
‡(s) poss?ede une tres? riche structure alg¶ebrique assez bien comprise, au moins conjectura-
lement (voir [15]). Par exemple, on peut s’int¶eresser auxQ-sous-espaces vectoriels Z dep
p¡2R, engendr¶es par les 2 polyz^etas de poids p‚ 2 :Z =Q‡(2),Z =Q‡(3)+Q‡(2;1),2 3
Z =Q‡(4)+Q‡(3;1)+Q‡(2;2)+Q‡(2;1;1), etc. Posons v = dim (Z ). On a alors la4 p Q p
conjecture suivante, dont le point (i) est du^ a? Zagier et le point (ii) a? Goncharov.
Conjecture 1. | (i) Pour tout entier p‚ 2, on a v = c , ou? l’entier c est d¶eflni parp p p
la r¶ecurrence lin¶eaire c =c +c , avec c =1, c =0 et c =1.p+3 p+1 p 0 1 2
(ii) LesQ-espaces vectorielsQ etZ (p‚2), sont en somme directe.p
pLa suite (v ) devrait donc cro^‡tre comme fi (ou? fi… 1;3247 est racine du polyn^omep p‚2
3 p¡2X ¡X¡1), ce qui est bien plus petit que 2 . Il y a donc conjecturalement beaucoup
de relations lin¶eaires entre les polyz^etas de m^eme poids et aucune en poids difi¶erents :
dans cette direction, un th¶eoreme? de Goncharov [7] et Terasoma [13] a–rme que l’on a
3
v •c pour tout entier p‚2. Il reste donca? montrer l’in¶egalit¶e inverse pour montrer (i),p p
mais aucune minoration non triviale de v n’est connue a? ce jour : m^eme si les relationsp
classiques donnent v =v =v =1, on est bloqu¶e d?es l’¶egalit¶e v =2, qui est ¶equivalente2 3 4 5
a? l’irrationalit¶e toujours inconnue de ‡(5)=(‡(3)‡(2)). Plus g¶en¶eralement, un des int¶er^ets
de la Conjecture 1 est d’impliquer la suivante.
Conjecture 2. | Les nombres …;‡(3);‡(5);‡(7);‡(9); etc, sont alg¶ebriquement ind¶epen-
dants surQ.
Cette conjecture semble actuellement totalement hors de port¶ee. Un certain nombre de
r¶esultats diophantiens ont n¶eanmoins ¶et¶e obtenus en profondeur 1, c’est- a-dire dans le cas
de la fonction z^eta de Riemann (voir [6]) :
(i) Le nombre ‡(3) est irrationnel (Ap¶ery [1]);
(ii) La dimension de l’espace vectoriel engendr¶e surQ par 1, ‡(3), ‡(5);:::;‡(A) (avec
A impair) cro^‡t au moins comme log(A) ([2, 11]);
(iii) Aumoinsundesquatrenombres‡(5);‡(7);‡(9);‡(11)estirrationnel(Zudilin[18]).
(1)Ces r¶esultats peuvent ^etre obtenus par l’¶etude de certaines s¶eries de la forme
1X P(k)
(1.1)
A(k)n+1k=1
avec P(X) 2 Q[X], n ‚ 0, A ‚ 1; on utilise ici le symbole de Pochhammer d¶eflni par
(k) = k(k +1):::(k +fi¡1). Ces s¶eries s’expriment comme combinaisons lin¶eaires surfi
Q de 1 et des valeurs de z^eta aux entiers. Le point crucial est que, dans ces combinaisons
lin¶eaires, flgurent seulement certaines valeurs de la fonction z^eta : ‡(3) dans le cas (i), des
valeurs ‡(s) avec s impair dans les cas (ii) et (iii). Ceci provient (dans les deux derniers
cas, et aussi dans certaines preuves de (i)) d’une propri¶et¶e de sym¶etrie li¶eea? l’aspect (tres)?
bien ¶equilibr¶e de la s¶erie (1.1) (voir [2] ou [11]) :
Th¶eor?eme 1. | Soit P 2Q[X] de degr¶e au plus A(n+1)¡2, tel que
A(n+1)+1P(¡n¡X)=(¡1) P(X):
Alors la s¶erie (1.1) est une combinaison lin¶eaire, ?a coe–cients rationnels, de 1 et des
valeurs ‡(s) pour s entier impair compris entre 3 et A.
Le but de cet article est de donner deux g¶en¶eralisations, en profondeur quelconque, de
ce ph¶enom?ene de sym¶etrie. Nous esp¶erons que ces g¶en¶eralisations ouvriront la porte a?
(1)Du moins, dans le cas de (i) et (ii); le point (iii) n¶ecessite une autre id¶ee (s¶erie d¶eriv¶ee ) mais la
base de d¶epart est la m^eme. Voir la fln de l’Introduction pour plus d’explications.
4
des r¶esultats diophantiens (d’irrationalit¶e ou d’ind¶ependance lin¶eaire) sur les polyz^etas qui
interviennent (voirx2.3).
Notre premier r¶esultat (d¶emontr¶e au paragraphe 6) concerne des sommes d¶ecoupl¶ees,
p⁄c’est- a-dire portant sur tous les p-uplets (k ;:::;k )2N :1 p
Th¶eor?eme 2. | Soient p‚ 1, n‚ 0 et A‚ 1 des entiers. Soit P 2Q[X ;:::;X ] un1 p
polyn^ome de degr¶e •A(n+1)¡2 par rapport ?a chacune des variables, tel que
P(X ;:::;X ;¡X ¡n;X ;:::;X )1 j¡1 j j+1 p
A(n+1)+1=(¡1) P(X ;:::;X ;X ;X ;:::;X )1 j¡1 j j+1 p
pour tout j2f1;:::;pg. Alors la somme multiple
X P(k ;:::;k )1 p
(1.2)
A A(k ) :::(k )1 pn+1 n+1k ;:::;k ‚11 p
est un polyn^ome ?a coe–cients rationnels, de degr¶e au plus p, en les ‡(s), pour s entier
impair compris entre 3 et A.
Par exemple, lorsque A=3 ou A=4, cette somme est un polyn^ome en ‡(3). Quand on
prend p=1, on retrouve exactement le th¶eoreme? 1 (quel que soit A).
La preuve du th¶eoreme? 2 consiste essentiellement (apres? avoir d¶ecompos¶e la fraction
rationnelle en ¶el¶ements simples) a? s¶eparer la somme multiple en un produit de p sommes
simplesauxquellesonappliqueleth¶eoreme? 1.Elleutiliseaussiunprocessusder¶egularisation,
dans une situation simple et ¶el¶ementaire.
L’inconv¶enientprincipalduth¶eor?eme2,dupointdevuedesapplications¶eventuelles,est
le fait que la somme sur k , ..., k soit d¶ecoupl¶ee. Cet inconv¶enient est visible par trois1 p
aspects que nous d¶ecrivons maintenant.
Tout d’abord, les s¶eries d¶ecoupl¶ees donnent toujours des polyn^omes en valeurs de ‡ en
des entiers, m^eme quand on omet l’hypoth?ese de sym¶etrie du th¶eor?eme 2. Cette remarque,
qui d¶ecoule de la preuve du th¶eoreme? 2 (voirx6), montre que les polyz^etas ne peuvent pas
intervenir r¶eellement dans ce cadre.
Ensuite, consid¶erons la s¶erie de Ball
1X n (k¡n) (k+n+1)n n2S =n! (k+ ) :n 42 (k)n+1k=1
Pour tout entier n, S est une forme lin¶eaire en 1 et ‡(3); cela se d¶eduit du th¶eoreme? 1.n
Elle co˜‡ncide exactement avec les formes lin¶eaires qui ont permis a? Ap¶ery de d¶emontrer5
l’irrationalit¶ede‡(3);sansrentrerdanslesd¶etails,indiquonsquecetteco˜‡ncidencen’estpas
du tout ¶evidente et qu’elle est la premiere? application de la conjecture des d¶enominateurs
pprouv¶ee dans [8]. Pour tout entier p‚ 1, la s¶erie S est ¶evidemment une s¶erie d¶ecoupl¶een
de la forme consid¶er¶ee dans le th¶eor?eme 2 avec
P(X ;:::;X )1 p
n n2p=n! (X + ):::(X + )(X ¡n) :::(X ¡n) (X +n+1) :::(X +n+1)1 p 1 n p n 1 n p n
2 2
pet A=4. Ainsi, S est un polyn^ome en ‡(3) de degr¶e (au plus) p, dont on pourrait a priorin
pesp¶erer d¶eduire la transcendance de ‡(3). Pourtant, S ne contient pas plus d’informationn
diophantienne que S et elle ne donne que l’irrationalit¶e de ‡(3).n
Enfln, les sommes multiples qui apparaissent dans les preuves d’irrationalit¶e sont plut^ot
de la forme
X P(k ;:::;k )1 p
; (1.3)
A A(k ) :::(k )1 pn+1 n+1k ‚:::‚k ‚11 p
c’est- a-dire que la somme porte sur des variables ordonn¶ees; c’est a? ce genre de s¶eries que
s’applique l’algorithme de [5]. Par exemple, lorsque p=2, A=2 et
P(X ;X )=n!(X ¡X +1) (X ¡n) (X ) ;1 2 1 2 n 2 n 2 n+1
(2)Sorokin [12] d¶emontre que la somme (1.3) est exactement la forme lin¶eaire en 1 et ‡(3)
utilis¶ee par Ap¶ery dans sa preuve d’irrationalit¶e. Plus g¶en¶eralement, une conjecture de
Vasilyev [14] a–rmait qu’une certaine int¶egrale multiple, ¶egale a? la s¶erie
X (k ¡k +1) :::(k ¡k +1) (k ¡n)1 2 n p¡1 p n p np¡"n! ; (1.4)
2¡"2 2(k ) :::(k ) (k )1 p¡1 pn+1 n+1 n+1k ‚¢¢¢‚k ‚11 p
est une forme lin¶eaire rationnelle en les valeurs de z^eta aux entiers‚2 de la m^eme parit¶e
que "2f0;1g. La formulation int¶egrale de cette conjecture a ¶et¶e d¶emontr¶ee dans [20] et
une version ra–n¶ee dans [8] : la m¶ethode consiste a? prouver que la s¶erie (1.4) s’exprime
aussi comme une s¶erie simple a? laquelle le th¶eoreme? 1 ci-dessus s’applique. Zlobin [17] a
r¶ecemment obtenu une d¶emonstration totalement difi¶erente par une ¶etude directe de la
s¶erie (1.4), dans l’esprit des m¶ethodes combinatoires d¶evelopp¶ees dans cet article. On peut
alors d¶emontrer des r¶esultats essentiellement de m^eme nature que ceux de [2, 11], ce qui
renforce l’int¶er^et pour des sommes multiples sur des indices ordonn¶es.
(2)Quand on applique l’algorithme de [5], on trouve une forme lin¶eaire en 1 et ‡(2;1); il faut alors utiliser
la relation ‡(2;1)=‡(3). De plus, Sorokin travaille a? l’aide d’une expression int¶egrale alternative de cette
somme.6
Nousavonsd¶emontr¶edans[5]quetoutes¶erieconvergentedelaforme(1.3)s’¶ecritcomme
combinaison lin¶eaire de polyz^etas de poids au plus pA et de profondeur au plus p (et ce
r¶esultat th¶eorique a ¶et¶e obtenu, ind¶ependamment, par Zlobin [16]). En outre, nous avons
pr¶esent¶eunalgorithme,quenousavonsimpl¶ement¶e[4]enPari,pourcalculerexplicitement
une telle combinaison lin¶eaire. Ceci nous a permis de d¶ecouvrir les propri¶et¶es de sym¶etrie
(3)que nous ¶enon»cons maintenant dans le cas particulier de la profondeur 2 :
Th¶eor?eme 3. | Soient n‚0 et A‚1 des entiers. Soit P 2Q[X ;X ] un polyn^ome en1 2
deux variables, de degr¶e •A(n+1)¡2 par rapport ?a chacune d’elles, tel que
8
P(X ;X )=¡P(X ;X )< 1 2 2 1
A(n+1)+1P(¡n¡X ;X )=(¡1) P(X ;X ) (1.5)1 2 1 2
: A(n+1)+1P(X ;¡n¡X )=(¡1) P(X ;X )1 2 1 2
Alors la somme double (1.3) est une combinaison lin¶eaire, ?a coe–cients rationnels :
{ de 1,
{ de valeurs ‡(s) avec s entier impair compris au sens large entre 3 et 2A,
0 0 0 0{ de difi¶erences ‡(s;s)¡‡(s;s) avec s, s entiers impairs tels que 3•s<s •A.
En particulier, si A=4, ce th¶eoreme? montre que la s¶erie double
X P(k ;k )1 2
4 4(k ) (k )1 2n+1 n+1k ‚k ‚11 2
est une forme lin¶eaire en 1, ‡(3), ‡(5) et ‡(7) (ce qui ¶etait loin d’^etre ¶evident a priori
puisqu’on part d’une s¶erie double). Pour A = 3, on obtient une forme lin¶eaire en 1, ‡(3),
‡(5); enfln, pour A=2, une forme lin¶eaire en 1 et ‡(3).
Il est a? noter que dans la s¶erie (1.3), les variables k , ..., k sont li¶ees par des in¶egalit¶es1 p
larges, comme dans [5] mais a? l’inverse de la d¶eflnition des polyz^etas.
Par exemple, le th¶eoreme? 3 donne le cas particulier suivant :
Corollaire 1. | Soient n;r;t;"‚0 et A‚1 des entiers tels que
"·(A+1)(n+1)+1mod2
et
"+4r+2t•(A¡1)(n+1)¡4:
(3)Poursimplifler,nousned¶emontronsicileth¶eoreme? 3quedanslecasou? nestpair:voirlaremarque5.2.1.7
Alors la s¶erie convergente
X ¡ ¢¡ ¢n n (k ¡k ¡r) (k +k +n¡r) (k ¡t) (k ¡t)" " 1 2 2r+1 1 2 2r+1 1 2t+n+1 2 2t+n+1
k + k +1 2 A A2 2 (k ) (k )1 2n+1 n+1k ‚k ‚11 2
est une combinaison lin¶eaire, ?a coe–cients rationnels, de 1, de valeurs ‡(s) (avec s entier
0 0 0impair tel que 3•s•2A¡1), et de difi¶erences ‡(s;s)¡‡(s;s) (avec s, s entiers impairs
0tels que 3•s<s •A).
Par exemple, on a
X ¡ ¢¡ ¢1 1 (k ¡k ¡1) (k +k ) (k ¡1) (k ¡1)1 2 3 1 2 3 1 4 2 4
k + k +1 2 7 72 2 (k ) (k )1 23 3k ‚k ‚11 2
¡ ¢189
=¡1156+891‡(3)+ ‡(5)+78 ‡(5;3)¡‡(3;5) :
2
Unautreingr¶edient,quiestfr¶equemmentutilis¶eavecdess¶eriessimples,consistea?d¶eriver
la fraction rationnelle en k, avant de sommer; par exemple, une double d¶erivation sert a?
montrer le r¶esultat de Zudilin [18] rappel¶e apres? la conjecture 2. Cette astuce, appliqu¶ee
plusieurs fois, permet de faire dispara^‡tre ‡(s) de la forme lin¶eaire obtenue, pour de petites
valeurs de s. On peut imaginer de l’utiliser pour des sommes multiples, m^eme si on n’a au-
cunr¶esultatconnudedisparitiondepolyz^etasdanscecadre.Ilestclairqu’end¶erivantune
¡ ¢
A Afraction rationnelle de la forme P(X ;:::;X )= (X ) :::(X ) par rapport a? l’une1 p 1 pn+1 n+1
des variables X , on obtient une fraction rationnelle de la m^eme forme (avec A remplac¶ei
par A+1). En profondeur 2, si un polyn^ome P(X ;X ) v¶erifle les relations (1.5), alors le1 2
polyn^ome Q d¶eflni par
‡ · ‡ ·2 2@ @ P(X ;X ) Q(X ;X )1 2 1 2
=
A A A+2 A+2@X @X (X ) (X ) (X ) (X )1 2 1 2 1 2n+1 n+1 n+1 n+1
les v¶erifle aussi; on peut donc lui appliquer aussi le th¶eoreme? 3. Cette remarque montre
qu’on aurait pu ajouter des d¶erivations dans le corollaire 1. Elle s’applique aussi en pro-
fondeur quelconque.
Ce texte est divis¶e comme suit. Nous donnons au paragraphe 2 l’¶enonc¶e g¶en¶eral, en pro-
fondeurquelconque,quenousobtenons.Lapreuveutilisedeuxoutils:lar¶egularisationdes
s¶eriesa?divergencelogarithmiqueetled¶eveloppementen¶el¶ementssimplesdesfractionsra-
tionnelles,quisontpr¶esent¶esauxparagraphes3et4respectivement.Cesoutilspermettent
d’¶enoncer (au paragraphe 4.2) le th¶eoreme? 6, qui implique notre r¶esultat principal (voir
x4.4). Ce th¶eoreme? est d¶emontr¶e au paragraphe 5, par r¶ecurrence sur la profondeur : il8
s’agit du c ur de la preuve. Le cas des profondeurs 1, 2 et 3 sont d¶etaill¶es s¶epar¶ement, et
servent d’introduction a? la d¶emonstration g¶en¶erale.
Enfln, au paragraphe 6, on d¶emontre le th¶eoreme? 2 ¶enonc¶e ci-dessus. La preuve suit la
m^emestrat¶egiequecelledur¶esultatprincipal,maischaque¶etapeestnettementplussimple
a? mettre en uvre.
Remerciements : Les auteurs ont eu l’opportunit¶e d’utiliser la puissance de calcul de
la grappe M¶edicis, ce qui leur a permis de mener plus facilement les exp¶erimentations qui
ont conduit aux r¶esultats de cet article.
2. L’¶enonc¶e dans le cas convergent
2.1. Polyz^etas antisym¶etriques. | Pour ¶enoncer notre r¶esultat en profondeur quel-
conque, nous aurons besoin de la notation suivante. Pour p‚ 0 et s ;:::;s ‚ 2 entiers,1 p
on pose
X
as‡ (s ;:::;s )= " ‡(s ;:::;s );1 p ? ?(1) ?(p)
?2Sp
ou? " d¶esigne la signature de la permutation ?. On appelle polyz^eta antisym¶etrique une?
telle combinaison lin¶eaire de polyz^etas (m^eme si, pour p ‚ 2, ce n’est pas en g¶en¶eral un
polyz^eta). Il s’agit de s¶eries convergentes, puisque tous les s sont suppos¶es^etre sup¶erieursi
ou ¶egaux a? 2; on utilisera donc parfois le terme de polyz^eta antisym¶etrique convergent.
as asPour p=1, on a ‡ (s)=‡(s). La convention naturelle consistea? poser ‡ (s ;:::;s )=11 p
lorsquep=0,puisqu’il existeuneuniquebijection del’ensemblevide dans lui-m^eme.Pour
asp=2, on a ‡ (s ;s )=‡(s ;s )¡‡(s ;s ) et lorsque p=3, on a1 2 1 2 2 1
as‡ (s ;s ;s )1 2 3
=‡(s ;s ;s )+‡(s ;s ;s )+‡(s ;s ;s )¡‡(s ;s ;s )¡‡(s ;s ;s )¡‡(s ;s ;s ):1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 1 3 1 3 2 3 2 1
Par d¶eflnition, pour tout ? 2 S on ap
as as‡ (s ;:::;s )=" ‡ (s ;:::;s );?(1) ?(p) ? 1 p
aset ‡ (s ;:::;s )=0 des? que deux des s sont ¶egaux.1 p i9
2.2. Enonc¶edur¶esultatprincipal. | NotonsA l’ensembledespolyn^omesP(X ;:::;X )2p 1 p
Q[X ;:::;X ] tels que :1 p
8
>Pour tout ? 2 S , on aitp>>> P(X ;X ;:::;X )=" P(X ;X ;:::;X ):?(1) ?(2) ?(p) ? 1 2 p>><
>Pour tout j2f1;:::;pg, on ait>> P(X ;:::;X ;¡X ¡n;X ;:::;X )1 j¡1 j j+1 p>: A(n+1)+1=(¡1) P(X ;:::;X ;X ;X ;:::;X ):1 j¡1 j j+1 p
Par exemple,A est exactement l’ensemble des polyn^omes P v¶eriflant les conditions (1.5).2
Par ailleurs, si P 2 A alors P a le m^eme degr¶e par rapport a? chacune des variablesp
X ;:::;X . Bien entendu la d¶eflnition deA d¶epend aussi de la parit¶e de A(n+1), mais1 p p
on ne re ete? pas cette d¶ependance pour ne pas alourdir la notation.
(4)Nous pouvons maintenant ¶enoncer notre r¶esultat principal.
Th¶eor?eme 4. | SoitP 2A dedegr¶e•A(n+1)¡2parrapport?achacunedesvariables.p
Alors la s¶erie
X P(k ;:::;k )1 p
(2.1)
A A(k ) :::(k )1 pn+1 n+1k ‚:::‚k ‚11 p
est une combinaison lin¶eaire, ?a coe–cients rationnels, de produits de la forme
as 0 0‡(s ):::‡(s )‡ (s ;:::;s )01 q 1 q
avec 8
0 0q;q ‚0 entiers tels que 2q+q •p;>< 0 0s ;:::;s ;s ;:::;s entiers impairs ‚3;01 q 1 q (2.2)
> s •2A¡1 pour tout i2f1;:::;qg;i: 0 0s •A pour tout i2f1;:::;qg:i
0 0La dissym¶etrie entre s ;:::;s d’une part, et s ;:::;s d’autre part, dans la conclusion01 q 1 q
de cet ¶enonc¶e sera comment¶ee plus loin (juste apr?es l’¶enonc¶e du th¶eoreme? 6).
Il est important de bien visualiser l’ensemble des produits de polyz^etas qui apparaissent
0 as 0 0dans ce th¶eoreme.? Par exemple, lorsque q = 0 le polyz^eta antisym¶etrique ‡ (s ;:::;s )01 q
vaut1(conform¶ementa?laconvention¶evoqu¶eeauparagraphe2.1),etonobtientunproduit
0devaleursde‡ endesentiersimpairs.Lorsqueq =q =0,ceproduitestvideetonobtient1.
(4)Ce r¶esultat, comme les th¶eor?emes 5 et 6 ci-dessous, ne sera d¶emontr¶e ici que dans le cas ou? n est pair.
Cecipermetdesimpliflerlapreuve(voirlaremarque5.2.1)etnedevraitpas^etreunobstaclea?d’¶eventuelles
applications diophantiennes.10
Si p = 1, le th¶eoreme? 4 a–rme que (2.1) est une combinaison lin¶eaire de 1 et des ‡(s)
pour s impair tel que 3•s•A : on retrouve le th¶eoreme? 1, c’est- a-dire le ph¶enomene? de
sym¶etrie li¶e aux s¶eries hyperg¶eom¶etriques (tres)? bien ¶equilibr¶ees en profondeur 1.
Si p=2, on obtient exactement le th¶eoreme? 3 ¶enonc¶e dans l’introduction.
Si p = 3, ce th¶eoreme? a–rme que la s¶erie est une combinaison lin¶eaire, a? coe–cients
rationnels :
{ de produits d’au plus deux valeurs de ‡ en des entiers impairs‚3,
as{ de polyz^etas antisym¶etriques convergents ‡ (s ;s ) avec s ;s ‚3 impairs,1 2 1 2
as{ de polyz^etas antisym¶ convergents ‡ (s ;s ;s ) avec s ;s ;s ‚3 impairs.1 2 3 1 2 3
0En profondeur p‚ 4, des termes tels que q‚ 1 et q ‚ 2 peuvent appara^‡tre : il semble
que la s¶erie obtenue ne soit pas toujours la somme d’un polyn^ome en valeurs ‡(s) (avec
ass impair) et d’une combinaison lin¶eaire de polyz^etas antisym¶etriques ‡ (s ;:::;s ) avec1 q
s ;:::;s impairs.1 q
?Al’inverse,onpeutafiaiblirlaconclusionduth¶eoreme? 4endisantquelas¶erieestunpo-
aslyn^omea( coe–cientsrationnels)enlespolyz^etasantisym¶etriquesconvergents ‡ (s ;:::;s )1 q
avec 1•q•p et s ;:::;s ‚3 impairs tels que s +:::+s •pA.1 q 1 q
0Lorsque A • 2, on a forc¶ement q = 0 pour tous les produits qui apparaissent, ce qui
fournit le corollaire suivant :
Corollaire 2. | Sous les hypoth?eses du th¶eor?eme 4, si A• 2 alors la s¶erie (2.1) est un
polyn^ome en ‡(3) a? coe–cients rationnels.
Le th¶eoreme? 4 contient, par exemple, le cas particulier suivant :
Corollaire 3. | Soient n;r;t;"‚0 et A;p‚1 des entiers tels que
"·(A+1)(n+1)+1mod2
et
"+(4r+2)p+2t•(A¡1)(n+1)+4r:
Alors la s¶erie convergente
• ‚• ‚pY Y
(k ¡k ¡r) (k +k +n¡r) (k ¡t)i j 2r+1 i j 2r+1 i 2t+n+1• ‚p "X Y n 1•i<j•p i=1
(k + )i A A2 (k ) :::(k )1 pn+1 n+1k ‚:::‚k ‚1 i=11 p
est une combinaison lin¶eaire comme celles du th¶eor?eme 4.