Surfaces a courbure moyenne constante via les champs de spineurs

Oussama Hijazi

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Surfaces a courbure moyenne constante via les champs de spineurs Benoıt Daniel et Oussama Hijazi Les surfaces minimales et a courbure moyenne constante (CMC) constituent un sujet d'etude classique en geometrie differentielle faisant appel a des techniques provenant de disciplines tres differen- tes. Dans ce projet de these nous souhaitons aborder des problemes concernant ces surfaces par des techniques de geometrie spinorielle. Ces surfaces interviennent dans des problemes variationnels : les surfaces minimales (c'est-a-dire a courbure moyenne nulle) sont les points critiques de l'aire pour toutes les transformations fixant leur bord, et plus generalement les surfaces CMC sont les points critiques de l'aire pour les transformations fixant leur bord et preservant le volume renferme par la surface et une surface fixe donnee. Lorsqu'on considere une surface complete sans bord, on demande que les petits domaines de cette surface verifient ces proprietes. Les solutions du probleme isoperimetrique sont egalement des surfaces CMC. La theorie des surfaces minimales de R3 a debute au dix-huitieme siecle avec les debuts du calcul des variations et les travaux d'Euler, de Lagrange et de Meusnier. Ils ont decouvert les premiers exemples (helicoıde, catenoıde) et etabli les equations des surfaces minimales. Au dix-neuvieme siecle, le physicien Plateau a montre experimentalement l'existence de surfaces minimales, obtenues comme pellicules de savon s'appuyant sur un contour. Par la suite, des mathematiciens comme Riemann, Weierstrass, Enneper et Schwarz se sont interesses aux surfaces minimales.

• courbure moyenne constante via les champs de spineurs


• varietes speciales


• resultats partiels


• surface d'aire minimale


• techniques provenant de disciplines tres


• theoreme classique


• surface minimale


• geometrie spinorielle

Sujets

• Rodríguez
• Hijazi script
• Lawson
• Island
• Princeton University

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

Surfaces`acourburemoyenneconstantevialeschampsdespineurs

BenoıˆtDanieletOussamaHijazi

Lessurfacesminimaleseta`courburemoyenneconstante(CMC)constituentunsujetd’´etude classiqueeng´eom´etriediffe´rentiellefaisantappel`adestechniquesprovenantdedisciplinestre`sdiffe´ren- tes.Dansceprojetdeth`esenoussouhaitonsaborderdesproble`mesconcernantcessurfacespardes techniquesdeg´eom´etriespinorielle. Cessurfacesinterviennentdansdesprobl`emesvariationnels:lessurfacesminimales(c’est-a`-dire`a courbure moyenne nulle) sont les points critiques de l’aire pour toutes les transformations fixant leur bord,etplusge´n´eralementlessurfacesCMCsontlespointscritiquesdel’airepourlestransformations fixantleurbordetpr´eservantlevolumerenferm´eparlasurfaceetunesurfacefixedonne´e.Lorsqu’on conside`reunesurfacecomple`tesansbord,ondemandequelespetitsdomainesdecettesurfaceve´rifient cespropri´et´es.Lessolutionsduprobl`emeisop´erim´etriquesonte´galementdessurfacesCMC. 3 Lathe´oriedessurfacesminimalesdeR´eauebutad´lustudacclsdlebu´eleececavme`i`ise-xidtiuh desvariationsetlestravauxd’Euler,deLagrangeetdeMeusnier.Ilsontde´couvertlespremiers exemples(he´lico¨ıde,cat´eno¨ıde)et´etabliles´equationsdessurfacesminimales.Audix-neuvi`emesi`ecle, lephysicienPlateauamontr´eexpe´rimentalementl’existencedesurfacesminimales,obtenuescomme pelliculesdesavons’appuyantsuruncontour.Parlasuite,desmathe´maticienscommeRiemann, Weierstrass,EnneperetSchwarzsesontinte´ress´esauxsurfacesminimales.Denouveauxexemplesont e´t´ede´couverts,etWeierstrassaobtenuunedescriptiondessurfacesminimalesentermesdedonn´ees m´eromorphes:c’estlarsastrrsieWenoedatitsenepe´r. Danslapremie`remoiti´eduvingti`emesie`cle,lesmath´ematicienssesontinte´resse´sauprobl`eme dePlateau,c’est-`a-diretrouverunesurfaced’aireminimaled´elimit´eeparunecourbeferm´eedonn´ee. L’existenced’unesolutiona´ete´d´emontre´eparlestravauxdeRado´,DouglasetCourantnotamment. Lesproble`mesdere´gularite´ontensuitee´t´e´etudi´esentreautresparOsserman,GulliveretHildebrandt. Plusr´ecemment,lesrecherchessesontfocalise´essurlessurfacesminimalessansbordproprement plong´ees:probl`emesdeclassificationetd’unicite´(enparticuliercaracte´risationsdesexemplesclas- siquesparP.Collin[5],W.MeeksetH.Rosenberg[23],W.Meeks,J.Pe´rezetA.Ros[20]),construction d’exemples.Lath´eoriedeColding-Minicozziaconstitu´euneavanc´eemajeurepourcela.Parall`element, 3 3 lathe´oriedessurfacesCMCdansRe(nttansererh`spedno,danslesautresespcasea`ocruuberocS 3 et espace hyperboliqueHcleuuqnoaibmqetnibssucea’eesaustolppe´euodpe´ev)oudenavnaus´taeire´ etconstitueunth`emederecherchetr`esactif. Aucoursdesdixdernie`resann´ees,l’´etudedecessurfacess’estbeaucoupde´velopp´eedansd’autres ] 2 2 varie´te´shomog`enes(H×R,S×R, Nil 3 , PSL 2 (R) et Sol 3 trapedriartsxuav)ot,nmeam`ant’d.U AbreschetH.Rosenberg[1,2].Onrappellequ’unevari´ete´estditehomog`enesisongrouped’isom´etries agittransitivementdessus.Autrementdit,touteslesr´egionsd’unevarie´t´ehomog`enesontsem-  blables.Cesespacessontlesplussimplesapr`eslesespaces`acourbureconstante,etconstituent   uncadrenaturelpoure´tablirdesre´sultatsdeclassificationetd’unicite´desurfacesCMC(`aisome´tries ambiantespr`es). Cette´etudeae´galementeudesapplicationsimportantesetassezinattenduesa`lacompr´ehension desdiffe´omorphismesharmoniquesentresurfaces[6].Denombreuxnouveauxexemplesdesurfaces

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