These de l'Universite Joseph Fourier Grenoble I

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
These de l'Universite Joseph Fourier (Grenoble I) Transformations integrales pour les courants positifs fermes et theorie de l'intersection Michel Meo preparee a l'Institut Fourier laboratoire de mathematiques, UMR 5582 du C.N.R.S. soutenue le mercredi 17 janvier 1996 Jury : Jean-Pierre Demailly (UJF), directeur Nessim Sibony (Paris XI), rapporteur Henri Skoda (Paris VI), rapporteur Christophe Soule (CNRS, IHES), examinateur Mikhail Zaidenberg (UJF), president

• inegalites d'auto-intersection


• fermes de l'espace projectif


• variete projective


• definition des coordonnees de chow des cy- cles effectifs de l'espace projectif


• coordonnees de chow


• ferme


• projection sur l'espace des parametres du graphe


• famille des cycles de dimension q?1


• courant de bidegre


• courant positif

Sujets

• Intégrale
• Fourier
• Demailly
• Variété projective

Informations

• Publié par: profil-zyak-2012
• Publié le: 01 janvier 1996
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

Th`esedel’Universite´JosephFourier(GrenobleI)

Transformationsint´egralespourlescourants positifsferme´setth´eoriedel’intersection

MichelMe´o

´r´ee`al’InstitutFourier prepa laboratoiredemath´ematiques,UMR5582duC.N.R.S.

soutenue le mercredi 17 janvier 1996

Jury : Jean-Pierre Demailly (UJF), directeur Nessim Sibony (Paris XI), rapporteur HenriSkoda(ParisVI),rapp ´ orteur ChristopheSoul´e(CNRS,IHES),examinateur Mikhail Zaidenberg (UJF), president ´

´ ´ RESUME

On´etudietoutd’abordlatransformationint´egralequipermetd’´etendre auxcourantspositifsferm´eslad´efinitiondescoordonn´eesdeChowdescy- ` cleseffectifsdel’espaceprojectif.Auncourantdebidegre´ (q q) ssatseei´oc uncourantdebidegre´ (11) uossse-ssnoielrucepas,bont´egrattenupari projectifs de dimension q−1 seofmrntlejoueedesrˆolopseltnosleitnettde deChow.Onv´erifiequecettetransformationestelleaussiinjective.La d´emonstrationrepose,apre`sutilisationd’untranchage,suruneformule classique d’inversion de la transformation de Radon des fonctions. Danslasecondepartieon´etablit,pouruncourantpositifferme´d´efini surunevarie´te´projective,din´lite´sauto-intersectionquipermet-es ega tentdebornerledegr´edesstrateso`ulamultiplicit´eestconstante.La de´monstrationconsisted’abord`aseramenerparplongementaucasde l’espaceprojectif.Onappliquealorslathe´oriedesope´rateursdeMonge- Ampe`repoureffectuerl’intersectionducourantaveclesregularis´esd’un ´ courantauxiliairedebidegre´ (11) aluiˆeemdeme´egrqteelmseˆemnsmo- bresdeLelong.Pourde´finircedernier,plusieursconstructionsdiffe´rentes sont´etudi´ees. Dansladerni`erepartieone´tudiel’existencedel’imageinversed’un courantpositifferme´quelconqueparuneapplicationanalytiquesurjec- tive. Sauf dans le cas de la codimension 1, cette image inverse n’existe pasenge´n´eral:lecasd’un´eclatementdonneuncontre-exemple.Dansle casd’uneapplicationouverte,onpeutenrevanched´efinirl’imageinverse. Onserame`negraˆce`auntranchageaucasd’unmorphismefinieton utilisealorsunpotentiellocalassocie´aucourant.Ondonneensuitedes in´egalit´esentrelesnombresdeLelongducourantetceuxdesonimage inverse.

´ MOTS-CLES Espaceprojectif,grassmannienne,coordonne´esdeChow,transformation deRadon,courantpositifferme´,potentielpresqueplurisousharmonique, op´erateurdeMonge-Amp`ere,formedeGreen,classesdeBott-Chern.

´ CLASSIFICATION MATHEMATIQUE 14C05,32C30, 32J25, 53C65, 58A25.

SOMMAIRE

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Chapitre 0.RAPPELS SUR LES COURANTS POSITIFS 1. Courant d’integration sur un ensemble analytique . . . . . . . . . . . . 11 ´ 2. Nombres de Lelong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.Ope´rateursdeMonge-Ampe`re....................13 ´ ´ ´ ´ Chapitre 1.COORDONNEES DE CHOW ET GEOMETRIE INTEGRALE 1.Rappelssurlescoordonne´esdeChow.................15 2. Extension aux courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.Re´sultatsd’injectivit´e........................21 4. Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chapitre 2.POTENTIEL DE LELONG-SKODA ET ´ THEORIE DE L’INTERSECTION 1.Courantdebidegr´e(1,1)associ´ea`un courantpositifferm´edel’espaceprojectif...............29 2. Conservation des nombres de Lelong . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.In´egalite´sd’auto-intersection.....................36 4. Calcul du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5. Formes d’Euler-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ´ Chapitre 3.IMAGE INVERSE D’UN COURANT POSITIF FERME PAR UNE APPLICATION ANALYTIQUE SURJECTIVE 1.Casd’uncourantdebidegr´e(1,1)...................47 2. Cas d’une application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.Casd’un´eclatement........................52 4. Nombres de Lelong d’une image inverse . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

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Introduction

Leschapitres1et2decetteth`esetraitentdelaconstructionge´ome´triquea`l’aide d’imagesdirectesetinversesdepotentielspresqueplurisousharmoniquesassoci´esna- turellementauxcourantspositifsferm´esdel’espaceprojectif.Lepremierdecespoten- tielsintervientdansl’e´tudedel’analoguepourlescourantsdescoordonn´eesdeChow,le secondsert`a´etablirdesin´egalite´sd’auto-intersectionquipermettentdebornerledegr´e desstratesdemultiplicit´econstanted’uncourantpositifferm´e. Danslechapitre3,leprobl`emedelade´finitiondel’imageinversed’uncourant positifferme´quelconqueparuneapplicationanalytiquesurjectiveeste´tudi´eetre´duita` desprobl`emesd’intersectiondecourants. Jevoudraisexprimermagratitudea`Jean-PierreDemaillyquim’apropose´l’e´tude decesquestionsetdontlesremarquesetlesconseilsontaid´e`al’´elaborationdecetravail. Mesremerciementss’adressentaussia`ArletteGuttin-Lombardpourlesoinetladiligence aveclesquelselleaeffectu´elasaisiedumanuscrit.

1.Coordonn´eesdeChowetge´ome´trieinte´grale On´etudieicilatransformationinte´gralequipermetd’´etendreauxcourantspositifs ferme´slad´efinitiondescoordonne´esdeChowdescycleseffectifsd’unevarie´te´projective. Pourlad´efinir,onconsid`erelafamilledescyclesdedimensionq−1 qui sont des ensembles- basesdesyste`mesline´airesd’undiviseurtr`esampledonne´etlaprojectionsurl’espace desparame`tresdugraphequiluiestassocie´.Latransforme´edeChowd’uncourant quelconquedebidegr´e(q qtaesrslocoleanurbedtgedi(e´r1)nupaobte´egrrintntaoi)1 le long des fibres de cette fibration. Pourlescourantsferme´sd’ordre0,ondonneuneautrefacondecalculercette ¸ transforme´equiconsiste,sachantqueledegr´eestconserve´,`aexprimerd’abordson potentiel : pour un tel courantTe´rpjoceitevnidansunevari´etfie´dX, ce dernier est `auneconstantepre`se´gal`alafonctionquiauncycleYdemee´´cetmbrnpecumooment ` associe la masse R XY T∧γ Y u`oγ Y est une forme de Green explicite deY. Dans le cas – 5 –

ou`Tctffeifycnueelcicosa`e´ntasouratlecesZ, on retrouve en fait la fonction logkf Z k avecf Z dwohCedeeangnsi´ermfonetudZ. Onve´rifieensuitel’injectivit´edelatransformationdeChow.Apre`ss’eˆtreramen´e aucasdel’espaceprojectifenplongeantlavarie´t´e,lad´emonstrationreposesurunefor- muled’inversiondue`aHelgasonpourlatransformationdeRadondesfonctions.Cette formuledonnedirectementl’injectivite´delatransformationdeChowdanslecasdes courantsdedimension0.Pourlescourantsdebidegre´(q q) quelconque qui sont locale- mentplats,ilsuffitalorsdelacombineravecuntranchage.Danslecasge´n´eral,onla combineavecdescalculsencoordonn´eeseffectu´espourlesformesC ∞ dans [GGG] et qui s’´etendentdirectementauxcourants.

2.PotentieldeLelong-Skodaetth´eoriedel’intersection Danscettepartie,notrebutestded´emontrerdesine´galite´sd’auto-intersection pourlescourantspositifsferm´esde´finissurunevari´et´eprojective.Onserameneaucas ` de l’espace projectif par un argument de plongement et on utilise alors un potentiel qu’on p ut calculer explicitement de plusieurs ¸ e facons. SoitTcnupontraouerfftisibedi´mdeisnomine(p pavene´irce´t-mo)d´eansufinid plexeXde dimensionnet, pourc >0,E c esedm´orefqutilystniopelsous-ensembleana en lesquels le nombre de Lelong deTa´eoul`gaeiru´pretsusec. On supposeXcompacte etmunied’unem´etriquek¨ahle´rienneωragedupe´rorationd`aunemaj´treseesteno’sni rapporta`ωpoomntsascdeionmensdedilbsecuit´rdeseriqesslandtnassiarappaee´donn E c en termes de la classe de cohomologie deT. Onrappelleler´esultatobtenuparDemailly(cf.[De3]).Soit0=b p    ≤≤ b −1 la suite des valeurs de saut de dimension desE c . Autrement ditb q = inf{c >0, dimE c ≤q} avec en particulierb −1 = m ∈ a X xν(T  x) et pourc∈]b q  b q−1 ] la dimension deE c estq. Soit x (Z qk ) k≥1 lleafamilarreductiblesdedmineisnoluup´esdmbnoblrasedepmocnasoisetq ´ desE c pourc∈]b q  b q−1 ] etν qk = ∈ m Z inν(T  x)∈]b q  b q−1 ]lendeLemorbqggieeu´l´ennroe x qk deTle long deZ qk . Lorsquep=n−erid-a`-tse’c1T(1´egrdebidestv´erifiuivanteeagil´tse,)’lnie´1ee´ (1) X (ν qk −b n−1 )  (ν qk −b q ){Z qk }{ω} q ≤({T}+b n−1 {u}) k≥1   ({T}+b q {u}){ω} q o`u{u}est une classe de cohomologie dansXsemi-positive (i.e.cudeenoˆand’asl´edhncre ´ deK¨ahler)tellequec 1 (O T X (1)) +π ∗ X {u}soit semi-positive,O T X erbtlefignan´esi(1)d endroitestautologiqueassoci´eaufibre´tangentT Xpehyesednslarpusdufibr´au-dess P(T ∗ X) etπ X :P(T ∗ X)→Xisilerelsu´eatltedrojelapn.Lactionots´dmenotuarit – 6 –