These de l Universite Joseph Fourier Grenoble I
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These de l'Universite Joseph Fourier Grenoble I

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Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
These de l'Universite Joseph Fourier (Grenoble I) Transformations integrales pour les courants positifs fermes et theorie de l'intersection Michel Meo preparee a l'Institut Fourier laboratoire de mathematiques, UMR 5582 du C.N.R.S. soutenue le mercredi 17 janvier 1996 Jury : Jean-Pierre Demailly (UJF), directeur Nessim Sibony (Paris XI), rapporteur Henri Skoda (Paris VI), rapporteur Christophe Soule (CNRS, IHES), examinateur Mikhail Zaidenberg (UJF), president

  • inegalites d'auto-intersection

  • fermes de l'espace projectif

  • variete projective

  • definition des coordonnees de chow des cy- cles effectifs de l'espace projectif

  • coordonnees de chow

  • ferme

  • projection sur l'espace des parametres du graphe

  • famille des cycles de dimension q?1

  • courant de bidegre

  • courant positif


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Publié le 01 janvier 1996
Nombre de lectures 68
Langue Français

Exrait

Th`esedelUniversite´JosephFourier(GrenobleI)
Transformationsint´egralespourlescourants positifsferme´setth´eoriedelintersection
MichelMe´o
´r´ee`alInstitutFourier prepa laboratoiredemath´ematiques,UMR5582duC.N.R.S.
soutenue le mercredi 17 janvier 1996
Jury : Jean-Pierre Demailly (UJF), directeur Nessim Sibony (Paris XI), rapporteur HenriSkoda(ParisVI),rapp´orteur ChristopheSoul´e(CNRS,IHES),examinateur Mikhail Zaidenberg (UJF), president ´
´ ´ RESUME
On´etudietoutdabordlatransformationint´egralequipermetd´etendre auxcourantspositifsferm´eslad´enitiondescoordonn´eesdeChowdescy-` cleseectifsdelespaceprojectif.Auncourantdebidegre´(q q)ssatseei´oc uncourantdebidegre´(11)uossse-ssnoielrucepas,bont´egrattenupari projectifs de dimensionq1seofmrntlejoueedesrˆolopseltnosleitnettde deChow.Onv´eriequecettetransformationestelleaussiinjective.La d´emonstrationrepose,apre`sutilisationduntranchage,suruneformule classique d’inversion de la transformation de Radon des fonctions. Danslasecondepartieon´etablit,pouruncourantpositifferme´d´eni surunevarie´te´projective,din´lite´sauto-intersectionquipermet-es ega tentdebornerledegr´edesstrateso`ulamultiplicit´eestconstante.La de´monstrationconsistedabord`aseramenerparplongementaucasde lespaceprojectif.Onappliquealorslathe´oriedesope´rateursdeMonge-Ampe`repoureectuerlintersectionducourantaveclesregularis´esdun ´ courantauxiliairedebidegre´(11)aluiˆeemdeme´egrqteelmseˆemnsmo-bresdeLelong.Pourde´nircedernier,plusieursconstructionsdie´rentes sont´etudi´ees. Dansladerni`erepartieone´tudielexistencedelimageinversedun courantpositifferme´quelconqueparuneapplicationanalytiquesurjec-tive. Sauf dans le cas de la codimension 1, cette image inverse n’existe pasenge´n´eral:lecasdun´eclatementdonneuncontre-exemple.Dansle casduneapplicationouverte,onpeutenrevanched´enirlimageinverse. Onserame`negraˆce`auntranchageaucasdunmorphismenieton utilisealorsunpotentiellocalassocie´aucourant.Ondonneensuitedes in´egalit´esentrelesnombresdeLelongducourantetceuxdesonimage inverse.
´ MOTS-CLES Espaceprojectif,grassmannienne,coordonne´esdeChow,transformation deRadon,courantpositifferme´,potentielpresqueplurisousharmonique, op´erateurdeMonge-Amp`ere,formedeGreen,classesdeBott-Chern.
´ CLASSIFICATION MATHEMATIQUE 14C05,32C30, 32J25, 53C65, 58A25.
SOMMAIRE
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Chapitre 0.RAPPELS SUR LES COURANTS POSITIFS 1. Courant d’integration sur un ensemble analytique . . . . . . . . . . . . 11 ´ 2. Nombres de Lelong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.Ope´rateursdeMonge-Ampe`re....................13 ´ ´ ´ ´ Chapitre 1.COORDONNEES DE CHOW ET GEOMETRIE INTEGRALE 1.Rappelssurlescoordonne´esdeChow.................15 2. Extension aux courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.Re´sultatsdinjectivit´e........................21 4. Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chapitre 2.POTENTIEL DE LELONG-SKODA ET ´ THEORIE DE L’INTERSECTION 1.Courantdebidegr´e(1,1)associ´ea`un courantpositifferm´edelespaceprojectif...............29 2. Conservation des nombres de Lelong . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.In´egalite´sdauto-intersection.....................36 4. Calcul du potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5. Formes d’Euler-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ´ Chapitre 3.IMAGE INVERSE D’UN COURANT POSITIF FERME PAR UNE APPLICATION ANALYTIQUE SURJECTIVE 1.Casduncourantdebidegr´e(1,1)...................47 2. Cas d’une application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.Casdun´eclatement........................52 4. Nombres de Lelong d’une image inverse . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
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Introduction
Leschapitres1et2decetteth`esetraitentdelaconstructionge´ome´triquea`laide dimagesdirectesetinversesdepotentielspresqueplurisousharmoniquesassoci´esna-turellementauxcourantspositifsferm´esdelespaceprojectif.Lepremierdecespoten-tielsintervientdansle´tudedelanaloguepourlescourantsdescoordonn´eesdeChow,le secondsert`a´etablirdesin´egalite´sdauto-intersectionquipermettentdebornerledegr´e desstratesdemultiplicit´econstanteduncourantpositifferm´e. Danslechapitre3,leprobl`emedelade´nitiondelimageinverseduncourant positifferme´quelconqueparuneapplicationanalytiquesurjectiveeste´tudi´eetre´duita` desprobl`emesdintersectiondecourants. Jevoudraisexprimermagratitudea`Jean-PierreDemaillyquimapropose´le´tude decesquestionsetdontlesremarquesetlesconseilsontaid´e`al´elaborationdecetravail. Mesremerciementssadressentaussia`ArletteGuttin-Lombardpourlesoinetladiligence aveclesquelselleaeectu´elasaisiedumanuscrit.
1.Coordonn´eesdeChowetge´ome´trieinte´grale On´etudieicilatransformationinte´gralequipermetd´etendreauxcourantspositifs ferme´slad´enitiondescoordonne´esdeChowdescycleseectifsdunevarie´te´projective. Pourlad´enir,onconsid`erelafamilledescyclesdedimensionq1 qui sont des ensembles-basesdesyste`mesline´airesdundiviseurtr`esampledonne´etlaprojectionsurlespace desparame`tresdugraphequiluiestassocie´.Latransforme´edeChowduncourant quelconquedebidegr´e(q qtaesrslocoleanurbedtgedi(e´r1)nupaobte´egrrintntaoi)1 le long des fibres de cette fibration. Pourlescourantsferme´sdordre0,ondonneuneautrefacondecalculercette ¸ transforme´equiconsiste,sachantqueledegr´eestconserve´,`aexprimerdabordson potentiel : pour un tel courantTe´rpjoceitevnidansunevari´ete´dX, ce dernier est `auneconstantepre`se´gal`alafonctionquiauncycleYdemee´´cetmbrnpecumooment ` associe la masseRXYTγYu`oγYest une forme de Green explicite deY. Dans le cas – 5 –
ou`Tcteifycnueelcicosa`e´ntasouratlecesZ, on retrouve en fait la fonction logkfZk avecfZdwohCedeeangnsi´ermfonetudZ. Onve´rieensuitelinjectivit´edelatransformationdeChow.Apre`sseˆtreramen´e aucasdelespaceprojectifenplongeantlavarie´t´e,lad´emonstrationreposesurunefor-muledinversiondue`aHelgasonpourlatransformationdeRadondesfonctions.Cette formuledonnedirectementlinjectivite´delatransformationdeChowdanslecasdes courantsdedimension0.Pourlescourantsdebidegre´(q q) quelconque qui sont locale-mentplats,ilsutalorsdelacombineravecuntranchage.Danslecasge´n´eral,onla combineavecdescalculsencoordonn´eeseectu´espourlesformesCdans [GGG] et qui s´etendentdirectementauxcourants.
2.PotentieldeLelong-Skodaetth´eoriedelintersection Danscettepartie,notrebutestded´emontrerdesine´galite´sdauto-intersection pourlescourantspositifsferm´esde´nissurunevari´et´eprojective.Onserameneaucas ` de l’espace projectif par un argument de plongement et on utilise alors un potentiel qu’on p ut calculer explicitement de plusieurs ¸ e facons. SoitTcnupontraouerfftisibedi´mdeisnomine(p pavene´irce´t-mo)d´eansunid plexeXde dimensionnet, pourc >0,Ecesedm´orefqutilystniopelsous-ensembleana en lesquels le nombre de Lelong deTa´eoul`gaeiru´pretsusec. On supposeXcompacte etmuniedunem´etriquek¨ahle´rienneωragedupe´rorationd`aunemaj´treseestenosni rapporta`ωpoomntsascdeionmensdedilbsecuit´rdeseriqesslandtnassiarappaee´donn Ecen termes de la classe de cohomologie deT. Onrappelleler´esultatobtenuparDemailly(cf.[De3]).Soit0=bp   ≤≤ b1la suite des valeurs de saut de dimension desEc. Autrement ditbq= inf{c >0, dimEcq} avec en particulierb1= maXxν(T  x) et pourc]bq bq1] la dimension deEcestq. Soit x (Zqk)k1lleafamilarreductiblesdedmineisnoluup´esdmbnoblrasedepmocnasoisetq ´ desEcpourc]bq bq1] etνqk=mZinν(T  x)]bq bq1]lendeLemorbqggieeu´l´ennroe xqk deTle long deZqk. Lorsquep=nerid-a`-tsec1T(1´egrdebidestv´eriuivanteeagil´tse,)lnie´1ee´ (1)X(νqkbn1)  (νqkbq){Zqk}{ω}q({T}+bn1{u}) k1   ({T}+bq{u}){ω}q o`u{u}est une classe de cohomologie dansXsemi-positive (i.e.cudeenoˆandasl´edhncre ´ deK¨ahler)tellequec1(OT X(1)) +πX{u}soit semi-positive,OT Xerbtlegnan´esi(1)d endroitestautologiqueassoci´eaubre´tangentT Xpehyesednslarpusdubr´au-dess P(TX) etπX:P(TX)Xisilerelsu´eatltedrojelapn.Lactionots´dmenotuarit – 6 –
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