Valeurs speciales de fonctions L de formes modulaires adeliques

Valeurs sp´eciales de fonctions L de formes
modulaires ad´eliques
Julien PUYDTIntroduction
Objet. L’objet principal de la th`ese est l’´etude des valeurs sp´eciales de fonc-
tions L attach´ees `a des formes modulaires, tordues par des caract`eres de Dirichlet
de conducteurs essentiellement arbitraires :
X −sL (j +1,χ)= χ(n)a n f n
s=j+1
n≥1
(ou` k ≥ 2 et 0 ≤ j < k − 1 sont entiers, χ est un caract`ere de Dirichlet, etP
nf = a q une forme modulaire)nn
Ce qui nous int´eresse plus particuli`erement, c’est l’existence de propri´et´es de
congruences entre ces valeurs lorsque le conducteur tend vers l’infini, et uniformes
pour presque tous les nombres premiers.
R´esultats. On introduit une classe de formes modulaires sur GL (A ) assez2 Q
similaire `a celle qui est utilis´ee en th´eorie des repr´esentations automorphes (par
exempleparBump[3],Gelbart[16]ouScholl[45]),etonconstruitdesdistributions
d’Eisenstein qui entrent dans ce cadre, en s’appuyant sur un pr´ec´edenttravail [42].
On construit une distribution a` valeurs alg´ebriques, dont certaines int´egrales
sont li´ees a` une version r´egularis´ee des L (j +1,χ).f
Cette distribution est obtenue en trois´etapes (essentiellement ind´ependantes
les unes des autres) sous la forme =ℓ(π(Φ)), ou` Φ est une distribution `a valeurs
modulaires,π est un op´erateurde projection sur un sous-espace modulaire, etℓ est
une forme lin´eaire alg´ebrique.
On d´efinit l’op´erateur de projection π par une adaptation ad´elique de la m´e-
thode de la projection canonique de Pantchichkine (telle qu’il l’a pr´esent´ee dans
[40, 38, 39]), et on montre que l’espace image est de dimension finie, c’est le
th´eor`eme de la dimension finie.
On construit explicitement la distribution Φ, comme convolution de deux dis-
tributions d’Eisenstein, et on montre qu’elle v´erifie le th´eor`eme des congruences
(version modulaire). On ´etablit ensuite qu’une distribution modulaire qui satisfait
de telles congruences, fournit par projection une distribution modulaireπ(Φ) qui a
de bonnes propri´et´es de r´egularit´e : c’est le crit`ere d’admissibilit´e ; cela signifie que
la famille permet de construire des mesures admissibles au sens p-adique.
On d´efinit ensuite la forme lin´eaireℓ, associ´ee `a une forme modulaire paraboli-
que f, fonction propre des op´erateurs de Hecke. On prouve alors le th´eor`eme
d’alg´ebricit´e de la forme lin´eaire, qui affirme que l’image par cette forme lin´eaire
d’une forme a` coefficientsalg´ebriques,est alg´ebrique.On´etudieensuite la variation
horizontale de cette forme, ce qui fournit un th´eor`eme de controˆle horizontal.
Le th´eor`eme de la dimension finie assurequelescongruencespourΦ(th´eor`eme
des congruences, version modulaire) impliquent des congruences similaires pour les
int´egrales de la distribution ; c’est le th´eor`eme des congruences, version scalaire.
34 INTRODUCTION
Parailleurs, comme certainesde ces int´egralessont li´eesaux valeurs sp´eciales(c’est
le th´eor`eme d’int´egration des caract`eres de Dirichlet) on en d´eduit un th´eor`eme des
congruences, version valeurs sp´eciales.
Motivations. On sait que ce type de congruence permet de faire de l’interpo-
lationp-adique pour d´efinir des fonctionsL p-adiques.
Un autre int´erˆet a ´et´e discut´e par exemple par Kato, dans son expos´e [20]
au congr`es international en 2002 : dans le cas des formes modulaires de poids 2,
attach´ees a` des courbes elliptiques sur Q, il y a un lien entre les valeurs sp´eciales
´etudi´ees ici et les χ composantes du groupe de Selmer.
Sources. L’id´ee de base de ce travail est duˆe a` Serre (voir par exemple l’intro-
ductionde[50]):descongruencesentrecoefficientsdeFourierdeformesmodulaires
doivent donner lieu `a des r´esultats similaires pour les valeurs sp´eciales de fonctions
L associ´eesde fac¸on plus ou moins directe. On peut `a ce propos citer l’exemple des
s´eries d’Eisenstein classiques :
XXL(1−k,χ) k−1 nE = + χ(d)d qk,χ
2
n≥1 d|n
attach´ee aux caract`eres de Dirichlet χ d´efinis modulo M ≥ 1, qui fournissent des
congruences pour les valeurs sp´eciales L(1−k,χ) = −B /k des s´eries de Diri-k,χP
k−1chlet, ou` les B = M χ(a)B (a/M) sont les nombres de Bernoullik,χ kamodM
g´en´eralis´es.Le cas χ =1 par exemple est discut´e en d´etails par Serre dans [49].
Dans l’article [15], Deligne et Ribet construisent des distributions born´ees sur
le groupe de Galois de l’extension maximale ab´elienne d’un corps de nombres tota-
lement r´eelK. Ils ´etablissent ensuite que ces distributions interpolent une version
r´egularis´ee des valeurs sp´eciales de la fonction ζ de Dedekind du corps K. Nous
obtenons des r´esultats similaires pour les fonctions L des formes modulaires para-
boliques.
Enfin, on utilise, apr`es l’avoir adapt´ee a` un cadre ad´elique, la m´ethode de la
projectioncanoniqued´evelopp´eeparAlexeiPantchichkine,etpr´esent´eeparexemple
dans son article [40].
Notation 1. On se fixe une forme modulaire F, de poids k≥ 2, de niveau N,
propre pour les op´erateurs de Hecke, a` coefficients entiers alg´ebriques. On suppose
que le support de N et S sont disjoints.
Moyens techniques. Les formes modulaires avec lesquelles on travaille ne
sont pas les formes classiques; ce sont des formes presque-holomorphes arithm´e-
tiques,tellesquecellesdiscut´eesparShimuradanssonr´ecentlivre[56]parexemple
(enparticulierlasection13);onpeutlesvoircommesimplementdess´eriesformelles
de la forme :
X
n r
a q R ∈C[[q]][R]n,r
n,r
ou` la somme est sur n ≥ 0, et 0 ≤ r est born´e ind´ependamment de n; cette s´erie
−1est telle que si on´evalue parq = exp(2iπτ) etR = (4πℑτ) , on obtient une forme
∞modulaire C sur le demi-plan de Poincar´e, annul´ee par une puissance de ∂/∂z¯.
Les formes modulaires holomorphes sont en particulier annul´ees par la premi`ere
puissance de cet op´erateur,et rentrent donc dans cette th´eorie. Les espaces qu’ellesINTRODUCTION 5
engendrent peuvent munies d’une structure rationnelle (surQ) ou enti`ere (sur O)
via les coefficients a .n,r
Pour obtenir des r´esultats semi-ad´eliques sur ces formes, on proc`ede en deux
´etapes :
– on se fixe d’abord un ensemble fini S de nombres premiers, qui sert de base
auxdiff´erentes´etudes,ou`onlaisseleniveaudesformescroˆıtre,mais`asupport
fix´e (li´e a` S). On appelle cette d´ependance la “variation verticale”;
– on discute ensuite de l’impact de l’ajout d’un nombre fini de places `a S
sur ces constructions – on appelle cette seconde d´ependance la “variation
horizontale”;
Notation 2. On note en g´en´eral M un espace de formes modulaires dansS
lequel on a fix´e S pour discuter de la variation verticale.
ν
On note M le produit des p de S; et si ν est une famille index´ee par S, MS S
νpest le produit pour p∈S des p . On ´ecrit aussi N pour NM .S S
Distributions modulaires. Les distributions modulaires sont obtenues par
convolution de deux distributions d’Eisenstein ad´eliques, tr`es similaires `a celles
construitesdans [42]. Une telle constructionest motiv´eepar le fait que l’on cherche
a` utiliser la m´ethode de Rankin-Selberg.
On souhaite contrˆoler ces distributions suivant deux aspects :
– controˆle du niveau, qui permet de se restreindre a` travailler dans un espace
du typeM , pour la variation verticale;S
– controˆle alg´ebrique, avec des r´esultats de congruences entre les coefficients
de Fourier;
Pluspr´ecis´ement,cesdistributionssontconstruitesviauneconvolutiondedeux
distributions d’Eisenstein, tordue par un caract`ere de Dirichlet :
(j) (j)jΦ = (−1) E ∗ Ej 11 (.,N)=1 2
(ou` 0≤j <k−1)
Cette convolution admet plusieurs ´ecritures explicites; en voici une :
(j) (j)jΦ (χ) = (−1) E (χ)E (1 χ)j (.,N)=11 2
Projections. Techniquement, les projections font intervenir un syst`eme de
valeurs propres α non-nulles des op´erateurs de Atkin-Lehner (pour tout p ∈ S)p
sur les formes modulaires presque-holomorphes.
Ces op´erateurs agissent sur le d´eveloppement formel via :
X X
n r n rU a q R = a q (MR)M n,r Mn,r
n,r n,r
α,SDe´finition 1. (page 74) Le sous-espace M d’un espace de formes modu-
lairesM est l’intersection des espacesα caract´eristiques pourU , pour toutp∈S.p p
α,S
On note π la projection associ´ee.S
Le but de cet projection est de s’assure que les distributions projet´ees sont `a
valeurs dans un espace de dimension finie, car on sait qu’alors on contrˆolera les
d´enominateurs ´eventuels introduits par la forme lin´eaire.6 INTRODUCTION
Formes lin´eaires. Une fois obtenues des distributions a` valeurs modulaires
dans des espacesde dimension finie, on souhaite leur appliquer des formeslin´eaires,
qui poss`ederaient les deux propri´et´es-clefs suiva