Bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale

Thibault Pautrel

Description

Janvier 2012
Bac Blanc en Mathématiques (2012) pour Terminale S

Sujets

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Informations

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• Langue: Français

Extrait

BAC BLANC

Mathématiques

Série S

Enseignement obligatoire

Durée de l'épreuve: 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

Coefficient: 7

Le sujet comporte 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte 6bien numérotées.

Janvier 2012

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Exercice 1: QCM (4 points)

Pour chaque question, une seule proposition est correcte. Une bonne réponse apporte 1 point, une mauvaise ne retire pas de point. L'absence de réponse n'est pas sanctionné.

Le plan est muni d'un repère orthonormé O ;  u ;  v . On a I1 et Ji . 713i 1 z=z= i A, B et C sont les points d'affixes respectives: A , B et z C =−1  3i . 5−2i 22 z 1. Laforme algébrique de A est: 7 3 a) −i 5 2 29 29 b) i 21 21 c) 1i 10 d) 3 i−z B 2. arg  est une mesure de l'angle: z C −z A a) AC ; BJ b) CA ; BJ c) AC ; BJ d)BJ ; AC 1i ∣ −∣ 3. L'ensembled telleque z−1∣=∣z est: es points M dont l'affixe z est 2 a) Le cercle de centre B et de rayon 1 b) La médiatrice du segment [BI] c) La droite (BI) d) La droite (BI) privée de I. 4. SoientA et B les points d'affixes respectives 4 et 3i. L'affixe de C est telle que le triangle z ABC soit isocèle rectangle en A. C est donc égal à: a) 1 – 4i b) – 3i c) 7 + 4i

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Exercice 2: (5 points)

Un employé se rend à son travail. S'il est à l'heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l'entreprise. S'il est en retard, il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50€. 1 - Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est. 5 1 - S'il est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est. 20 R Pour tout entier naturel non nuln, on appelle n l'évènement: « l'employé est en retard le jour n». p R q R On note n la probabilité de n et n celle de n . =0 On suppose que p 1 .

1. Déterminationd'une relation de récurrence:

pR a) Déterminer les probabilités conditionnelles R n n pR 1 et R n n1 . pR∩RppR∩R b) Déterminer n1n en fonction des n et n1n en fonction de q n . p p c) Exprimer n1 en fonction de n et de q n . 1 3 −p e p n = n . d) En déduire qu 1 5 20

p 2. Etudede la suite n :

4 − Pour tout entier naturelnnon nul, on pose v=p n . n 23 −3 v a) Démontrer que n est géométrique de raison. 20 v p b) Exprimer n puis n en fonction de n.   c)Justifier que la suite p n est convergente et préciser sa limite. Qu'en conclure?

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Exercice 3: (6 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormal.

On s'intéresse aux fonctions ƒ dérivables sur[ 0;∞ [ vérifiant les conditions: 2 C 1 : pour tout réelxde [ 0;∞ [ ,f 'x=4−[fx] C 2 :f(0) = 0

On admet qu'il existe une unique fonction ƒ vérifiant simultanément C 1 et C 2 . Les deux parties peuvent être traitées de manières indépendantes.

Partie A: Étude d'une suite

Afin d'obtenir une approximation de la courbe représentative de la fonction ƒ, on utilise la méthode itérative d'Euler, avec un pas égal à 0,2.

1. Appliquerla méthode d'Euler avec un pash = 0,2en allant jusqu'àf(1).

Mx 2. Ondéfinit ainsi une suite de points n , d'abscisse n et d'ordonnée y n telles que: x=0x=x0,2 0 et pour tout entier naturel n, n1n y=y=−0,2y²y0,8 0 0 et pour tout entier naturel n, n1n n . a) Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau suivant:

n x n y n

0 0 0

1 2 3 0,2 0,4 0,8000 1,4720

4

5

6

7

-4 Compléter ce tableau. Les résultats seront donnés à 10près. b) Placer sur le graphique donné en annexe, les points M n pour n∈ℕ, n7 . y c) D'après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite n et sur sa convergence?

3. a)Pour x∈ℝ , on pose px=−0,2x²x Montrer que si 0,8 .x∈[0;2] alors px∈[0;2] .   b) Montrer que pour tout entier naturel n, 0y n 2 . y c) Étudier le sens de variation de la suite n . y d) La suite n est-elle convergente?

Partie B: Etude d'une fonction

4x e−1 Soit g la fonction définie sur [ 0;∞ [ par: gx=2 etCgsa courbe   4x e1 représentative.

1. Montrerque la fonction g vérifie les conditions C 1 et C 2 . 2. a)Montrer que Cg admet une asymptote  dont on donnera une équation. b) Étudier les variations de g sur [ 0;∞ [. 3. Déterminerl'abscisse  du point d'intersection de l'asymptote  et de la tangente àCgà l'origine. 4. Tracer,dans un repère orthonormal d'unité 5 cm la courbeCget les éléments mis en évidence dans les questions précédentes de cette partie B. Page 4/5

Exercice 4:(5 points)Candidat n'ayant pas suivit l'enseignement de spécialité

Partie A: Restitution organisée des connaissances

x e lim=∞ On suppose connu le résultat suivant:. x x∞ x limx e=0 Démontrer que. x−∞

Partie B: Étude d'une fonction

1 −x La fonction ƒ est définie sur l'intervalle [ 0;∞ [ par:. 2 fx=20x10e On noteCfsa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.

1. Étudierla limite de la fonction ƒ en ∞ . 2. Étudierles variations de ƒ et dresser son tableau de variations. 3. Établirque l'équationf(x) = 10admet une unique solution strictement positive  dans l'intervalle ] 0;∞ [.

Partie C: Équation différentielle

On notey(t)la valeur, en degré Celsius, de la température d'un réacteur thermique à l'instantt, t étant exprimé en heures. La valeur initiale à l'instant t = 0 esty(0) = 10.

On admet que la fonction qui, à tout réel t de l'intervalle[ 0;∞ [ associe y(t) est solution de 1 −t 1 2 l'équation différentielle (E): y 'y=20e . 2

1. Vérifierque la fonction ƒ étudiée dans la partie B est solution de (E). 2. Onse propose de démontrer que cette fonction ƒ est l'unique fonction solution de (E), prenant la valeur 10 en 0. a) On notegune fonction quelconque solution de (E) sur [ 0;∞ [ et vérifiantg(0) = 10. 1  = Démontrer que la fonctiong – fest solution de l'équation (E'): y 'y0 . 2 b) Résoudre (E'). c) Conclure. 3. Aubout de combien de temps la température de ce réacteur thermique redescend-elle à sa valeur initiale? On arrondira le résultat à la minute.

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