Bac Blanc de Mathématiques de niveau Terminale

Tpautrel

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23 février 2011
Bac Blanc en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Mathématiques BACBLANC 23février 2011 Terminale S(durée : 4 heures) La calculatrice est autorisée. La présentation de la copie et la clarté des réponses entreront pour une part importante dans la note.

Exercice 1 (3 points)

   1.Dans les cas suivants, les suites   et  un entier naturel ontelles la même limite ? Sontoù désigne elles adjacentes ?

Justifier les réponses.

        a)  et  ;      b)  et  ;       c)    et.        2.positif et les suitesOn considère un nombre réel  et  définies pour tout nombre entier naturelnon         nul par :   et  .  

Existetil une valeur detelle que les suites soient adjacentes ? Exercice 2 (4 points)

Pour entretenir en bon état de fonctionnement ses installations de chauffage, une société immobilière fait contrôler les chaudières de son parc de logements pendant l’été. On sait que 20 % des chaudières sont sous garantie. Parmi les chaudières sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de. Parmi les chaudières qui ne sont plus sous garantie, la probabilité qu’une chaudière soit défectueuse est de . On appelle G l’événement: « la chaudière est sous garantie » ; on appelle D l’événement: « la chaudière est défectueuse ». 1. Calculer la probabilité des évènement suivants : A : « la chaudière est garantie et est défectueuse » ; B : « la chaudière est défectueuse ». 2. Dans un logement la chaudière est défectueuse. Montrer que la probabilité qu’elle soit sous garantie est de. 3. Le contrôle est gratuit si la chaudière est sous garantie. Il coûte 80euros si la chaudière n’est plus sous garantie et n’est pas défectueuse. Il coûte 280 euros si la chaudière n’est plus sous garantie et est défectueuse. On noteXla variable aléatoire qui représente le coût du contrôle d’une chaudière. Déterminer la loi de probabilité deXet son espérance mathématique. 4. Au cours de la période de contrôle, on a trouvé 5 chaudières défectueuses. Quelle est la probabilité qu’au moins l’une d’entre elles soit sous garantie ? Page1sur5

Nom prénom : ... Exercice 3Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité(5 points) 1.Dans cette question, il est demandé au candidat d’exposer des connaissances. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct    SoitRla rotation du plan de centre, d’affixeet d’angle de mesure. L’image parRd’un point du plan est donc définie de la manière suivante : R() = pour tout pointMdu plan, distinct de, l'imageM’ deMest définie parM’ = M et      Question: Montrer que les affixeszetz’ d’un point quelconqueMdu plan et de son imageM’ par la rotationR, sont  liées par la relation :z’ –=(z–). 2.On considère les pointsIetBd’affixes respectivesz I = 1 + i etz B = 2 + 2i. SoitRla rotation de centreBet  d’angle de mesure .  a)Donner l’écriture complexe deR. b) SoitAl’image deIparR. Calculer l’affixez A deA. c) Montrer queO,AetBsont sur un même cercle de centreI. En déduire queOABest un triangle rectangle enA. Donner unemesure de l’angle. d)En déduire une mesure de l’angle. 3.SoitTla translation de vecteurOn poseA’ =T(A). a)Calculer l’affixe z A’ deA’. b) Quelle est la nature du quadrilatèreOIAA’?  c) Montrer que–est un argument de z A’ . 

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Nom prénom : ...

Exercice 3Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité. (5 points)

Partie A : Dans cette question, il est demandé au candidat d’exposer des connaissances.   et sont quatre points du plan donnés tels que  et  . Démontrer qu’il existe une similitude  directe uniquetelle que    et    Partie B : Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct    . On considère les pointsAetBd’affixes 3 respectivesz A = 2 etz B i.= + 2 On considère les pointsM,NetPtels que les trianglesAMB,BNOetOPAsoient des triangles rectangles isocèles respectivement enM,NetPet de sens direct. Faire la construction cidessous.

On notes 1 la similitude directe de centreAqui transformeMenB. On notes 2 la similitude directe de centreOqui transformeBenN. On considère la transformationr=s 2 os 1 . Le but de cette partie est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. 1)À l’aide des transformations a)Donner l’angle et le rapport des 1 et des 2 .  b)Déterminer l’image du pointMpuis celle du pointI(1) par la transformationr.   c)Justifier querest une rotation d’angledont on précisera le centre. 2  d)Quelle est l’image du pointOparr?  e)En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. 2)En utilisant les nombres complexes  a)Donner les écritures complexes des 1 ets 2 . On utilisera les résultats de la question 1) a).  b)En déduire les affixesz M etz N des pointsMetN.  c)Donner, sans justification, l’affixez P du pointPpuis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont  perpendiculaires. Page3sur5

Exercice 4 (4 points) ln(x+ 3) On considère la fonctiondéfinie sur [0, +[ par(x) =. x+ 3 1.Montrer queest dérivable sur [0, +[. Étudier le signe de sa fonction dérivée’, sa limiteen +, et dresser le tableau de ses variations. n+1  2.On définit la suite (u) parson terme généralu= f(x) dx.  n n  n a)Justifier que, sinxn+1, alors(n+1)(x)(n). b)Montrer, sans chercher à calculeru, que, pour tout entier natureln, n (n+1)u(n). n c)En déduire que la suite (u) est convergente et déterminer sa limite. n 2 3.SoitFla fonction définie sur [0, +[ parF(x) =(ln(x.+ 3)) a)Justifier la dérivabilité sur [0, +[ de la fonctionFet déterminer, pour tout réel positifx, le nombreF’(x). n  b)On pose, pour tout entier natureln,I= f(x) dx. n   0  CalculerI n . 4.On pose, pour tout entier natureln,S=u+u+ … +u n 0 1n1 . CalculerS. La suite(S) elle convergente ? n n

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Exercice 5 (4 points) Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition. En 2010, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effectif initial est égal à mille. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonctiontemps dut (exprimé en années à partir del’origine 2010). D’après le modèle d’évolution choisi, la fonctiondérivable, strictement positive sur [0, + est[, et satisfait l’équation différentielle: 1 (E)y’=–y(3–lny) 20 1.Démontrer l’équivalence suivante:  Unefonction, dérivable, strictement positive sur [0, +[, vérifie, pour touttde [0,+[,   1    f’(t) =–(t) 3–ln(t) siet seulement si la fonctiong= ln() vérifie,   20   1 3  pourtouttde [0,+[,g’(t) =g(t)– . 20 20 2.Donner la solution générale de l’équationdifférentielle : 1 3 (H)z’=z– . 20 20 3.En déduire qu’il existe un réelCtel que pour touttde [0, +[ :   t  (t3 +) = expCexp .   20  4. a)Vérifier que la condition initiale conduit à considérer que la fonctionest définie par :   t  (t) = exp3–.3 exp   20  b)Déterminer la limite deen +. c) Déterminer le sens de variation de f sur [0, +[. d) Résoudre dans [0, +[ l’inéquation(t) < 0,02. Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon seratelle inférieure à vingt individus ?

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