Corrigé Devoir Surveillé de Maths n°3 niveau Terminale

Tof

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Avec correction. Ds n-3 nov 2010
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Terminale S3 Corrigé du DS n°3 19 Novembre 2010 Durée : 4 heures Exercice 1 Pondichéry (5 points) Extrait –Mars 2003 On considère la fonction numériquefpar : définie sur

Le graphique cidessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère orthonormal.

Conjecture À l’observation de cette courbe, quelle conjecture pensezvous pouvoir faire concernant le sens de variations def sur [3 ; 2] ? fsemble croissante sur . Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non cette conjecture et de la compléter. Contrôle de la conjecture 1.Calculerf'(x) pour tout réelx, et l’exprimer à l’aide de l’expressiong(x) , où g est la fonction définie sur par : .

2.g(Étude du signe de x) pourxréel. a.Calculer les limites de g(x) quandx tend vers

donc

, puis quandx tend vers

.

; et . b.Calculer g '(x) et étudier son signe suivant les valeurs dex. donc est du signe de (x+ 3) c'estàdire positif lorsquexest supérieur à 3 et négatif sinon. c.En déduire le sens de variations de la fonction g , puis dresser son tableau de variations.

Pa e 1 sur 7

d.Montrer que l’équationg(x) = 0 possède une unique solution dans . On note cette solution. Montrer que Sur ,: l’équationn’a donc pas de solution sur cet intervalle. Sur ,gest continue, strictement croissante et, l’équation admet, sur cet intervalle, une solution unique appelée . et : on en déduit . e.g(Déterminer le signe de x) suivant les valeurs dex. Sur et sur . 3.Sens de variations de la fonctionfsur . a.Étudier, suivant les valeurs dex, le signe def'(x). x 0 x 0 + +  0 +  + 0 0 +

b.En déduire le sens de variations de la fonctionf. D’après le signe de la dérivée, on peut dire quef est croissante sur et suret qu’elle est décroissante sur . c.Que pensezvous de votre conjecture ? La conjecture est donc fausse. Exercice 2  (6 points) Antilles Guyane–Juin 2008 Soitfla fonction définie surpar : . Partie A Soit l’équation différentielle (E) :. 1.Résoudre l’équation différentielle (E’) :. . D'après le cours, les solutions de sont les fonctions définies sur de la forme , où est une constante réelle. 2.En déduire que la fonctionhdéfinie surparhest solution de (E’).

Pa e 2 sur 7

En particulier, avec

, on obtient la fonctionh.

3.Vérifier que la fonctiongdéfinie surparest solution de l’équation (E).  est dérivable sur et . Par conséquent, pour tout réelxqui prouve que: ce g est bien solution de (E). 4.En remarquant quef=g+h, montrer quefest une solution de (E). Comme , on a , donc, pour tout réelx: etf est alors bien solution de (E).

Partie B On nomme C f la courbe représentative defdans un repère orthonormal 1.Montrer que pour toutxa : .de on

2.Déterminer la limite defen limite defen

De même

limite defen

De même

 , donc

.

.

.

puis la limite defen

 .

.

d’unité 1 cm.

et par produit des limites, on en déduit que

, on en déduit par opérations sur les limites que

.

Graphiquement, cela signifie que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à C f  au voisinage de . 3.Étudier les variations de la fonctionfet dresser le tableau de variations def. f est dérivable sur (combinaison simple de fonctions qui le sont) et, pour tout réelx:

Pa e 3 sur 7

Comme, pour tout réelx, Or:

Par ailleurs

, a le même signe que , donc

.

.

. On en déduit le tableau de variation suivant:

4.Tracer l’allure de la courbe C f  dans un repère adapté.

Exercice 3 (4 points) Extrait Antilles  Guyane Sept 2009 Soit la fonction définie pour tout nombre réelde l’intervalle ]0; 1] par : On note la fonction dérivée de la fonctionsur l’intervalle ]0 ; 1]. est la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal . est la droite d’équation. 1.a.Justifier que .

D'après les formules de croissances comparées,

b.utilisant le signe de En .

 donc

.

 sur ]0 ; 1], montrer que, pour tout nombre réel

 , on a

Pa e 4 sur 7

Pour tout , donc et 2.a.Calculer pour .tout nombre réel f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur

.

.

Pour tout , ; . b.Vérifier que la droiteT est tangente à la courbeau point d’abscisse 1. L'équation réduite de la tangente à (C) en 1 est : ; et . Cette équation est donc : soit : . Cette tangente est doncT. 3.On notegpar la fonction définie pour tout nombre réel . a.Étudier les variations degsur l’intervalle ]0; 1] et dresser le tableau de variation deg. g est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables. Pour tout , donc . b.En déduire les positions relatives de la courbe et de la droiteT. Pour tout , donc . On en déduit queg. est décroissante sur Or . Par conséquent, sur . On en déduit que (C) est audessus deT sur . Exercice 4 (5 points) La Réunion–Juin 2008 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . Soit (C) le cercle de centreOet de rayon 1.

On considère le pointAde (C)d'affixe . 1.Déterminer l'affixe du pointBimage deApar la rotation de centreOet d'angle

Déterminer l'affixe

du pointCimage deBpar la rotation de centreOet d'angle

Par définition de l'expression complexe de la rotation de centre O et d'angle

Donc, en particulier : De même :

Finalement :

et

.

.

 :

.

.

.

(donc A et C sont symétriques autour de l'axe des réels).

2.a.Justifier que (C) est le cercle circonscrit au triangleABC.Construire les pointsA,BetCsur la feuille de papier millimétré.

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, donc :OA=OB=OC= 1. Les trois points A, B et C sont à la distance 1 du point O : ils appartiennent au cercle de centre O circonscrit au triangle ABC c'estàdire le cercle (C) . Construction : on dessine le cercle (C) et le cercle de centre le point d'affixe 1 et de rayon 1 ; ces deux cercles sont sécants en A et C, le point A étant celui qui a une ordonnée positive. B est le point d'intersection de (C) avec le demiaxe contenant les points d'affixes négatives. b.Quelle est la nature du triangleABC? Justifier. D’après la question 1) , B est l’image de A par la rotation de centre O et d’angledonc

.

De même C est l’image de B donc

.

De ces deux hypothèses et à l’aide de la relation de Chasles, on peut en déduire que

Les triangles OAB, OBC et OCA sont isocèles de sommet principal O et admettent

donc les deux autres angles sont égaux à

.

.

pour angle en O

Ainsi les angles géométriques CAB, ABC et BCA sont égaux à .ce qui prouve que le triangle (ABC) est équilatéral. 3.Soithl'homothétie de centreOet derapport −2. a.Compléter la figure en plaçant les pointsP,QetRimages respectives des pointsA,Bet C par h. b.Quelle est la nature du trianglePQR? Justifier. Le triangle PQR homothétique de ABC est semblable à ce triangle, donc lui aussi équilatéral. 4.Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas. a.Donner l’écriture complexe deh. L'écriture complexe deh est : b.En déduire queCalculer . Aest le milieu du segment [QR]. c'estàdire or :

donc

et

ce qui signifie queA est le milieu de [QR].

c.Que peuton dire de la droite (QR)par rapport au cercle (C) ? Par définition del’homothétieP,OetAsont alignés. La droite (PA) médiane du triangle équilatéral (PQR) est aussi hauteur ; donc (OA) est perpendiculaire a la droit e (QR). Conclusion : cette droite (QR) est la tangente en A au cercle .

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Bon courage…

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