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Corrigé du DS n ° 4 – 24 janvier 2013

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Avec correction. Ds janvier 2013 obli et spé
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2013) pour Terminale S

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Corrig é du DS n ° 4 – 24 janvier 2013 Exercice 1 Nouvelle Cal é donie – Nov 2012 (6 points) Partie A 0 ; # υ f x 1 5 ln x # 3 % x On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle par . f ρ 0 ; # υ f ρ x 1. a. On appelle la fonction dérivée de la fonction f sur . Calculer et étudier son 0 ; # υ signe sur . x a ln( x # 3) % 3 ; # υ 0 ; # υ La fonction est dérivable sur donc sur . ρ 5 % x # 3 % x # x 1 0 ; # υ f 5 ´ x 1 # 3 % 1 1 x # 3 1 x # 32 Par somme, f est dérivable sur et . 0 ; # υ x # 3 2 0 f ρ % x # 2 0 ; 2 Sur , donc est du signe de c’est-à-dire positive sur et négative sur 2 ; # υ .

0 ; # υ b. Donner, dans un tableau, les variations de f sur l’intervalle . x f '(x) f(x) 0 5ln3 ~ 5,5 2 f(5) ~ 6,05 0 +  -

f x 1 x çæè 5ln xx % 1 ƒø¸# 5 ln æçè 1 # 3 x ƒø¸ c. Montrer que, pour tout x strictement positif on a . 0 ; # υ Pour tout x de l’intervalle :

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x èçæ 5ln xx % 1 øƒ¸# 5 ln èçæ 1 # 3 x øƒ¸1 5 ln x % x # 5 ln èçæ 1 # 3 x øƒ¸ 1 5 èçæ ln x # ln èçæ 1 # 3 x øƒ¸øƒ¸% x 1 5 ln æèç x æèç 1 # 3 x ƒø¸ƒ¸% x ø 1 5 ln x # 3 % x 1 f x

#υ d. En déduire la limite de f en . 1 % 1 % % 1 x limln xx 0 donc x | li # m υ çæ 5ln xx 1 ƒ¸ 5 puis, par produ x it | , # l υ im x æçè 5ln xx 1 ƒø¸%υ |#υ è ø x li | m #υ èçæ 1 # 3 x øƒ¸1 1 donc, par composée, x | l # i υ m 5 ln èçæ 1 # 3 x øƒ¸1 0 De plus, . lim f ( x ) 1 %υ x |#υ Par somme, on en déduit que .

0 ; # υ e. Compléter le tableau de variation de f sur l’intervalle .

f x 1 0 0 ; # υ 2. a. Montrer que l’équation admet une unique solution dans l’intervalle . On notera a cette solution. 0 ; 2 f (0) σ f ( x ) Û 0 0 5 ln 3 σ f ( x ) Þ f ( x ) ¹ · Sur : f est strictement croissante donc . 2 ; # υ · Sur : f est strictement décroissante et change de signe, on peut donc appliquer le théorème des f x 1 0 a valeurs intermédiaire pour affirmer que l’équation admet une unique solution . f x 1 0 0 ; # υ · Conclusion : l’équation admet une unique solution dans l’intervalle . a a b. Après avoir vérifié que appartient à l’intervalle [14 ; 15], donner une valeur approchée de à 10 –2 près. f 14 1 5 ln 17 % 14 ; 0,17 2 0 et f 15 1 5 ln 18 % 15 ; % 0, 55 0 0 a donc ∈ [14 ; 15]. 14, 23 0 a 0 14, 24

A l’aide de la calculatrice (voir ci-contre), on obtient :

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0 ; # υ c. En déduire le signe de f sur l’intervalle . D’après le tableau des variations de f et de la question précédente, on peut déduire que : 0 ; a · f est strictement positive sur . a ; # υ · f est strictement négative sur . f s’annule en α . · Partie B ìï u 0 1 4 u n ïíî u n # 1 1 5 ln u n # 3 n ³ 0 Soit la suite définie par pour tout entier naturel . 0 ; # υ g x 1 5 ln x # 3 On considère la fonction g définie sur l’intervalle par . On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la droite D d’équation y = x et la courbe C, courbe représentative de la fonction g .

u n 1. a. Construire sur l’axe des abscisses de la figure les termes u 0 , u 1 , u 2 de la suite en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction. u n b. Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite . u n La suite semble être croissante.

0 ; # υ 2. a. Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle . x a x # 3 0 ; # υ La fonction est dérivable est strictement positive sur donc, par composée, la fonction g 0 ; # υ est dérivable sur . g ρ x 1 5 ´ x 1 # 3 2 0 0 ; # υ 0 ; # υ sur donc g est strictement croissante sur .

g a 1 a a b. Vérifier que où est défini dans la partie A question 2. a. f ( a ) 1 0 Û 5 ln a# 3 %a1 0 Û 5 ln a# 3 1a Û g a 1a On sait que

0 σ u n σ a c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a .

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P n 0 σ u n σ a n ³ 0 Nommons la proposition « » pour . u 0 1 4 14, 23 0 a 0 14, 24 0 σ u 0 σ a P 0 Initialisation : et donc ce qui prouve que est vraie. 0 σ k σ n 0 σ u k σ a Hérédité : Supposons qu’il existe k entier naturel pour lequel, quelque soit , . 0 σ u k # 1 σ a Peut-on établir dans ce cas que ? 0 σ u k σ a On sait que et que g est strictement croissante sur g 0 σ g u k σ g a Û 4 σ u k # 1 σ a 0 σ 4 et comme , on en déduit que 0 σ u k # 1 σ a

P k Þ P k # 1

0 ; # υ

donc

Ainsi 0 σ u n σ a Conclusion : pour tout entier naturel n , . d. Démontrer alors la conjecture émise à la question 1.b. de la partie B. u n # 1 % u n 1 5 ln u n # 3 % u n 1 f n u Pour tout entier naturel n , . 0 ; a 0 σ u n σ a On sait que la fonction f est positive ou nulle sur (question A.2.c) et que , on peut donc f u n ³ 0 Û u n # 1 % u n ³ 0 u n en déduire que : ce qui prouve que la suite est croissante. Remarque : Les variations de g seules ne permettent pas de déterminer les variations de la suite u . Exemple :

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lim u n 1 a n | #υ e. En utilisant la question 2.a. de la partie A, justifier que . u n l Î 0 ; a La suite est croissante majorée par α donc elle converge vers une limite . lim u n # 1 % u n 1 0 Û lim f u n 1 0 n |#υ n |#υ 0 σ f u n σ a On a alors or on sait que et que f ne peut lim u n 1 a n |#υ s’annuler qu’en α, donc . 3. On considère l’algorithme suivant : u prend la valeur 4 Répéter Tant que u − 14,2 < 0 u prend la valeur de 5ln( u + 3) Fin du Tant que Afficher u

a. Justifier que cet algorithme se termine. u 1 u 2 Cet algorithme calcule successivement , , .... On a vu que cette suite converge vers le nombre α supérieur à 14,2. La condition u − 14,2 < 0 sera donc réalisée et l’algorithme affichera la première valeur de la suite supérieure à 14,02. b. Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à 5 décimales).

Exercice 2 Nouvelle Cal é donie – Nov 2012 (5 points) Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment. ( O ; u , v ) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct , on appelle A le point d’affixe 1 et C le cercle de centre A et de rayon 1. La figure sera réalisée sur une feuille quadrillée avec 4 cm pour unité graphique. Partie A z 2 % 2 z # 2 1 0 On considère l’équation (E) : , où z est un nombre complexe. On appelle z 1 et z 2 les solutions de (E). 1. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes ℂ .

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z 2 % 2 z # 2 1 0 D 1 % 2 2 % 4 ´ 1 ´ 2 1 % 4 0 0 ; donc l’équation admet deux solutions complexes conjuguées, 2 2 z 1 1# 2 i 1 1 # iz 2 1 1 % i et . ( O ; u , v ) 2. On appelle M 1 et M 2 les points d’affixes respectives z 1 et z 2 dans le repère . Montrer que M 1 et M 2 appartiennent au cercle C. AM 1 1 AM 2 1 1 Montrons que . AM 1 1 z 1 % 1 1 i 1 1 et AM 2 1 z 2 % 1 1 % i 1 1 donc les deux points M 1 et M 2 appartiennent au cercle C. Partie B On considère l’application f du plan complexe qui à tout point M d’affixe z distinct de A associe le point z ' 2 z % 1 1 M ρ 2 z % 2 d’affixe z ’ définie par . 1. Placer le point A et tracer le cercle sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure. z ' % 1 z % 1 1 1 2 2. Montrer que pour tout complexe z distinct de 1 on a . z ' % 1 z % 1 1 ç æ 22 zz % 11 % 1 ƒ z % 1 1 2 z 2 % 1 % z % 1 1 12 è ø ¸ % AM 1 ïíïïîïì AMu r M ;' ¹ u A ´ uu AM ur # ' u r ;12 u A uu M uur ' 1 0 # k 2 ϑ 3. Montrer que pour tout point M distinct de A on a : , où k est un entier relatif. AM ´ AM ' 1 z % 1 ´ z ρ% 1 1 z ' % 1 z % 1 1 1 1 1 2 2 · . 2 z % 11 ¹ z ¹ 1 2 z % 1 ¹ 2 z % 2 2 z % 2 M ' ¹ A · Pour tout complexe , donc et . u ; AM # u ; AM ' 1 arg z u A uu M ur # arg z u A uu M uur ρ 1 1 arg z ' % 1 # arg z % 1 1 arg ëé z ' % 1 z % 1 ♥ù1 arg2 1 0 # k 2 ϑ · i ϑ z P 1 1 # e 4 4. On considère le point P d’affixe . Construire le point P . Page 6 sur 14

P ρ 5. En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point , image de P par f , et réaliser cette construction. i ϑ i ϑ AP ´ AP ' 1 1 or AP 1 1 # e 4 % 1 1 e 4 1 1 donc AP ' 1 1 2 2 · P ' ¹ A · . u ; AP # u ; AP ' 1 0 # k 2 ϑ Û u ; AP ' 1 % u ; AP # k 2 ϑ · . Construction : on commence par construire le point Q’ symétrique de P par rapport à l’axe des abscisses ce u ; AQ ' 1 % u ; AP # k 2 ϑ qui nous permet d’obtenir . AQ ρ AQ 1 1 ρ Le point P’ est alors le milieu du segment (car ). 3 x 1 4 M ρ 6. Soit un point M appartenant à la droite D d’équation . Soit son image par f . M ρ C ρ a. Montrer que le point appartient au cercle de centre O de rayon 1. 3 x 1 43 z 1 4 # iy M appartient à la droite D d’équation donc son affixe z vaut ainsi z ' 1 22 æèçæ 334 # iy ƒøƒ¸% 21 1 211 # 2 i 2 y 1 èç 4 # iy ø¸%% 2 # iyz ρ 1 1 M ρ C ρ . donc le point appartient au cercle de centre O de rayon 1. C ρ b. Tout point de a-t-il un antécédent par f ? z z ' % 1 z % 1 1 1 Û ρ¹ 1 z % 1 1 1 Û z 1 1 # 1 z ¹ 1 2 2 z ' % 1 2 z ' % 1 Pour tout complexe : . Seul le point d’affixe 1, c’est-à-dire le point A, n’admet pas d’antécédent par f or celui-ci appartient à C’ C ρ donc tout point de n’admet pas un antécédent par f .

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Exercice 3 (4 points) M é tropole – Juin 2012 ( O ; i , j ) Le plan est muni d’un repère orthonormé . On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle % 3 ; 2 . On dispose des informations suivantes : f 0 1 % 1 · . f ρ C ρ · la dérivée de la fonction f admet la courbe représentative ci-dessous.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. % 3 ; % 1 f ' x σ 0 1. Pour tout réel x de l’intervalle , . Sur l’intervalle [–3 ; –1], la courbe C’ est située en dessous de l’axe des abscisses et coupe celui-ci en –1, ce f ρ qui signifie que la fonction est négative ou nulle sur cet intervalle. L’affirmation est donc VRAIE .

% 1 ; 2 2. La fonction f est croissante sur l’intervalle . % 1 ; 2 f ρ % 1 ; 2 Pour connaître les variations de f sur , on a besoin de connaître le signe de sur donné par % 1 ; 2 la position de C’ par rapport à l’axe des abscisses. Sur , C’ est au-dessus de l’axe des abscisses donc % 1 ; 2 f est croissante sur . L’affirmation est VRAIE .

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% 3 ; 2 f x ³ % 1 3. Pour tout réel x de l’intervalle , . % 1 ; 2 f (0) 1 % 1 f ( x ) 0 % 1 On sait que f est croissante (continue car dérivable) sur et que donc sur % 1 ; 0 . L’affirmation est FAUSSE . C 4. Soit la courbe représentative de la fonction f . C La tangente à la courbe au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ; 0). y 1 f ρ 0 ´ x % 0 # f (0) La tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 admet pour équation : or ρ f 0 1 1 f (0) 1 % 1 y 1 x % 1 (lecture graphique) et donc l’équation devient . x f '(x) f(x) -3

-1

0 2

Les coordonnées (1 ; 0) vérifient l’équation donc le point appartient à la tangente. L’affirmation est VRAIE . Remarque : On peut aussi regrouper toutes les informations dans le tableau suivant afin de justifier chacune des affirmations.

Exercice 4 (5 points) Polyn é sie – Sept 2011 300 Les personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes : • « À quel niveau est votre bureau ? » • « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? » Voici les réponses : • 225 personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1 er niveau, 75 vont au 2 ème niveau et 100 vont au 3 ème niveau. Page 9 sur 14

• Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2 ème niveau, les autres vont au 1 er niveau. On choisit au hasard une personne de cette population. On pourra considérer les évènements suivants : 1 • N : « La personne va au premier niveau ». 2 • N : « La personne va au deuxième niveau ». 3 • N : « La personne va au troisième niveau ». • E : « La personne emprunte l’escalier ». 1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. p E=322005=43 p (E) = 1 % p E=41 Sur 300 personnes, 225 utilisentt l’escalier ; . D’où . Sur les 225 personnes empruntant l’ascenseur la répartition 50, 75, 100 suivant les étages conduit à : 50 2 75 3 100 p E N 1 =225=9, p E N 2 =225=9, p E N 3 =225=49 Sur les 75 personnes empruntant l’escalier, on obtient de même : p E N 1 =13, p E N 2 =23, p E N 3 =03

1 12 2. (a) Montrer que la probabilité que la personne aille au 2 ème niveau par l’escalier est égale à . p E Ç N 2 = p (E) ´ p E N 2 =14 ´ 13=112 On a . 1 2 3 (b) Montrer que les évènements N , N et N sont équiprobables.

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75 ´ 2=50=100 3 Vont au 1er étage : 50 (ascenseur) + personnes ; 751=25=100 ´ 3 Vont au 2e étage : 75 (ascenseur) + personnes ; Vont au 3e étage : 100 (ascenseur) personnes. 1 2 3 Les évènements N , N , N sont bien équiprobables.

(c) Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au 2 ème niveau. 1 p (E) = p E Ç N 2 N 2 =112=41 N2 p 3 Il faut trouver : . 3. On interroge désormais 20 personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. X On appelle la variable aléatoire qui, aux 20 personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2 ème niveau. X (a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire .

p N 2 =31 Une personne prise au hasard a une probabilité d’aller au 2e étage égale à . X Les réponses des 20 étant indépendantes les unes des autres, la variable aléatoire suit une loi binomiale 1 = p 3 n = 20 de paramètres et . 10 % 4 (b) Déterminer, à près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2 ème niveau. æçè 20 ƒ♣ø´æçè 1 ƒ♣ø 5 ´çèæ%♣ƒø 20 % 5 ´ 2105 » 1457. p ( X =5)=53113=15504230, On a donc : (c) En moyenne sur les 20 personnes, combien vont au 2 ème niveau? La moyenne pour les 20 personnes d’aller au 2e étage est égale à l’espérance mathématique de la variable X ( X ) = n ´ p = 20 ´ 31=230 » 7 aléatoire , soit : E . Un peu moins de 7 personnes sur 20 vont au 2e étage.

n 300 n 4. Soit un entier inférieur ou égal à . On interroge désormais personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres. Page 11 sur 14