Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau BTS

Kdouh

Description

Probabiltés conditionnelles-lois discrètes
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour BTS Génie optique

Sujets

• Ressource
• ressources pédagogiques
• École
• Lycée
• exercices
• Cours
• Devoir scolaire
• Devoir surveillé
• Annales

Informations

• Publié par: ressources-pour-le-superieur
• Nombre de lectures: 180
• Langue: Français

Extrait

Lois de probabilité I. COMBINAISONS p p n Définition 3éléments d’un ensemble.On appelle combinaison de Ecomportant n éléments ( ), toute partie p  deEéléments. Dans une combinaison, l’ordre n’intervient pas à n! p p C1 Théorème ( admis) le nombre de combinaisons d’ordre d’un ensemble à n éléments est : n p! ( n%p ! ! p p n  Dans un ensemble comportant n éléments il ya C façons d’en choisirpavec n Exercice 1. De combien de manières est -il possible d’obtenir deux cartes à . « Trèfle ». lorsqu’on prend 2  deux cartes parmi un jeu de 32. Réponse : C  (il y a en tout 8 cartes à trèfle). 8 Exercice 2. De combien de manières est -il possible d’obtenir deux cartes . « AS ». lorsqu’on prend 2  Deux cartes parmi un jeu de 32. Réponse : C (il y a en tout 4 as). 4 Exercice 3. De combien de manières est -il possible d’obtenir deux cartes « AS ». et trois cartes « Roi ». 2 3  Lorsqu’on prend cinq cartes parmi un jeu de 32. Réponse : C´C 4 4 2  (Première étape : on choisit deux As : C possibilités ; Deuxième étape : on choisit trois rois : 4 3 C possibilités ; Ensuite c’est le principe multiplicatif). 4 0 1 1n 2.Propriétés 1. C1 1 ; C1n ; C1 1 et C11 n n 1n p n%p  2. C1C n n p p%1p  3. C =C#C . n n %1n%1 Cette dernière formule permet de construire le célèbre triangle de Pascal : chaque nombre du triangle s’obtient en ajoutant le nombre écrit au dessus et son voisin de gauche p1n n p p n%p 3.Formule de binôme de NEWTON å n . Le développement de ce produit donne une somme (a#b)1C a b p10 p n%p p n p p de termes de la forme (on prendadans facteurs etbdans les restants) , prenant toutes les valeurs a b p p n% p p p n entières de 0 à n . Or il y a C , donc le coefficient defaçons de choisir facteurs parmi a b est C . n n p1n n p p n%p0 0n1 1n%1n pp p %n1%n1%1n n0 D’où : å n n n n n n (a#b)1C a b1C a b#bC a #..........#C a b#.......C a b#C a p10 B(n,p) II. Loi de probabilité discrète II.1 - Loi binomiale de paramètre n et p Définition 1appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne comportant que deux issues appelées: On p  succès S , ou échec , de probabilité, de probabilité q11%p . S p  La loi de probabilité est appelé loi de Bernoulli de paramètre . Définition 2: On appelle schéma de Bernoulli toute expérience aléatoire constituée de la répétition d'épreuve de  Bernoulli identiques et indépendantes Exemple On jette une pièce de monnaie. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont Pi : "Pile" p P1 p p(F)11%p et F : "Face". Notons ( i ) et . 1-p p 1er F Pi p 1-p p 1-p 2ème Pi F Pi F p 1-p 1-p p 1-p 1-p p p 3ième Pi F Pi F Pi F Pi F p p p 1-p 1-p p 1-p p 1-p 1-p 1-p p 1-p p 1-p p 4ième F F F Pi F Pi F Pi F Pi Pi Pi F Pi Pi F 1 si la pièce est équilibrée, on a p(P)1p(F)1 . i 2 On répète quatre fois, de façon indépendante, le jet de cette pièce .On peut traduire la situation par un arbre pondéré. La probabilité d'obtenir la suite

3 (P,P,F,P) i i i est p´p´(1%p)´p1p(1%p) La probabilité d'obtenir trois fois Pile sur les quatre lancers est la probabilité de l'événement : 3 (P,P,P,F) (P,P,F,P) (P,F, , )F { i i i ; ii i ; i P i P i ; ( ,P i ,P i ,P i ) Elle est égale à ] . 4´p(1%p ) . Le nombre 4 correspond au nombre de choix des positions des trois P i dans la séquence de quatre (ou, ce qui 3 est identique, au nombre de choix de la position du F dans la séquence de quatre), c'est-à-dire C .Notons X 4 X(W) la variable aléatoire égale au nombre de "Pile" obtenus sur les quatre lancers. On a = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} et 3 3 on a justifié que p(X13)1C´p(1%p ) . La loi de probabilité de X est alors donnée par : 4 k3 40 1 2 0 0 4 1 1 3 04 4 2 2 2 3 3 1 C´p(1%p) C´p(1%p)C´p(1%p) C´p(1%p) 4 4 4 C´p(1%p) 4 4 P ( X =k) Définition 3. . Notons X la variable aléatoire qui à chaque liste de n épreuves. k k n%k pour tout kÎN tel que 0£k£n , P(X1k) Cp(1p) 1 % . est parfois notée B(n,p) n Cette loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelé loi binomiale de paramètre n et p Remarque: Des épreuves indépendantes sont des épreuves où la probabilitépde réalisation d’un événement A  est la même à chaque épreuve.  Exemple : Si un atelier comportenmachines identiques, le fonctionnement de chaque machine doit être  considéré comme une épreuve. Le fonctionnement desnmachines constitue doncnépreuves indépendantes. Remarque: les probabilités obtenues correspondent aux termes successifs de la formule du Binôme donc n k 1 n n k k n%k % 1 # % 1 1 1 Cp(1p) ( p(1p) ! 1 , et on a bien p(X k) å n å k 1 1 k11 Î[ ] Théorème: soit nÎN et p0;1 . Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n,p) de paramètrenetp, E(X)1np V(X)1np(1%p)  alors ; ; s(X)1np(1%p) k1n k1n k k n%kk n k k % å å Démonstration E(X)1kC p(1%p)1kC p(1%p) pour k¹0 ( et doncn¹0 ) , n n . Or , k10k11 k n! (n%1)! k%1 kC1k1n1nC n n%1 , on en déduit : k!(n%k)! (k%1)!(n k%)! k1n i1n%1 k%1k%1 (n1%) (k%1)%i i n1i% %n1% å å E(X)1np C p(1%p)1np C p(1%p)1np(p#1%p)1np n%1n1% . k11i10 k1n k1n 2nk k %k2 2k k n%k2 å å V(X)1pk C (1%p)%(E(X))1k C p(1%p) (%np) n n . k10k11 k 1 n k 1 n i 1 n % 1 2nk k % k2k % 1k1 % n1 % (k % 1) % 2ni i 1i % % 2 V(X) 1 k C p(1 % p) % (np) 1 np kC p(1 % p) ( % np)n 1 p(i1 # )C p(1p % ) (n % p) å n å n % 1 å n % 1 k 1 0k 1 1i 1 0 i1n%1i1n%1 æ ö i i n%1i%ni i 1%i%2n1%2 å å V(X)1pnp iC (1%p)#C p(1%p)%(np)1np n(p1%) ((#p(1#p%)) (n%p) n%1n%1 ( ! ç ¸ i10i10 è ø 2 2 V(X1) ( )) ( #(1%)% .D’où ( ) V .et (1 ) ( ) s(X)1np(1%p) 1np np%p# 1np np p np X1np%p P(l) II.2 Loi de Poisson. Définition:Une variable aléatoire X à valeurs dans N suit une loi de Poisson de paramètre l ( l2 0 ), k l %l P(l)  notée en abrégé si la loi de probabilité de X est définie par : P(X1k)1e pour tout kÎN . k!  On l'utilise lorsque la réalisation d'un événement est assez rare et que l'on effectue l'expérience correspondante  un grand nombre de fois. * Propriétésimdas:se Soit mÎR . Les valeurs caractéristiques d'une variable aléatoire X suivant une P( m ) # E(X)1lV(X)1l  sont : ; ; s(X)1l .  Sinest assez grand et sipest très proche de 0 et sin pn’est pas trop grand , alors on peut approcher  la loi binomiale B(n,p) par la loi de poissonP( l1np ) ( l1np ).

#¥ kk N #¥ k Nk N %1k N 1% l l l l l l %l%l%l l%l% E(X)1k e1limk ek e 1k e1le1le å å . å åå å k! N|#¥ k!k!k! (k%1)!k! k10k11k10k11k11k10 N%1 k #¥ kk N l l l %l%l l 2%l2 2%l2 On en déduit : . V(X)1le%l1limle%l ; å å å E(X)1le1le e1l k! N k10 k! |#¥ k! k10k11 N k N k%1 N%1 k N 1% k N 1% k N 1% k N 1% k æ ö æ l l l l l l l 2%l%l l%l%l% le1le k1le(k#1)1leçk# ¸1leç # ¸ å å å å å å å Or ç ¸ ç ¸ k! (k%1)!k!k!k! (k%1)!k! k11k11k10k10k10k10k10 è ø è ø æ ö æ ö N k N%2 k#1 N1% k N 2% k N 1% k l l l l l 2%l%l l%l%l l2 le1leç # ¸ 1leçl# ¸ 1lele#e1l#l V(X)1l å å å å å ( ! .D’où ç ¸ ç ¸ k!k!k!k!k! è ø è ø k11k10k10k10k10 P(l) Propriété: Approximation de la loi binomiale B(n,p) par la loi de Poisson p  On admet qu'une loi binomiale de paramètre n queet telle n230 ; p00,1 et np(1%p)010 peut être  approchée par une loi de Poisson de paramètre l1np . (on conserve l'espérance mathématique) np  Soit nÎN , k0;n et pÎ On suppose que le produit 0;1 . est constant . on pose l1np . Le nombre k Î é ù é ù ë û ë û k k n%k p np  étant fixé , la quantité C p(1%p une limite lorsque n tend vers) a-telle #¥ vers 0 , puisque et tend est n k n%k æ ö æ ö k k n%k k l l  constant ?.en effet : C p(1%p)1C1% . n n ç ¸ç ¸ n n è ø è ø n%k æ l ö n%k ( n%k ! ln 1% æ l ö ç ¸ æ l ö n  Calculons la limite de 1% , quand n tend vers #¥ . On sait que . è ø ç ¸ 1% 1e ç ¸ n è ø n è ø l# ## 1 e  L’approximation affine de n(1x) au voisinage de 0 est ln(1x)x(x) æ ö æ l ö % l æ l æ l ö % l æ l% ö æ l ö æ 1  On en déduit que : ln 1% 1 #e . D’où ( n % k ! ln 1 % 1 ( n % k ! #e1 ( % n k % ! e# ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ n n n n n n n n è ø è ø øè ø è è ø è ø è ø e  où désigne une fonction continue en 0 et telle que e(0)10 . n%k æ l ö  On sait que lim11 . On en déduit : que lim ( n%k ! ln 1% 1l% . La continuité de la fonction ç ¸ n|#¥ n n|# è n ø ¥ æ l ö ( n%k ! ln 1% ç ¸  exponentielle permet d’obtenir è ø n %l lime1e n|#¥ k k k k æ l ö n!ln(n%1)(n%2)..........(n(%k1)%)l C11 ´ n(n%1)(n%2)..........(n(%k1)%)  , le produit est n ç ¸ k k n k!(n%k)! n n k! è ø n(n%1)(n%2)..........(n(%k1)%) æ 1 öæ 2 ö æ k  Constitué de k facteurs . on a donc 11´1%1%.......... 1% k ç ¸ç ¸ç ¸ n n n n è øè ø è ø k n%k k æ k ö æ l ö æ l ö % l kl  comme lim 1% 11, pour tout entier m fixé , on a : limC1% 1e ç ¸ n ç ¸ç ¸ n|#¥ n|#¥ n n n k! è ø è ø è ø Variable aléatoire continue Définition Soit W un univers . On dit qu’une variable aléatoire est continue si l’ensemble des valeurs de X est un  intervalle de R . Densité de probabilité Définition : Une densité de probabilité de la variable aléatoire continue X est une fonction f telle que : f(x)³0 #¥ Et pour tout réel x ; f(x)dx1 1. La représentation graphique defest une courbe située au dessus de l’axe des ò %¥ abscisses et tendant asymptotiquement vers 0 en ±¥ . Propriétés:Soit X une variable aléatoire continue etFla fonction de répartition de X La dérivée deFsur R est une densité de probabilité de X estf · x La fonctionFest la primitive defsuivante F(x)1f(x)dx · ò %¥ Valeurscaractéristiquesd’unevariablealéatoirecontinueméehutqaimtaecnarépsEetencia-trtcaépyerav; Définition: l’espérance mathématiqued’une variable aléatoire continue X est le nombre réel noté : #¥ E(X) 1 xf(x)dx . ò %¥