Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

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Ch2 applications
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour CPGE 1 MPSI

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Extrait

Ch2: Applications

I)

Introductionàlathéoriedesensembles:

MPSI

1. Vocabulaire et notations: a) Élément, ensemble vide et appartenance: Élément:un élément d'un ensemble est un « objet » de la collection. ∅ : ce symbole désigne l'ensemble vide, c'est-à-dire un ensemble contenant aucun élément. x∈E Appartenance:signifie que x est un élément de l'ensemble E. b) Inclusion, réunion, intersection: Inclusion: on dit qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B si et seulement si tout élément de A est un élément de B. A⊂B∀x∈A , x∈B x∈A⇒x∈B On peut donc dire que signifie que ou encore . Figure: Remarque: ● C⊄D On utilise aussi la notation pour signifier que C n'est pas inclus dans D. C⊄D∃x∈A/x∉B Ainsi peu se traduire par . ● ∅⊂E E⊂E Pour tout ensemble E, et . Réunion: A⊂B La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble noté formé des éléments de A et de B. x∈A∪B⇔x∈A ou x∈B Ainsi, . Figure: Remarque: le « ou » est inclusif, c'est-à-dire l'un ou l'autre ou les deux. Exemples: {1,2,3} U {4,5} = {1,2,3,4,5} [0;2] U [-1,1] = [-1;2] Propriétés:Pour tous ensembles A et B, A∪ ∅=A A∪A=A P1: P3: A∪B=B∪A A⊂A∪B P2: P4:

Intersection: A∩B L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble noté , formé des éléments communs à A et à B. x∈A∩B⇔x∈A et x∈B On a donc Figure: A∩B=∅ Remarque: Quand , on dit que A et B sont disjoints. Propriétés:Pour tout ensemble B, A∩ ∅=∅ A∩A=A P1: P3: A∩B=B∩A A∩B⊂A P2: c)Parties d'un ensemble et complémentaire: Parties d'un ensemble: A⊂E un ensemble A est une partie (on dit aussi sous-ensemble) d'un ensemble E si et seulement si PE Toutes les parties d'un ensemble E forment un ensemble appelé ensemble des parties de E et est noté . A∈PE⇔A⊂E On a donc . ∅ Exemple: Si E = {1,2} alors P(E) ={ , {1}, {2}, {1,2} }. Remarque: {1} est un ensemble, mais est un élément de P(E).

Complémentaire: c F Soit E un ensemble et F une partie de E. Le complémentaire de F dans E est l'ensemble noté E formé par tous les éléments de E qui ne sont pas dans F. c F={x∈E/x∉F} x∈c F⇔x∈E et x∉F ou encore E . E

Figure: [0;1 c [−1;1] ]=[−1;0] Exemple: . Propriété: c E=∅ Pour tout ensemble E, E et

2.

c∅=E E

Quelquesensemblesparticuliers:

.

ℕ : ensemble des entiers naturels (positifs ou nuls) ℤ : ensemble des entiers relatifs (de signe quelconque) p ℚ : ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire ceux qui s'écrivent avec p et q entiers relatifs. q ℂ ℝ : ensemble des nombres complexes, qui contient l'ensemble des réels . On rajoute parfois les signes + , -  ou encore * pour signifier respectivement positif, négatif ou non nul. ℚ Exemple: + est l'ensemble des nombres rationnels positifs (au sens large). Remarques: ℂ ● ne signifie rien car un nombre complexe n'a pas de signe. + ● E×F a , b a∈E b∈F On note , où E et F sont deux ensembles, l'ensemble des couples avec et 3 E²=E×E , E=E×E×E etc On note aussi . ℚ× ℤ Exemple: est l'ensemble des couples (a,b) où a est rationnel et b est un relatif strictement négatif. -

.

3. Propriétés: Remarque: A⊂B B⊂A Deux ensembles A et B sont dits égaux si et seulement si et , autrement dit A=B⇔A⊂B et B⊂A . Méthode des démonstrations: Pour démontrer qu'un ensemble A est inclus dans un ensemble B (c'est-à-dire que tout élément de A est dans ● B), on va prendre un élément x quelconque de A, et montrer par des implications que cet élément est dans B. Pour démontrer l'égalité entre 2 ensembles A et B, on va souvent montrer que A est inclus dans B et B dans A. ●

A∪B∪C=A∪B∪C P1: Soient A, B et C trois ensembles. On a . (Associativité de la réunion) Testons avec un ensemble, afin de visualiser la propriété: Soient A = {1,2,3} et B = {3,4} et C = {2,3,5}. Ici A U B = {1,2,3,4} donc (A U B) U C = {1,2,3,4,5}.  B U C = {2,3,4,5} et donc A U (B U C) = {1,2,3,4,5}. P1 est vérifiée. Démonstration: ➢ A∪B∪C⊂A∪B∪C Montrons dans un premier temps que . x∈A∪B∪C x∈C ou x∈A∪B Soit , alors par définition, . Il y a donc deux cas à examiner. ● x∈C Cas où : x∈B∪Ccar C⊂B∪C x∈A∪B∪C Alors et donc . ● x∈A∪B Cas où : x∈A ou x∈B Alors . x∈A x∈A∪B∪CA⊂A∪B∪C - Cas où , alors car x∈B x∈B∪C x∈A∪B∪C - Cas où , alors et donc . x∈A∪B∪C Dans tous les cas, . A∪B∪C⊂A∪B∪C On a donc démontré que . ➢ A∪B∪C⊂A∪B∪C Montrons dans un deuxième temps que . Raisonnement analogue.

A∩B∩C¿=A∩B∩C P2:. (associativité de l'intersection)Soient A, B et C trois ensembles. On a Démonstration: ➢ A∩B∩C⊂A∩B∩C Montrons que : x∈A∩B∩C x ∈A∪B et x∈C Soit . Alors . Donc x appartient à A, B et C.

x∈A et x∈B∩Cx∈A∩B∩C => et donc par suite, . La deuxième inclusion se démontre de manière analogue. ➢ A∩B∪C=A∩B∪A∩C P3:Soient A, B et C trois ensembles. On a: . On dit que la réunion est distributive sur l'intersection. Démonstration: A rédiger en suivant le même modèle que les précédentes.

A∪B∩C=A∪B∩A∪C P4:Soient A, B et C trois ensembles. On a On dit que l'intersection est distributivité sur la réunion. Démonstration:A rédiger.

.

cc A=A P5:Soit E un ensemble et A une partie de E. On a E E . Démonstration:Par équivalence x∈cc A⇔x∉c A x∈A Soit x un élément de E. EE E (par définition) <=> . D'où P5.

c=c∪c P6:Soient A et B deux parties d'un ensemble E. On a: . A∩BA B Démonstration: Soit x un élément de E. x∈c⇔x∉Aou x∉B A∩B x∈c⇔x∉A∩B x∈c ou x∈c c=c∪c <=> . Il vient par équivalence que A∩B A B A∩BA B x∈c∪c A B = c  ∪  c∩c P7: Soient A et B deux parties d'un ensemble E. On a A B A B . Démonstration: x∈c⇔x∉A∪B A∪B ∉ c=c∩c Soit x un élément de x∉x BA et . Il vient par équivalence q A∪BA B E. ue . x∈xc et ∈c A B III) Applications:

.

1. Définitions: Soient E et F deux ensembles non vides. Uneapplicationoufonctionƒ de E dans F associe à tout élément x de E un unique élément f(x) de F. f : EF F On note . (E, F) désigne l'ensemble des applications de E dans F. xfx Vocabulaire:On utilisera indifféremment les termes application et fonction. ● E est appelél'ensemble de départ, F l'ensemble d'arrivée ● f(x) est l'imagede x par f, x est unantécédentde y par f lorsque y = f(x) Id : EE E ● Id Quand F = E, on définit l'identité sur E, que l'on notera E .comme étant l'application xx Exemple: f :ℝ  ℝf :ℝ  ℝ 12 – + les fonctions réelles d'une variable réelle et sont différentes car l'ensemble d'arrivée est xx² xx² différent bien que donnant la même image à tous les éléments de IR, ensemble de départ. 3 3 t :ℝ  ℝ –  u Les transformations de l'espace: ici la translation avec t une translation de vecteur fixé. x  x  u  w : PEPE – Soit E un ensemble et B une partie de E . AA∪B La composition

Soient E, F et G trois ensembles, f une application de E dans F, g une application de F dans G. g°Ef : G ● g°f La composée de g et f est l'application notée définie par . xg[fx] ● u   v La composée d'une translation de vecteur et d'une translation de vecteur est une translation de u    v vecteur . Nous étudierons en détail les composées de transformations du plan et de l'espace.

2. Injection: Soit f une application de E dans F. L'application f est diteinjectivesi et seulement sitout élément de F a au plus un antécédent par f. Cela équivaut à dire que deux éléments distincts de E ont toujours deux images distinctes. En effet, dire que deux éléments x et y de E ont même image z, c'est dire que z a au moins deux antécédents (x et y) par f.

On peut donc écrire: ƒ est injective <=> ∀ x , y∈E² , fx=fy⇒x=y . Remarque: l'identité est injective.

Interprétation graphique:

y 0

y 1

y 2

x 1

∀ x , y∈E² , x≠y=¿fx≠fy

x 2

Cf

ou encore

Pour les fonctions de IR dans IR, l'injectivité se traduit graphiquement par le fait que la droite d'équation plus un point d'intersection avecCf,quelle que soit la valeur de y i . y et y y Ici 2 0 ont un unique antécédent, 1 n'en a pas.

y=y i

Exemples: f :ℝ  ℝ 1. Soit l'application f définie par . Cette fonction est injective. En effet, soient x et y deux réels. x xe x y fx=fy = x=y => e e => en prenant le logarithme népérien. g :ℂ ℝ n'est pas injective car il existe des nombres complexes distincts ayant le même module. ● x∣x∣

3. Surjection: Soit f une application de E dans F. L'application f est ditesurjectivesi tout élément de F admet au moins un antécédent par f, c'est-à-dire si et ∀y∈F ,∃x∈E/y=fx seulement si .

f :ℝ  ℝ Exemple: La fonction 2 est surjective car tout réel xx positif admet au moins une racine carrée réelle.

Interprétation graphique:

Une fonction f est surjective si et seulement si la droite d'équation y = y i admet au moins un point d'intersection avec Cf pour tout y i de F.

-3

-2

-1

y 5

4

3

2

1

0

-1

1

2

3

4

5 x

a au

4. Bijection: Soit f une application de E dans F. L'application f est bijective si et seulement si elle est injective et surjective, c'est-à-dire si et seulement si tout élément de F admet un unique antécédent par f. y 4 Exemples: l'identité, les rotations, la fonction cube... 3 2 Interprétation graphique: y y= 1 La droite d'équation i d'intersection avec Cf et celaa un unique point y∈ℝ quel que soit i . -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4

5. Application réciproque: Soit f une bijection de E dans F: tout élément y de F admet un unique antécédent x par f. −1 f : FE Définissons qui a tout élément y de F associe l'unique élément x de E tel que y = f(x). x −1 Remarque: f est une application car x est unique. (c'est pour cela que l'on a besoin que f soit bijective)

−1 Identité de définition de f : −1 x=fy y=fx <=> ∈ ∈F x E −1 f°f=Id E −1 f Il résulte de la définition de que l'on a, pour toute fonction bijective −1 ° f f=Id F −1 Id=Id Remarque: Id E est bijective et on a E E . * f :ℝ  ℝ + Exemple: Soit f la fonction définie par x xe x x=lny y=fx⇔y=e⇔x=lny La fonction f est effectivement bijective: . On a donc * <=> ∈ℝ + −1 f :ℝ *  ℝ + L'inverse de f est donc la fonction . xlnx

x y=e x∈ℝ

.

3

6. Image d'une partie: a) Image directe d'une partie: Soit f une application de E dans F et A une partie de E. L'image de A par f est l'ensemble inclus dans F noté f(A) dont les éléments sont les images par f des éléments de A. fA={fx/x∈A}y∈fA⇔ ∃x∈A/y=fx Ou encore . Image A par f: Cf

f(A)

A

x

b) Image réciproque d'une partie: Soit f une application de E dans F et A' une partie de F. −1 fA ' L'image réciproque de A' par f est l'ensemble inclus dans E, noté , des éléments de E dont l'image par f est dans A'. −1−1 fA '={x∈E/fx∈A '}x∈fA '⇔fx∈A ' Ou encore . −1 Remarque: l'image réciproque de A' est définie même si la fonction f n'est pas bijective. f N'existe alors pas, −1 fA ' est simplement une notation.

−1 fA '=I∪I 0 1

I 0

A'

Cf

I 1

Remarque: une ambiguïté de notations apparaît lorsque f est bijective. Dans ce cas, −1 f l'image réciproque de A' par f et l'image directe de A' par .

Démontrons que ces deux ensembles sont égaux: Soit H l'image réciproque de A' par f. H={x∈E/fx∈A'} −1 f Soit G l'image directe de A' par : −1 G={fy/y∈A'} ● x∈H y=fx Soit et soit . Par définition de H, −1−1 −1 fy °f=Id =f[fx]=x f E . Ainsi car

● x∈G Soit . Par définition, x∈H et G⊂H . => Il vient que H = G.

IV) Quelques propriétés:

−1 ∃y∈A '/x=fy

−1 fA ' désigne à la foix

−1 y∈A' fy∈G , donc x∈G H⊂G et donc .

. D'où

. Or

−1 fx=ffy=y .

fx∈A ' Donc

P1: La composée de deux injections est une injection. Démonstration: Soient E, F et G trois ensembles, f une injection de E dans F, g une injection de F dans G. Montrons qu'alors injective. x et x de E Pour cela, prenons deux éléments distincts 1 1 . On veut donc parvenir à la conclusion que gfx≠gfx 1 2 . x≠x fx≠fx => car f est injective. 1 2 1 2 gfx≠gfx  => car g est injective. 1 2 g°f Donc est injective.

g°f est

P2:La composée de deux surjections est une surjection. Démonstration: Soient E, F et G trois ensembles, f une surjection de E dans F, g une surjection de F dans G. Montrons que tout g°f élément de G admet au moins un antécédent par . y∈Fz=gy Soit z un élément de G. L'application g est surjective donc on peut définir tel que . y∈F x y=fx Et f est surjective. On peut donc définir élément de E tel que .

Ainsi,

gfx=z g°f donc x est un antécédent de z par .

P3: La composée de deux bijections est une bijection. Démonstration: Conséquence des deux propriétés précédentes. Soient E, F et G trois ensembles, f une bijection de E sur F, g une bijection de F sur G. g°f f et g sont bijectives donc elles sont toutes deux injectives et donc est injective. g°f g°f De même, f et g sont surjectives, donc est surjective. est donc bijective.

P4:Soit f une bijection de E dans F. Son application réciproque est également bijective. Démonstration: −1 −1 ffx=x En effet, est surjective car tout élément x de E admet comme antécédent f(x) puisque . −1−1−1−1 fx=fy⇒ffx=ffy⇒x=y Elle est aussi injective car si x et y sont deux éléments de F, car −1 f°f=Id E .

V) Deux exercices de base pour rédiger:

Ex1:Démontrer que l'application ℂ ∖ {−1} dans

Ex2:Démontrer que l'application

ℂ ∖ {i} est injective puis qu'elle réalise une bijection de

st bijective de IR dans IR.