Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

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Relations d'ordre
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI

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• Langue: Français

Extrait

Chapitre:Relationsd’ordre,bornessup´erieureset bornesinfe´rieures

1 Relationsbinaires

De´finitionOn appellerelation binaire sur Etoute partieE×E. SiRest une relation binaire surE, on notera la proposition ”(x, y)∈ Rresena`ilemad”nte:uiva ∀x, y∈E, xRy

ExemplesaleraLe=,t´liga´ed’onti≤noitidedisiviliboucoenlarelarenobsniiaer.st´esontdesrelati

Propri´ete´sdesrelationsbinairesSoitRune relation binaire surE. •On dit queRestixefleve´rsi:∀x∈E, xRx. •On dit queResttransitivesi:∀x, y, z∈E,(xRet yRz)⇒xRz. •On dit queRestrietm´syuqesi:∀x, y∈E, xRy⇒yRx. •On dit queResttisyeanriqum´etsi:∀x, y∈E,(xRet yRxl,)⇒x=y.

ExemplealeraLe´’dnoit´eymiqtretuetian´mysirte.euqgalit´eestr´eflexvi,ertnaisitevs,

De´finitionsSoitRune relation binaire sur E. •neme´le´xueDtsx∈Eety∈Esont ditscomparablesparRsi:xRyouyRxtnem,´evutneelle les deux. •On dit que la relationRlconsquedeques´xuedisetneme´lealotttesEsont toujours com- parables parR, i.e.si: ∀x, y∈E, xRy ou yRx •Une relation non totale est ditepartielle.

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1.1 Relationsd’ordre

De´finitionOn appellerelation d’ordre sur Etoute relation binaire surElafoisuqeitsa` r´eflexive,transitiveetm´syrietequitnaseet´nontveou.tsloenEsls.

Remarqueeuqe´iclet,ctrisoasrd’ostreoidnletanurenfiritd´eemenegaleut´pnOxy⇔xy etx6=ysimye´rtvieeattn,transit.euqi

1.2Relationsd’e´quivalences

D´efinitionOn appelleelatr’´eqiondaviucnelruseEtoute relation binaire surEoisqiuse`tlafa r´eflexive,transitiveetsym´etrique.Onlesnoteleplussouvent∼ou'.

ExemplegnurneecLleraoitaalitenere´uqno’degalnd’´estuit´ealeralemocednoitceenalivomtcou,t modulonsurZ.

Th´eor`emeSoit∼ceenrsuqu´ealivital’dnouerenE. •Pour toutx∈E, on appelleed’´lasscxedecnelaviuqepour∼l’ensemble{y∈E/x∼y}. •pourscLessla’dseuqe´laviecne∼dorment dunepartition de Eelles sont, i.e.non vides,leur re´unionestEtoutentieret elles sontduosojsie´xuelagteinsa`ededxu.

De´monstrationPour toutx∈E, notonscl(xcnelaviuqe´’dess)laclaeedxpour∼. •Pour toutx∈E,x∼xsrmyncapiedo´etrx∈cl(x). Ainsicl(x) est non vide. S •emenanOdaeve´eri`quteenidE=cl(x) car∀x∈E, x∈cl(x). x∈E •Soientx, y∈E. Pourmontrer quecl(xetcl(yos)e´tnelagduossellesqu’osonuspp,snonietsioj sontnondisjointesetonvamontrerqu’ellessonte´gales.Soitzementcom´el´`numacl(x) et cl(y). Commexetyssoledˆeonstriqtr´eymtnom,seueuqsnorcl(x)⊂cl(y). Soitt∈cl(x). On a quez∈cl(y) doncy∼z.;z∈cl(x) doncx∼zpuisz∼xett∈cl(x) doncx∼t. Par transitivite´,y∼t.

2Majorants,minorants

De´finitionsSoientune relation d’ordre surEetAune partie deE. •On dit queAestemjaroe´pours’il existeM∈Etel que: ∀a∈ A, aM Untele´le´mentMetspaepel´UNmajorantdeA. 2

•On dit queAestee´rominpars’il existem∈Etel que: ∀x∈ A, ma Untel´el´ementmpplee´seatUNminorantdeA. •On dit queAestrobee´ne.´eafoit`alleessielniroeemtroe´msja

3Plusgrands,pluspetitse´le´ments

De´finitionSoientune relation d’ordre surEetAune partie deE.

•SoitM∈E. Ondit queMestLEgruspl´eeld´anuoamemtnmixumdeAsi:

1.M∈ A 2.Mest un majorant deA.

•Soitm∈Edit que. OnmestLEnimimumeneotmuetit´el´pluspdeAsi:

1.m∈ A 2.mest un minorant deA.

RemarqueLe maximum et le minimum d’une partie sontuniques.

0 D´emonstrationSoientCas des maximums.M, M∈Egsardn´slee´emtnsdeluxpeudA. Alors 0 00 0 MMcarMmajoreAetM∈ AmˆDee,em.MMcarMmajoreAetM∈ A. Par 0 antisyme´triedeuetquiedd´enon,M=M.

4Bornessupe´rieures,bornesinfe´rieures

De´finitionSoientune relation d’ordre etAune partie deE. •S’il existe, leplus petit majorantdeApourestl´eappeLAeedrobusenre´prueiAet note´esupA. •S’il existe, leplus grand minorantdeApourelpptaese´LAire´fnienrobsdeeureAet not´eeinfA.

Remarqueeruexe’nfniuire´ieereourneorp´suLbaaLoujours.istepast lesplusgrandsoupluspetitse´le´mentsd’unepartie,c’estquelesbornes n’appartiennentpasforce´ment`alapartieenquestion.

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diff´erenceessentielleavec supe´rieuresouinf´erieures

The´or`emeSoientune relation d’ordre etAune partie deE. SiAel)´me´eponturnarger(dp.pstiteposs`edeunplus, alorsA.pser(enesueborieurp´eropednusse` infe´rieure)pouret on a: supA= maxA (resp. infA=A

Th´eor`emePour tousa, b, c∈R, •Sia≤betc≤d, alorsa+c≤b+d. •Sia≤betc≤0, alorsbc≤ac.

Th´eore`me •´rojamedivnoneitareputToedeeR.sopde`senuernboupesri´ereeu •oTtuperaitnenovideminor´eedeRpuede`ssoienrobeneuri´enf.re

RemarqueteetCire´rppostunt´eeultar´es’tdexistencemais ne donne aucun renseignements sur la borne en question.

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