Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau CPGE

Tpautrel

Description

Limite de suites- équivalence- négligeabilité- dominance
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour CPGE 1 MPSI

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• Langue: Français

Extrait

1

Chapitre:

Limitedesuites,´equivalence, dominance

Notiondesuitesre´elles

n´egligeabilite´,

De´finitionOn appelleellee´eritsutoute applicationudeNdansR. On note le plus souvent cette suite (u n ) n∈N .

Remarque

N L’ensembledessuitesr´eellesestnot´eR.

De´finitions

Soit (u n lrl´teeeuiee.sun)

•On dit que (u n ) est constante s’il existeλ∈Rtel que pour toutn∈N:u n =λ. On dit qu’elle est stationnaire s’il existeλ∈Retn 0 ∈Ntels que pour toutn≥n 0 :u n =λ

•On dit que (u n ajtm´eores)tes’ilexisniroe´)e(eerpsm.M∈R(resp.m∈R) tel que pour tout n∈N:u n ≤M(resp.u n ≥m).M(resp.mel´etapp)esunmajorant (resp. minorant) de (u n ) .

•On dit que (u n rnbost)elleisee´ala`tseefoismajor´eeetmion´reei,e.s.:i∃K∈R + /∀n∈ N,|u n | ≤K.

•On dit que (u n strictement croissante) si pour tout) est croissante (resp. n∈N:u n ≤u n+1 (resp.u n < u n+1 )

•On dit que (u n ip)steantourtou.pseirtsnassr(etcr´essoiemcttdentd´ecroi)esn∈N:u n ≥u n+1 (resp.u n > u n+1 )

•On dit que (u n e)tsotenomone´rciossnaetestcroissanteoudnomtnotois)eellees(rstp.ctrienem (resp.strictementcroissanteoustrictementd´ecroissante).

RemarqueourmPntpasde´dpeneadojartnenirismaunaulfhotciusei,etrojanurencar il doit rester valablepour toutn∈N.

M´ethode:Montrerqu’unesuite(u n )est monotone •ieleetudOn´deeisngu n+1 −u n 1

2

u n+1 •Siu n >0 pour toutn∈N`nt´1eatu.dielerapportparrappoor, u n

De´finition

Pourd´efinirunesuite,ilexisteessentiellementdeuxmanie`res:

•telle qu’on donneExplicitement, i.e. u n =f(n).

•rrence,inder´ecureletaoiPranu.e.u 0 =αet∀n∈N, u n + 1 =f(u n ).

Limited’unesuitere´elledansR

De´finitions(limited’unesuite)

Soit (u n ) une suite etl∈R.

•Sil∈R, on dit que (u n )admet l pour limite si:∀ >0,∃N∈N/∀n∈N, n≤N⇒ |u n −l|< 

•On dit que (u n )admet+∞pour limite si:

∀A >0 (resp.A <0),∃N∈N/∀n∈N, n≤N⇒u n > A(resp.u n < A)

The´ore`me(Unicite´delalimite) uniqueetnot´eelim(u n ).

Soit (u n ) une suite.

Si (u n ssop)ticsell-ecee,itimelunde`e

0 D´emonstrationOn suppose que (u n ) admette pour limitesl∈Retl∈Rpar l’absurde. Supposons 0 quel6=lil existe un intervalle. Alors Ide la forme ]l−, l+[ ( >0)et un intervalleJde la 0 0 forme]l−, l+[ ( >0) tel queI∩J=∅,pOr.e`es,rayhophtu n ∈Ird’uncer`apartiniatgnarNet 0 0 u n ∈Jncn’gurtaaienraraprdti`N. Posonsn 0 = max(N, N). Alorsu n 0 ∈I∩Jnea`tiibbout.Ona une contradiction.

D´efinition(convergenceetdivergence)Soit (u n ) une suite. On dit qu’elle estconvergentesi elleposs`edeunelimitefinie.Sinon,onditqu’elleestdivergente.

RemarqueConverger signifie donc avoir une limiteFINIEmeneatovapfsro´cgern’est.Diverir∞ comme limite mais aussine pas avoir de limite.

Th´eore`me

Toutesuiteconvergenteestborne´e. 2

D´emonstrationSoit (u n ) une suite convergente de limitel∈R. Pour,lad´efin=1lamitietioidnle affirmequel’in´egalite´|u n −l|>tourtou,psi1vtsed’unrtir`aparaieA.ninaNgiarnectrn≤N:

|u n |=|(u n −l) +l| ≥ |u n −l|+|l| ≥ |l|+ 1

d’apr`esl’in´egalite´triangulaire.PosonsK= max(|u 0 |,|u 1 |,|u 2 |, ...,|u N−1 |,|l|+ 1). AlorsKest plus grand que les nombres|u n |pour toutn≤Nen conclut que. On ∀n∈N,|u n | ≤K, autrement dit que la suite (u n e.´ernbost)e

Remarqueocvnptsatn(ereegasuiCf.ltermtedee’nse´neeberoustioutese:tfauseestuqorpice´raL n ge´ne´ral(−1) )

Me´thode:Montrerqu’unesuiteconvergeoudivergeversl’infini

•Pour montrer que ∀ >0,∃N∈N/∀n≥N,|u n −l|< , oncommencepare´crire:”Soit >on cherche un rang0”. Ensuite, Nartirduqeul`ap|u n −l|<  en majorant|u n −l|eesnrrxuel:gsee`tcepdtna

1. La majoration doit tendre vers 0 quandntend vers∞. 2.Elledoitˆetresimplevis-a`-visdelarecherchedurangN

•Pour montrer que ∀A >0,∃N∈N/∀n≥N, u n > A, oncommencepare´crire”SoitA >0.” On essaie ensuite de trouver un rangNrdtiueuq`larap u n > Aepxenatcdnegles:tdeuxr`e

1. La minoration obtenue doit tendre vers∞quandntend vers∞. 2.Elledoitˆetresimplevis-`a-visdelarecherchedurangN.

Exemples

3

nsinn nsinn •Pour montrer que lim 2 = 0, on va prouver que:∀ >0,∃N∈N/∀n≥N,| 2 |< . Soit n+2n+2 nsin n n|sinn| n n1 1  >tout0. Pour n∈N, on majore| 2 |= 2 ≤ 2 ≤ 2 = . PosonsN=EN T( ) + 1. n+2n+2n+2 n n  1nsinn ApartirdeN,l’ine´galit´e< lit´e’lnie´agoftroiirratv`aiees| 2 |< . n n +2 2n2 •Pour montrer que lim(n+ (−1)n) =∞, on va prouver que:∀A >0,∃N∈N/∀n≥N, n+ n2n2 2 (−1)n > A. SoitA >tout0. Pour n∈N, minorons:n+ (−1)n≥n−n=n(n−1)≥(n−1) . √ √ 2 Pour toutn∈N ?,(n−1)> A⇔An > + 1. Posons doncN=AA partir de+ 2/ N, 2 2n (n−1)> Aareisevtril’rtio`afodonce´tilage´nin+ (−1)n > Aaussi.

3.1

Manipulation des limites

Op´erationssurleslimites

3

•Si lim(u n )> m, alorsu n > mectr’dnuna.giarnrtir`apa

−∞ +∞ 0 −∞

Th´eor`eme(Limitesetin´egalite´sstrictes) m, M∈R.

Quotient

0 l/l −∞ l <0 l= 0 l >0 +∞

l >0 ou +∞ +∞ ∞

∞ 0 †

Soient (u n esui)unettemilinetuande´ssopellee´ret

0 Soient (u n ) et (v n les,´eeltesrsxiud)uel, l∈Retλ∈Rsuppose ici que lim(. On u n ) et lim(v n ) existent.

l <0 ou−∞ +∞ −∞

l >0 ou +∞ −∞ −∞

lou−∞ −∞ −∞

∞ −∞ †

De´monstrationProuvons le premier point. Posonsl= lim(u n ). Sil=−∞, tous lesu n sont dans l’intervalle ]− ∞, M[ dela`rnna.giSceunairtrtpad’irl∈R, sachant queM−l >se`0eptahrphoy, tous lesu n sont dans l’intervalle ]l−(M−l), l+ (M−l)[⊂]− ∞, Mrtpad’irceunairtnarnaD.gelsns[a` deux cas,u n < M.`apartidru’cnreatniargn

Somme

lim(u n ) lim(v n ) lim(u n v n )

Produit

lim(u n ) lim(v n ) lim(u n +v n )

l <0 ou−∞ −∞ ∞

+∞ † − 0 0 + 0 †

+ 0 −∞ −∞ † +∞ +∞

−∞ † − 0 0 + 0 †

Passage`alalimitedanslesine´galit´es

λ/l λ <0 λ= 0 λ >0

lou +∞ +∞ +∞

+∞ −∞ 0 +∞

•Si lim(u n )< M, alorsu n < M`apartg.iatrnarn’driecnu

1 1 C’estfauxavecdesine´galit´eslarges.Contre-exemple:lim=0≤0 mais>0. n n

Remarque

4

3.2

l 0 l 0 l+l

:

Multiplication externe

:

l 0 l 0 ll

:

0 l <0 +∞ l 0 >0 l 0 l 0 >0 l −∞

0 l >0 −∞ l 0 <0 l 0 l 0 >0 l +∞

l∈R λl λl= 0 λl

:

− 0 +∞ +∞ † −∞ −∞