Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

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Exercices p 165
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Première S

Sujets

p165. suites arithmétiques. 22.un= n²%n u0= 0 ; u1= 0 ; u2u= 22%u1¹u1%u0donc (un) n’est pas arithmétique . 23.unu= (3n+1)/2.n+1%un= (3(n+1)+1)/2%(3n+1)/2 = … = 3/2 donc (un) est arithmétique de raison 3/2 24.u0= 2 et un+1=%2 + undonc (un) est arithmétique de raison%2 25, 26 et 27.unest n termes après u0donc un= u0+ n´r il n’y a plus qu’à remplacer u0et r par leurs valeurs 30.u0= 5 et u100=%45. u100est 100 termes après u0donc u100= u0+ 100ret%45 = 5 + 100rÛ100r =%50Ûr =%1/2 u20est 20 termes après u0donc u20= u0+ 20´%1/2 =%5 31.u17= 24 et u40= 70. u40= u17+ (40%70 = 24 + 23r17)r etÛ23r = 46Ûr = 2 u0est 17 termes AVANT u17donc u0= u17%17r = 24%17´2 =%10 32.u10 000= u2000+ 8000r et 1 =%79 + 8000rÛ8000r = 80Ûr = 0,01 u3857= u2000+ (3857%2000)r =%79 + 1857´0,001 =%7,143 un4 5n 03 41 20 1 2 35 n 34.u0= 1/5 et un+1= 1 - 2unun1 1/3 1/51/3 1 1/5vn1 3 53 1 5 "nÎIN,vn= 1/un1 11 - 2un1 2un vn+1%vn=% =%= =%2 donc (vn) est arithmétique de raison%2 et de premier termev0= 5 un+1unununun 1 On a alors"nÎIN,vn=v0+ nr = 5%2n et donc un= 5 - 2n 35.u est arithmétique de raison r c’est à dire un+1%un= r quand r > 0, (un) estet quand r < 0, (un) est. 56.u est arithmétique, u10=%12 et u20=%32 1.u20= u10+ 10rÛ%32 =%12 + 10rÛr =%2 u0= u10%10r =%12 + 20 = 8"nÎIN, un= 8%2n 2.S = u10+ u20+ u30+ … + u100u10+ u100 S est la somme de 10 termes consécutifs de la suite arithmétique (u10n) donc S =´10 2 (u10(n+1)%u10n= 8%20(n+1)%[8%20n] =%20 qui est une constante, ce qui prouve que (u10n) est arithmétique ) or u10=%12 et u100=%192 donc S =%1020. 57.1 + 3 + 5 + … + 99 est la somme des entiers impairs de 1 à 99. (termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1). Un entier sur deux étant impair, il y en a 50. 1 + 99 on a alors 1 + 3 + 5 + … + 99 =´50 = 50² 2 2.S = 1 + 3 + … + (2n%1) est la somme des n premiers naturels impairs (termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1) 1 + 2n-1 on a alors S =´n = n²on en déduit que la somme des n premiers entiers impairs est n² 2 u1+ un 58.u est arithmétique de raison r, de premier terme u1donc un= u1+ (n%1)´r et S = u1+ u2+ …+ un=´n 2 u1+ un137 + 105 1.un= u1+ (n%1)r donc 105 = u1+ 16´(%2) et donc u1S == 137´n =´17 = 2057 2 2 2.un= u1+ (n%1)r donc un= u1+ 32´(%7) et donc un= u1%1024 S = 0 donc un=%u1on a alors%u1= u1%1024 d’où u1= 512 puis un=%512 3.un= u1+ (n%1)r donc 14 = u1+ 7(n%1) soit u1= 14%7(n%1) u1+ unu1+ 14 on a alors S =´nÛ%1176 =´nÛ%2352 = (14%7(n%1)+14)´nÛ…Û7n²%35n%2352 = 0 2 2 35+259 35-259 ce trinôme a pour discriminantD< 0= 21 car= 259² et donc l’équation a pour unique solution n = 14 14 un= 14 et n = 21 donc u21= 14u1= u21%20´r = 14%20´7 =%126

59.notons u1le premier terme, on sait que u1+ u2+ … + u6=%3 et u8+ u9+ … + u13=%129 u1+ u6 u1+ u2+ … + u6=%3Û´6 =%3Ûu1+ u6=%1Û2u1+ 5r =%1 (1) 2 u8+ u13 u8+ u9+ … + u13=%129Û´6 =%129Ûu8+ u13=%43Ûu1+ 7r + u1+ 12r =%43Û2u1+ 19r =%43 (2) 2 (2)%(1) donne 14r =%42 et donc r =%3 en remplaçant r par%3 dans (1) on obtient u1= 7