Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

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Statistiques
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

Mathématiques

Ch...: Statistiques

1ère S

On suppose le vocabulaire propre aux statistiques acquis (voir programme de seconde). Le programme de première S s'intéressera aux mesures en statistiques (quartiles,médiane, moyenne et des nouvelles comme la variance et l'écart- type) et leurs propriétés.

I) Médianeet quartiles: Soit une série statistique à caractère quantitatif discret dont toutes les valeurs ordonnées sont xx...x . 1 2N x s'appelle le terme de rang 1 (ou d'indice 1) et N représente l'effectif total. 1 On note également cette série statistique comme ceci: x . C'est donc une famille de réels. i1iN

1. Lamédiane:

On appellemédianetout réel m tel que50%des termes de la série ont unevaleur inférieure ou égaleà m et e e que50%des termes de la série ont unevaleur supérieure ou égaleà m . e La médiane m d'une série statistique ordonnée d'effectif N est: e ➢ Savaleur centralelorsque N estimpair ➢ La demi-somme de ses deux valeurs centrales lorsque n est pair.

Exemple: Déterminer la médiane des séries suivantes: 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 25et 9; 10 ; 12 ; 15.

Remarque: La médiane ne dépend pas des valeurs extrêmes. C'est une mesure de position.

Cependant, pour mesurer plus finement la dispersion des valeurs, on va décidé de partager la séries en quatre parties ayant sensiblement le même effectif.

2. Lesquartiles:

On appellepremier quartiletout réel noté Q tel que: 1 Q ➢ au moins25%des termes de la série ont unevaleur inférieure ou égaleà 1 et ➢ au moins75%des termes de la série ont unevaleur supérieure ou égaleà Q . 1 On appelle troisième quartile tout réel noté Q tel que: 3 Q ➢ au moins75%des termes de la série ont une valeur inférieure ou égaleà 3 et ➢ au moins25%des termes de la série ont unevaleur supérieure ou égaleà Q . 3

Remarques: – Le deuxième quartile ne se définit pas puisqu'il n'est autre au la médiane. – QmQ 1e3 N3N – Lorsque l'effectif est un multiple de 4, on choisit donc Q comme et Q comme . 1 3 4 4 – Lorsque l'effectif n'est pas un multiple de 4, les quartiles sont les termes de rang immédiatement supérieurs à N3N et à. 4 4

L'intervalle interquartiled'une série statistique est l'intervalle[Q 1 ; Q 3 ]. L'écart interquartileest le nombre positifQ 3 – Q 1 .

Exemple: Déterminer Q et Q pour les séries 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 25et 9; 10 ; 12 ; 15. 1 3

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3.iDgaseearmmîte:nbo(ou boîtes à moustaches)

Les cinq nombresMin(terme de valeur minimale ou x ), Q , m , Q etMax(terme de valeur maximale ou 1 1e3 x ) donnent une sorte de résumé d'une série statistique, qu'on peut représenter graphiquement par un diagramme N en boîte.

Construction: On le construit au-dessus d'un axe gradué. Il est constitué: – d'une boîte délimitée par les 1er et 3ème quartiles et partagée par la médiane, – de moustaches qui relient les quartiles aux valeurs extrêmes de la série. Sa hauteur est souvent arbitraire (elle peut aussi dépendre de l'effectif).

Min

Q 1

m e

Q 3

Max

Remarque:La superposition de boîtes à moustaches est intéressante pour comparer plusieurs séries associées à un même caractère sur des populations différentes.

L'étendued'une série statistique est la différence x−x . N1

4.lyPonegoesd):CCéscroissants(Eeffceitsfcmulu(voir programme de seconde) Cette représentation est utilisée quand les valeurs d'une série statistique sont regroupées en classes. Q m et Q sont les antécédents respectifs de 0,25; 0,5 et 0,75. 1,e3 Dans le cas d'un regroupement en classe, on parle de classe médiane au lieu de valeur médiane.

Il faudra savoir lire ce type de représentation graphique et retrouver ces résultats par le calcul (en général avec les vecteurs ou avec les fonctions affines par morceau).

Exemple: On donne la répartition des accidents corporels de la route selon les heures de la journée pour l'année 1999: Tranche [0 ; 3[[3 ; 6[[6 ; 9[[9 ; 12[[12 ; 15[[15 ; 18[[18 ; 21[[21 ; 24[TOTAL horaire Nombre 4550 3230 8220 9050 1204016040 16820 10050... d'accidents ECC ... ... ... ... ... ... ... ... 1. Tracerle polygone des effectifs cumulés croissants. 2. Graphiquement,lire Q 1 , m e et Q 3 . 3. Retrouverces valeurs par le calcul. ............................................................................................................................................................................................................................... II) Moyenne, variance et écart-type:

x effecon ur Soit nx ; où 1kr une série statistique dont les valeurs distinctes x ;x ;...; r t potifs k k1 2 n i respectifs n ;...; n et pour fréquence f ;f ;2; . 1r1 ...; f r On rappel que f= et que 0f1 . L'effectif i i N r ∑ i total de cette série est N=n . i=1 1. Lamoyenne:

n xn x...n x 1 12 2r r Lamoyennede la série nx ; est le nombredéfini pa k k où 1kr x r: x= , soit N rr 1 ∑ i i ∑ i i x=n x ou encore x=f x . N i=1 i=1

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Remarque:Dans le cas d'une série où les données sont regroupées en r classes, les formules précédentes e s'appliquent en prenant pour x classe.le centre de la k k

Exemple: On donne la distribution des tailles en mètres de 60 girafes: t [5,4 ; 5,8[[5,0 ; 5,4[[5,8 ; 6,2[ k n 13 17 23 k Quelle est leur taille moyenne?

[6,2 ; 6,6[ 7

Une série statistique partagée en p sous-séries disjointes de moyennes et d'effectifs respectifs n x...n x 1 1p p x ;n a x ;n;...; p p  pour moyenne x= . 1 1 n...n 1p

Démonstration: Soit une série statistique partagée en p sous séries disjointes S S..., S dont les moyennes et effectifs sont 1, 2,p respectivement x ;n,x ;n,...,x ;n . 1 12 2p p Si la moyenne d'une série d'effectif n est x , alors la somme de toutes ses valeurs es n x . i ii i Les sommes des valeurs des p séries sont donc n x ,..., nx . La somme des valeurs de la série globale est donc 1 1p p égale à n xn x...n x pour un effectif total de nn...n . La moyenne recherchée est donc bien 1 12 2p p1 2p n x...n x 1 1p p x= . n 1 ...n p

Exemple 1: Dans trois entreprises employant respectivement 8, 20 et 52 personnes, les salaires mensuels moyens sont 2500 €, 2000 € et 1500 €. Déterminer le salaire moyen de l'ensemble du personnel.

Exemple 2: Une classe de première S est formée de 16 garçons et de 12 filles. La moyenne des tailles des garçons est 1,72 m et celle est filles est 1,68 m. 1. Calculerla taille moyenne des élèves de cette classe. 2. Leprof de maths arrive dans la classe, il mesure 1,93 m. Calculer la nouvelle taille moyenne des personnes de la classe.

2. Lavariance et l'écart-type:

La moyenne d'une série est son « centre de gravité ». On veut lui associer un nombre qui tient compte des écarts des valeurs à cette moyenne.

Soit la série statistique nx ; où . k k 1kr 1 La fonctiondéfinie par f [x−t²...nx−t²] qui associ f t=n 1 1r r e à tout réel t la moyenne des N carrés des écarts à t des termes de la série, admet un minimum pour t=x égal à 1 fx= [nx−x²...nx−x²] . 1 1r r N

Démonstration: 1 Soit la fonction ƒ définie par ft= [nx−t²...nx−t²] . On va développer ƒ(t). 1 1r r N 1 2 D'où: ft= [nx−2x tt²...nx−2x tt²] . On va ensuite exprimer ƒ(t) comme ceci: 1 1r r²r n

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11 2 2 ft= [t²−2t ] . Ainsi, ft= [n...nt²−2n x...n xtn x...n x] , avec 1r1n rr1 1r r NN r rr 1r ∑ i1 1r r ∑ i i1 1r r ∑ i i =n...n=n , =n x...n x=n x et =n x²...n x²=n x² . i=1i=1i=1 2 On observe que =2x et que =N . N r r 1 1 ∑ i i ∑ i i D'où ft=t²−2x tn x² et si on pose c=n x² , on a bien ft=a t²b tc avec a = 1, N N i=1i=1 b=2x . −b2x La fonction ƒ est donc un trinôme du second degré avec a > 0, donc son minimum est atteint en t== =x . 2a2 1 Le minimum de ƒ est donc égal à fx= [nx−x²...nx−x²] . CQDF 1 1r r N

Lavarianced'une série statistique x ;n où 1kr est le nombre noté V et défini par: k k r 1 ∑ i i V=nx−x² N i=1 L'écart-typede la même série statistique est noté  et est défini par: =  V

Remarques: ➢ La variance est une somme de carrés, c'est donc un nombre positif, ce qui permet de justifier l'existence de l'écart-type. r n i ∑ ➢ Si on note = la fréquence deformule x−x² . f i x i devient, la V=f i i N i=1 ➢ Si les données sont regroupées en classes, on choisira alors x au centre de la classe car on suppose la i répartition uniforme du caractère dans chaque classe.

Exemple: Donner la variance et l'écart-type de la série portant sur la taille des 60 girafes V≈0,15 et ≈0,38 .

Interprétation de ces paramètres:

Lavariancemesure ladispersion des valeurs autour de la moyennecar c'est la moyenne des carrés des écart à la moyenne. Elle s'exprime dans le carré de l'unité du caractère, ce qui n'est pas très parlant pour nous.

L'écart-typenous intéressera plus que la variance car il a l'avantage d'être dans la même unité que celle du caractère. Il permet decomparer la dispersion de deux sérieset il tient compte de l'ensemble de la population(contrairement à l'écart interquartile)

La variance de la série

x ;n,1kr est la moyenne des carrés de x diminuée du carré de leur moyenne. k k k r 1 ∑ i i Autrement dit, V=nx²−x N i=1

Démonstration: r r 1 1 2 2 ∑ i i ∑ ii i On a V=nx−x² , si l'on développe V=nx −2x xx <=> N i=1 N i=1 r rrr 1 1 2 11 ∑ i i ∑ i i ∑ i i ∑ i i V=n x²−2x nxx . Or n x=x , donc V=n x²−2x²x² . N NNN i=1i=1i=1i=1 r 1 ∑ i i Ainsi, V=nx²−x . N i =1

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Exemple: On donne les notes de deux élèves de première S en mathématiques:

Élève 18 1112 12 13 1510 15 16 13 Élève 29 1015 7 1212 14 1311 9 Quel est l'élève qui à les résultats les plus homogènes? (conseil: calculer la moyenne et l'écart-type de chaque série) ...............................................................................................................................................................................................................................

Remarque: Quand on a des séries avec des ordres de grandeurs différents, l'écart-type du caractère prenant les plus grandes valeurs sera supérieur au second, mais cela ne signifie pas que les valeurs soient plus dispersées. Dans ces cas là, on utilisera un nouvel indicateur appelé coefficient de variation, noté C , défini pour des séries v  statistiques avec des moyennes non nulles par: c= (sans unité). v x

Exemple: Cinq élèves ont couru un 3 x 500 m pour le bac d'EPS, et 5 autres ont préféré courir un 5000 m. Leurs performances sont résumées dans le tableau suivant: Élève 1Élève 2Élève 3Élève 4Élève 5 3 x 500 m3'58 4'05 4'12 4'08 4'00 5000 m14'58 14'47 15'37 13'57 14'48 Laquelle de ces deux courses à les temps les plus homogènes? .............................................................................................................................................................................................................................. III)Transformation affine des données: Soit la série statistique x ;n,1kr et S' la série a xb ; n où a et b sont des réels fixés, avec a non k kk k nul. On peut déduire les principaux paramètres de S' de ceux de S selon le tableau suivant:(admis) Moyenne Écart-typeMédiane quartileÉcart interquartile S x  m Q e=Q−Q x ex3 1 Pour tous réels a et bpour a0 Pour tous réels a et b S' a xb∣a∣× a×mb a×Qb ∣a∣×Q−Q x e 3 1

Exemple: On a opéré deux transformations affines sur une série x . i x 1 2 3 4 5 6 7 i y=2x−3 1 3 5 5-1 111 i i z=−2x10 8 6 6 4 2 2-4 i i

8 11 -4

9 15 -8

10 11 12 17 19 21 -10 -12 -14

1. Déterminerles paramètres du tableau ci-dessus pour la série x . i x=6 ,  ≈3,67 , m =5,5 , e=Q−Q=9−2=7 x e xx3 1 2. Mêmeconsigne par les séries y et z . i i y=2x−3=... , z=−2x10=...  = =2 =... x zx m =2m −3=... et m =−2m 10=... e ye xe ze x e=e=2e=... y zx Exercice: Une agence propose des voyages organisés dont le prix moyen est de 540 € avec un écart-type de 254 €. Le prix médian est de 450 € et l'écart interquartile est égal à 275 €. Le voyagiste décide de minorer tous ses prix de 10% et de demander 50 € pour frais de dossier. 1. Quelleest l'incidence de ce changement sur les paramètres connus de la série initiale? 2. Lesacheteurs potentiels en tireront-ils bénéfice?

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