Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

Thibault Pautrel

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Dérivation
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

I- Le nombre dérivé:

1) L'accroissement moyen:

Ch...: La dérivation

Soit une fonction f définie sur un intervalle I; a et a + h sont deux réels de cet intervalle avech non nul, mais proche de 0. L'accroissement moyen(appelé aussi taux de variation)de f entre a et a + h est le rapport:

Remarque: Cet accroissement moyen est égal au coefficient directeur m d'une fonction affine f.

2) Nombre dérivé d'une fonction en un point:

Définition: Soit une fonction f définie sur un intervalle I; a et a + h sont deux réels de I où h est non nul.   −   f a h f a lim Si h est réelle, alors...  h0 Le réel obtenu s'appelle le nombre dérivé de f en a et est noté ....

3 ℝ  = − Exemple: La fonction f définie par f x x7

3) Interprétation géométrique du nombre dérivé:

est-elle dérivable en a = 2 ?

Soit C la courbe représentative d'une fonction f, dérivable en a. On considère le point A(a; f(a)) et le point M(a+h; f(a+h)). Quel est le coefficient directeur de la droite (AM)?

Lorsque h tend vers 0, le point M...........................................du point A. Le coefficient directeur de la droite (AM) tend vers... La droite (AM) devient............................................. à la courbe C.

Propriété: Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C d'une fonction f à un point d'abscisse a est le nombre dérivé f'(a).

L'équation de la tangente : Si f est dérivable en a, le coefficient directeur m de la tangente est .... L'équation de la tangente est donc de la forme: y = ... Le point de coordonnées (a; f(a)) appartient à la tangente T et aussi à C.

T.Pautrel - La dérivation - niveau 1ère S

Les coordonnées (a; f(a)) vérifient donc l'équation y = f'(a)x + p. D'où: f(a) = ... <=> p = f(a) – ... Par conséquent, l'équation de la tangente est donc: y = ...

L'équation d'un tangent à une courbe en a s'écrit: y = f'(a)(x-a) + f(a)

II- Approximation affine: 1. Fonctions dérivées: Soit la fonction f définie par f(x) = x² +3x – 4 Cette fonction est-elle dérivable en a réel quelconque?

Définir maintenant une nouvelle fonction, qui à x associe le nombre dérivé f'(x):

La fonction dérivée f' de f est une fonction, qui à tout x associe son nombre dérivé f'(x).

Définition: On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.

Tableau des dérivées des fonctions usuelles: (à compléter après démonstration)

Fonction f Fonction dérivée f' définie sur f(x) = k f'(x) =... ... f(x) = ax...+ b f'(x) =... n   f(x) = xn =... ...1 f'(x) 1 f'(x) =... ...    n1 f(x) = n x f(x) =  x ...f'(x) =... f(x) = cos(x) f'(x) = ... ... f(x) = sin(x) f'x) = ... ... ........................................................................................................................................................................................

2) Approximation affine associée à une fonction: Démonstration: Pour h non nul, on pose:   −   f a h f a   = −   h f ' a h   −   f a h f a Que peut on dire du quotient quand h tend vers 0 et qu'il admet une limite réelle ? h

T.Pautrel - La dérivation - niveau 1ère S

En déduire que

   h

tend vers 0

Donner l'expression littérale de

   h h

:

En déduire l'expression littérale de f(a+h):

Interprétation graphique: Dans un repère, C est la courbe représentative de la fonction f et T la tangente à C au point A d'abscisse a. N est le projeté orthogonal de M sur T. Le point A a pour coordonnées... Le point M a pour coordonnées... Soient A' (a+h, f(a)) et O' (a+h;0) Quelle est la longueur présente sur le schéma qui matérialise l'écart entre la tangente et le point de contact de la tangente ?

L'objectif de ce qui suit est de déterminer sa valeur: Géométriquement, que vaut NM ?

Remplacer les distances O'M et O'N par les valeurs de l'énoncé.

On se propose de calculer la distance A'N:  Énoncer la relation entre le coefficient directeur, x et

En déduire la valeur de

Bilan: NM = ...

Vérifier ensuite que

 y

donc AN = ...

  = h h NM

.

 y

(en précisant à quoi correspondent ces notations)

Propriété: Soit une fonction f définie sur un intervalle I et a un réel de I.  Si f est dérivable en a, alors il existe une fonction telle que pour tout réel h, avec a+ h dans I:    f(a + h) = f(a) + hf'(a) + h h Définition: On dit que f(a)+hf'(a) est l'approximation affine de f(a + h) pour h proche de 0, associé à la fonction f.

3) La méthode d'Euler:

f est une fonction dérivable sur un intervalle I dont la fonction dérivée f' est connue. Dans un repère, C est la représentative de f.

T.Pautrel - La dérivation - niveau 1ère S

A partir d'un point M 0 (x 0 ;y 0 ) connu de C, la méthode d'Euler permet de tracer une ligne polygonale qui représente approximativement la courbe C.

Principe: 1. On place M 0 (x 0 ;y 0 ). On choisit un pas h non nul, et proche de 0. 2. On pose x 1 = x 0 + h, alors:   ≈     f x 0 h f x 0 xhf ' 0 . On pose y 1 = y 0 + hf'(x 0 ) et on place le point M 1 (x 1 ;y 1 ). 3. On pose x 2 = x 1 + h, alors:   ≈     f x 1 h f x 1 xhf ' 1 . On pose y 2 = y 1 + hf'(x 1 ) et on place le point M 2 (x 2 ;y 2 ). Ainsi de suite... 4. On tracer les segments [M 0 M 1 ]; [M 1 M 2 ]...

Exemple:f est une fonction dérivable sur [0;1] telle que: f(0) = 1 et pour tout réel x de [0;1], f'(x) = x. Appliquer la méthode d'Euler pour tracer dans un repère une ligne polygonale qui représente approximativement la courbe représentative de f. ........................................................................................................................................................................................

III- Dérivées et opérations: Dans tout ce qui suit, I désigne un intervalle ou une réunion d'intervalles.

1) Somme de fonctions: Propriété 1: Si f = u + v où u et v sont deux fonctions dérivables sur I: - la fonction f est dérivable sur I ∀ ∈  =     - f' = u' + v' autrement dit, v ' xx , x u ' x x I , f ' Démonstration:   −        −  −     −     −   f a h f a u a h v a h u a v a u a h u a v a h v a = =  Pour tout a de I, . h h h h   −     −   u a h u a v a h v a Si h tend vers 0, tend vers u'(a) et tend vers vers v'(a) puisque u et v sont h h toutes deux dérivables en a, et donc leur somme tend vers u'(a) + v'(a). Ainsi f est dérivable en a et f'(a) = u'(a) + v'(a) ........................................................................................................................................................................................  =  ∞ Exemple: Soit f x x²  x [. On a f = u + v.sur [0; Déterminer u(x) et v(x), puis la fonction dérivée f' de f.

2) Produit de fonctions: Propriété 2: =  Si f u où est une constante réelle et u une fonction dérivable sur I: - la fonction f est dérivable sur I = ∀ ∈   = - u 'f ' autrement dit, , f ' x I x , ' xx u . Démonstration: ...

Exemple:

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Soit

3  = −  − f a2x 4x² 5x 3

. Déterminer u(x), v(x), w(x) et t(x). En déduire f'(x).

Propriété 3: ℝ Toute fonction polynôme est dérivable sur

Propriété 4: Si f = uv où les fonctions u et v sont dérivables sur I: - f est dérivable sur I ∀ ∈  =         - f' = u'v + uv', autrement dit , f ' x u x , x I ' x' x v x u x v . Démonstration:   −        −     f a h f a u a h v a h u a v a = Ici . Transformer en ajoutant et en retranchant au numérateur h h u(a)v(a+h). D'où:

On en déduit que:...

Soit

  −     −   f a h f a u a h u a = X ... h h

Quand h tend vers 0, ... tend vers u'(a) et ... tend vers v'(a) puisque u et v sont dérivables en a.   ≈     On admet que ' a ha v h v v a pour h voisin de 0, et on peut déduire que quand h tend vers 0, v(a+h) tend vers...   −   f a h f a De ce fait, tend vers... h

........................................................................................................................................................................................ Exemple: Soit f(x) = x² cos(x). On est dans le cas de P3 car f = uv. Déterminer u(x) et v(x) ainsi que leurs dérivées respectives. En déduire l'écriture algébrique de la fonction f', dérivée de f.

3) Inverse d'une fonction: Propriété 5: 1 = Si f où u est une fonction dérivable sur I, u ne s'annulant pas sur D: u - f est dérivable sur I − u ' = - f ' u²

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Démonstration: Écrire le taux d'accroissement de f entre a et a+h en prenant comme fonction f celle de P5. Transformer pour séparer le taux de variations de u et le « reste ».

  −   u a h u a Quand h tend vers 0, tend vers ... puisque ... h   ≈     On admet que h u u a ' a ha u , on peut donc déduire que quand h tend vers 0, u(a+h) tend vers ... Ainsi u(a+h)u(a) tend vers ...   −   f a h f a   ≠ Comme u ne s'annule pas sur I, u a vers ...donc tend ² 0 h Donc: ... ........................................................................................................................................................................................ Exemple: 1  = Soit f x . Donner la forme de f en précisant u(x). En déduire f'(x). − 2x 5

4) Quotient de fonctions: Propriété 6: u = Si f où u et v sont dérivables sur I, v ne s'annulant pas sur I: v - f est dérivable sur I −    −     u ' v uv ' ' xu x v x v x u ' =∀ ∈  = - f ' , autrement dit , f ' xx , x I   v²v x² Démonstration: ...

.

........................................................................................................................................................................................ Exemple: 4x ℝ  = Soit la fonction rationnelle f définie sur - {-1;1} par: f x la fonction f'(x) en. Déterminer − x²1 appliquant P6.

5) Composée du type f(x) = u(ax+b): Propriété 7: (admise) Soit f(x) = u(ax+b) où a et b sont des constantes réelles et u une fonction dérivable sur I:  ∈ f est dérivable en tout réel x tel que ax b I , avec f'(x) = a u'(ax+b)

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Exemple: ∞ Soit la fonction f définie sur [2; [ par formule d'applique.

 =  − f x3x 6

. Calculer f'(x) en précisant à quelles valeurs de x cette

Solution: La fonction f est la composée de x ... suivie de u(x) = .... (fonction racine carrée où X=... ) On a donc f(x) = u(3x – 6) qui est de la forme u(ax+b) où a = ... et b = ... Or u est une fonction de référence dont on sait qu'elle est dérivable sur... Donc (par P7), f est dérivable en tout réel x tel que 3x – 6 ... Donc x > ... On en déduit que f est dérivable en tout réel x > 2, donc sur l'intervalle... De plus, pour tout x > 2, f'(x) = au'(ax+b) c'est-à-dire f'(x) = 3u'(3x – 6). Déterminer u'(3x – 6) et conclure.

Formulaire: ➢ Équationdelatangente: f est dérivable en a. La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est: y = f'(a)(x – a) + f(a) Fonctionsusuelles: ➢ f(x) f'(x) F est dérivable sur l'intervalle:  ℝ 0 ℝ x 1 − n n1 ℝ x (n entier naturel et nx supérieur à 2) ℝ 1 1 - {0} − x x² ℝ  1 *+ x 2x  ℝ Cos(x) - Sin(x) ℝ Sin(x) Cos (x)

Opérationssurlesfonctions: ➢ u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I ● u + v dérivable sur I : (u+v)' = u' + v' ●  ∈ℝ   = u '' :'' '' u 'u ' ● uv '' '' '' : (uv)' = u'v – uv' ● u² '' '' '' : (u²)' = 2uu' − 1 1v ' ● =  Si v(x) est non nul sur I, alors est dérivable sur I : ' v v v² − u u ' v uv ' ● =  Si '' '' '' '' '' '' '' ' v v² ➢ ° Fonctionsdetype:f(x)= u v où v(x) = ax + b, a non nul:  ⊂ f est dérivable sur I, J ensemble des réels x tel que ax b I f(x) = u(ax + b) est dérivable sur J : f'(x) = au(ax + b)

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