Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Première

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Cours sur le barycentre
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

I) Barycentrede deux points:

1) Définition:

Ch...: Barycentre

Le point A étant un point du plan ou de l'espace; a étant un réel quelconque. On peut associer A et a pour former le couple (A;a) appelépoint massif ou pondéré. Le réel a est appelé la masse du point A.

Soit (A ; a) et (B ; b) deux points massifs tels que a + b soit non nul.  a GAb GB=0 Il existe un unique point du plan, noté G tel que. Ce point G est appelébarycentredespoints massifs ou pondérés(A ; a) et (B ; b). On dit que G est le barycentre de A et B affectés des coefficients a et b.

  a GAb GB=0 a GAbGAAB=0 Preuve:On cherche un point G vérifiantce qui s'écrit encoresoit  abGAb AB=0abAG=b AB . On cherche donc G tel que. ab≠0 Si ,il existe un unique point G vérifiant cette égalité, il s'agit du point défini par: b AG=AB . ab Exemple: Placer le barycentre G de (A ; a) , (B ; b) où A et B ne sont pas confondus.

2) Propriétés:

P1:On ne change pas le barycentre de deux points massifs en multipliant (ou divisant) les coefficients par un même réels k.

Démonstration: ab≠0k∈ℝkakb≠0 Si etsi *, alors. G est le barycentre de (A ; a), (B;b) si et seulement si    ka GAkb GB=0 ka GAb GB=0 k≠0 a GAb GB=0 , soit. Comme, ceci équivaut à ce que. On a donc montré que le barycentre G de (A ; ka) , (B ; kb) est le barycentre de (A ; a) , (B ; b).

P2:Pour tout réel a non nul, le barycentre de (A;a) , (B;a) est appelé isobarycentre de A et B. L'isobarycentre de A et B est le milieu de [AB].

 a≠0 a GAa GB=0GA=−GB Preuve:Si G est le barycentre de (A;a) et (B;a) où, d'oùce qui prouve bien que G est le milieu de [AB].

P3: ab≠0 Si A et B sont deux points distincts, tout barycentre G de (A;a) , (B;b) avecappartient à ladroite(AB). Siaetbsont demême signe, G appartient ausegment[AB].

Démonstration: b = = On a AG AB où .Donc AB et AG sont colinéaires. Par conséquent, le point G appartient à ab la droite (AB). Si a et b sont de même signe, on peut se ramener grâce à P1 au cas où a et b sont positifs (car il suffit de les b 0babab≠0 0 1 multiplier par -1). Considérons a et b positifs. D'oùavec doncet donc G ab appartient au segment [AB].

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Exemple: Exprimer le symétrique A' du point A par rapport au point B comme barycentre de A et B.

3) Relationfondamentale: (ou propriété de réduction)

ab≠0 Soient a et b deux réels tels queet G un point du plan. Avec ces conditions, on a: G est le barycentre de (A;a) , (B;b) si et seulement si pour tout point M du plan, on a: a MAb MB=abMG

Démonstration: Si G est le barycentre de (A;a) et (B;b), alors on a d'après la relation de Chalses: abMG=a MGb MG a MAa AGb MBb BG soit .  a AGG=0 Par hypothèse on a: b B , d'où : abMG=a MAb MB Remarques: L'intérêt de cette relation est de remplacer une somme vectorielle par un seul vecteur. – Cette relation est vraie pour tout point M, on peut donc placer M où l'on veut (en A, en B...) –

Exemple: Soient A et B deux points de l'espace ou du plan. Placer le barycentre de (A;2), (B;3).

4) Caractérisationanalytique du barycentre:     Soit le repère du plan jO ; i ; . a OAb OB=abOG En utilisant la relation fondamentale, et en remplaçant M par O, on obtient.  Ax ;yByx ; OA=x iy j OB=x iy j  Soient les pointset ,on a donc: A AB B A A et B B . a xb x a yb y A BA B  abOG=a xba yb yj  c G et G . D'où: A x B i A B . Don x= y= ab ab Autre démonstration possible: a xb x a yb y A B A B a xb x; ay ;b y=abx ; aby x= On aet G donc A BA BG G d'où G y= . ab ab

  Dans un repère O j Ax ;y Byx ; . Les coordonnées du barycentre G de  u plan, soientet ; i ; d A AB B a xb x a yb y A B A B ab≠0 x= y= (A;a) , (B;b) avecsont: G et G . ab ab a zb z A B Dans le cas d'un repère de l'espace, on aurait la cote z égalant. ab

Remarque: Pour a = b = 1, G est l'isobarycentre de A et B, c'est-à-dire le milieu de [AB]. On retrouve les xx yy A B A B x= y= coordonnées connues du milieu I de [AB] I et I . 2 2

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II) Barycentrede trois points et plus:

1) Définitionet extension des propriétés:

Les définitions et propriétés précédentes s'étendent au cas de 3 points ou plus. Soient (A ; a), (B ; b)et (C;c) trois points massifs tels que a + b + c soit non nul.  a GAb GBc GC=0 Il existe un unique point du plan, noté G tel que. Ce point G est appelébarycentredespoints massifs ou pondérés(A ; a) , (B ; b) et (C;c).

abc≠0 Soit G le barycentre de (A;a), (B;b) et (C;c) où. Pour tout point M du plan ou de l'espace, a MAb MBc MC=abcMG .

Démonstration:   = On a les équivalences suivantes: G est le barycentre de (A;a), (B;b) et (C;c). D'où b GBc GCa GA0 . =  =  =  Or GA GMMA , GB GMMB et GC GMMC .  a GAb GBc GC=a GMa MAb GMb MBc GMc MC=0 D'où a MAb MBc MC=abcMG Donc .

abc≠0 Soient a, b et c troisréels telsque etG un point du plan. G est le barycentre de (A;a), (B;b) et b c AG=ABAC (C;c) si et seulement si. abc abc

Démonstration:remplaçons M par A dans la propriété précédente.

Remarque: Si c est nul, alors G est le barycentre des points pondérés (A;a) et (B;b). On en déduit les coordonnées de G dans un repère du plan( ou de l'espace): a xb xc x a yb yc y A B C A B C x= y= G et G . abc abc

L'isobarycentre de trois points A, B et C non alignés est le centre de gravité du triangle ABC.

  a GAa GBa GC=0GAGBGC=0 Démonstration:à ce que équivaut. Par suite, G est bien le centre de gravité du triangle ABC. Exemple: ABC est un triangle. Construire le barycentre G de (A;2), (B;1) et (C;1).

2) Associativitédu barycentre:

On ne change pas le barycentre de plusieurs points enremplaçant certains d'entre eux par leur barycentre affecté de la somme non nulle des coefficients correspondants.

ab≠0 En d'autre termes, si barycentre de (A;a), (B;b).

, le barycentre de (A;a), (B;b),(C;c) est aussi celui de (G 1 ;a + b), (C;c) où G 1 est le

Démonstration:  abc≠0 a GAb GBc GC=0 Si ,le barycentre G de (A;a),(B;b) et (C;c) est défini par(1). ab≠0 a GAb GB=abG G Si , 1 où G1 est le barycentre de (A;a), (B;b). En remplaçant dans (1), on  abG Gc GC=0abc≠0 obtient 1 . Par suite, G est le barycentre de (G, où 1 ;a+b), (C;c).

Exemple: Placer G barycentre de(A;2), (B;1) et (C;1).

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