Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

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Conditionnement et indépendance
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Mathématiques

Activité d'approche:

Ch...: Conditionnement et indépendance

On tire successivement et sans remise 2 boules d'une urne contenant 2 blanches et 3 noires.

TS

1) Donnerles probabilités de tirer 1 boule blanche et 1 boule noire à l'issue du premier tirage et les noter sur un arbre de probabilités. 2) Lorsdu second tirage, combien de situations devons-nous envisager? Les traiter et les représenter sur l'arbre en indiquant les probabilités correspondantes. 3) Quelleest la probabilité de piocher une boule noire sachant que l'on a déjà piocher une boule blanche? 4) Calculerla probabilité de piocher deux boules noires.

Aide:Dans un arbre pondéré, la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités de chacune de branches du chemin ............................................................................................................................................................................................................................

I) Probabilitéd'un événement A sachant l'évènement B:

a) Définition:

On note la probabilitnement B par: pA . Elle se note parfois  /  . é p d'un événement A sachant l'évè B p A B On l'appelle probabilité conditionnelle de l'évènement A sous la condition B et se calculer par la formule: pB∩A pA= avec pB≠0 . B pB nombre de casfavorables àB∩A Dans un cas d'équiprobabilité, on aura: pA= . B nombre decas favorablesà B

Exemple 1: Traiter l'exercice E page 401.

Exemple 2: On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules d'une urne contenant 5 boules rouges et 3 boules jaunes. Les boules sont supposées indiscernables au toucher. Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges? ............................................................................................................................................................................................................................

b) Propriétés:

● Pour tout événement B, 0pA1 et pApA=1 B B B ● pA=1 et pA=0 . A A

La probabilité conditionnelle p est une nouve A lle probabilité sur l'ensemble  pour laquelle l'évènement A est devenu certain puisqu'il est réalisé; A devenu impossible.

Cette probabilité est induite par la connaissance de renseignements supplémentaires par rapport à l'expérience aléatoire initiale: on sait que l'évènement A est réalisé.

La somme des probabilités sur les branches qui partent d'un même nœud vaut toujours 1. pA∩B=pA×pB ou encore pB×pA . AB

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II) Formules des probabilités totales:

a) Partition:

Soit E un ensemble non vide et n un entier naturel tel que n2 . Définition: Les sous-ensembles A 1 , A 2 , ... , A n forment une partition de E lorsque: } , ≠∅ ➢ Pour tout i∈{1,2,... A , n i , A A=∅ (disjonction des sous ensembles 2 à 2) ➢ Pour tous i et j , avec i≠j , de {1,2,..., n} i ∩ ➢ A∪A∪...∪A=E . 1 2n

E A 2 A 3 A A 5 1 A 4

Remarque:Si A est un sous-ensemble non vide de E, alors A et A constituent une partition de E.

Exemples: A={2,3,6}, A={1}, A={4,5} forment une partition de l'ensemble E={1,2 ,3 ,4 ,5,6} . 1 23 Les intervalles[ p ; p1 [ avec p∈{0,1,... ,9} forment une partition de l'intervalle [0;10]. Les intervalles [p ;p1] avec p∈{0,1,... ,9} ne forment pas une partition de l'intervalle [0 ; 10] car ils ne sont pas deux à deux disjoints.

b) Formule des probabilités totales:

Définition: Soient A 1 , A 2 , ... , A n n évènements formant une partition de E. Alors, pour tout événement B, pB=pA∩BpA∩B...pA∩B=pA×pBpA×pB..A 1 2n1A 1 2A 2 .p n ×pB . A n E Démonstration: Les évènements A∩B ; A∩B ,..., A∩B sont deux à 1 2n A deux incompatibles et leur réunion est A. D'où la formule ci-dessus. 1 A 2 B A n

Exemple: Deux urnes contiennentchacune cinq boules indiscernables au toucher: 1 boule rouge et 4 boules bleues dans l'urne A; 3 boules rouges et 2 bleues dans l'urne B. Un joueur lance un dé cubique parfaitement équilibré. S'il obtient 1,2,3 ou 4, il tire une boule dans l'urne A. S'il obtient 5 ou 6, il tire une boule dans l'urne B. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge? ............................................................................................................................................................................................................................

c) Exemple d'utilisation d'un arbre de probabilité: Dans un lycée, 45% des élèves sont des filles, 55% sont des garçons. Parmi les filles, 30% sont internes et 70% sont externes. Parmi des garçons, 60% sont internes et 40% sont externes.

On tire au hasard une fiche dans le fichier de tous les élèves du lycée, et on note le résultat obtenu, qui peut être « fille interne » , « fille externe », « garçon interne », « garçon externe ».

On peut représenter cette situation par un arbre de probabilité (ou arbre pondéré):

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Soient les évènements suivants: 0,7 E F: « l'élève est une fille » 0,45 F 0,3 I G: « l'élève est un garçon » E 0,4 E: « l'élève est externe » G 0,55 I: « l'élève est interne » 0,6 I On a pF=0,45 et pG=0,55 . Sur les branches suivantes, on note les probabilités de chacun des évènements E et I sachant F ou sachant G. Par exemple, puisque 70% des filles sont externes, on peut noter pE=0,7 sur la branche reliant F à E. F

Utilisation d'un arbre de probabilité: ➢ La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud est égale à 1. (loi des nœuds) ➢ La probabilité d'un « chemin » est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche du chemin. ➢ La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à A. Ici la probabilité de choisir une fille externe est: pE∩F=pF×pE=0,45×0,7=0,315 . F La probabilité de choisir un élève externe est: pE=pF×pEpG×pE=0,45×0,70,55×0,4=0,535 (application de la formule des probabilités F G totales)

III) Indépendance:

a) Événements indépendants:

Définition: Deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si pA∩B=pA×pB . A et B sont indépendant (de probabilité non nulle) si et seulement si pB=pB⇔pA=pA A B

Démonstration: Si A et B sont indépendants et de probabilité non nulles, alors: pB∩ApA×pB pB= = =pB de même pour pA . A B pApA

Cela signifie que deux évènements sont indépendants lorsque l'un des évènements est réalisé sans avoir d'influence sur la probabilité que l'autre événement se réalise.

Remarques: ➢ La relation pA×p tandis que la relation ∩B=pA B A est toujours vraie pA∩B=pA×pB n'est vraie que si A et B sont indépendants. ➢ Si A et B sont deux évènements incompatibles avec pA≠0 et pB≠0 , alors ils ne sont pas indépendants car pA∩B=0 et pA×pB≠0 .

Exemple: On lance deux fois un dé tétraédrique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 4, et on note dans l'ordre d'apparition les numéros des faces obtenues. On modélise cette expérience aléatoire à l'aide d'une loi équirépartie sur l'ensemble des 16 résultats possibles: pour 1 tous entiers i et j de {1,2 ,3 ,4} , on a pi ; j= . 16 On considère les évènements suivants: D: « on obtient deux numéros identiques » I: « les premier résultat est impair » A: « le premier lancé a donné 3 » B: « la somme des deux résultats est au moins égale à 7 » 1. Lesévènements D et I sont-ils indépendants? 2. Mêmequestion avec les évènements A et B.

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b) Variables aléatoires indépendantes:

Soit X et Y deux variables aléatoires définie sur un univers  . On note x x..., x les valeurs prises par X et y ,y ,..., y celles prises par Y. 1, 2,n1 2m

Définition: Les variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si, pour tout i∈{1,2,..., n} et pour tout ènements X=x et Y=y sont indép j∈{1,2,..., m} , les év i i  endants, autrement dit, PX=x∩Y=y=PX=x×pY=y i i

Remarque: Il est très fastidieux de montrer que deux variables aléatoires X et Y prenant respectivement n valeurs x et m i valeurs y sont indépendantes puisqu'il faut faire n×m vérifications. En revanche, pour prouver qu'elles ne sont pas indépendantes, un contre-exemple suffit, c'est-à-dire qu'il suffit de trouver x et y tel que PX=x∩Y=y≠PX=x×pY=y . i ij ij

Exemple: On lance deux dés à six faces parfaitement équilibrés et on note X et Y respectivement la somme et le produit des résultats obtenus. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? ............................................................................................................................................................................................................................

c) Expériences indépendantes:

Définition: Des expériences aléatoires sont dites indépendantes lorsque le résultat de l'une n' a aucune influence sur le déroulement des autres.

Exemples: On dispose d'une urne dans laquelle sont placées cinq boules indiscernables au toucher, trois rouges et deux bleues.

Si l'on procède successivement à deux tirages avec remise, c'est-à-direque la première boule tirée est replacée dans l'urne avant le second tirage, on réalise deux expériences indépendantes: quel que soit le résultat du second tirage, le second est fait dans les conditions identiques, en ayant soin de bien mélanger les boules avant le second tirage.

Si l'on procède successivement à deux tirages sans remise, les expériences ne sont plus indépendantes: l'abscence du second tirage de la première boule tirée en modifie les conditions.

Propriété (admise): Pour des expériences indépendantes, la probabilité de la liste des résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.

Exemple: On lance n fois une pièce de monnaieéquilibrée. Quelle est la probabilité de l'évènement A: « on obtient au moins une fois pile »?

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