Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale
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Equations différentielles part2
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Langue Français

Exrait

y '=ayb Ch...: Équations différentielles(2)
y '=ay ; a∈ℝ I) Équations*: (rappel)
Théorème(existence déjà démontré dans (1) ): ax x Si a désigne un réel non nul, les solutions de l'équation différentiellesont les f y '=ayonctionsfk=kec∈ℝ .
Démonstration: ax fx=ke Soitk, dérivable sur IR comme composée de fonctions dérivables et, ax ∀ ∈ℝ =x=a fxx ,f 'kkx aef 'k k. <=> fy '=ayfy '=ay La fonctionk. On dit quevérifie la relationkest la solution de l'équation différentielle.
y '=ay Soit g une fonction dérivable sur IR et solution de l'équation différentielle. a x x=gx×e Introduisons la fonctiontelle que. Cette fonction est dérivable sur IR comme produit de deux fonctionsdérivables sur IR et a xa x 'x=g 'xegx×−aea x 'x=e[g 'xgx×−a] a x 'x=eg 'x−a gx y '=ayg 'x=a gxOr g est une solution de l'équation différentielledonc . ax ax 'x=0⇔ x=kk∈ℝk=gxegx=ke Donc ,. D'où,alors . ax y '=ayfx=ke Donc l'ensemble des solutions de l'équation différentielleest l'ensemble des fonctionskc∈ℝ .
y '=ayba∈ℝ II) Équations:où *: Remarque:si b = 0, on retrouve le cas particulier précédent.
Théorème: a0y '=ayb Si a et b désignent des réels tels que, les solutions de l'équation différentiellesont les axb fx=kefonctionsk. a
Démonstration: axbax fx=ke'f fx=c ae Soitk. La fonctionkest dérivable sur IR (idem que I)) etk(#). a axb ax ax a fxb=a[ce− ]ba fxb=ca cebb=c ae D'autre part,k<=>k. De (#), a f 'x=a fxb fy '=ayb k k. La fonctionk.est donc une solution de l'équation différentielle Est-ce la seule? y '=ayb Unicité: Soit g une solution de l'équation différentielle. b x=gx'x=g 'xIntroduisons doncest dérivable et. a 'x=a gxb y '=aybb Or, g est solution de l'équation différentielle, donc<=> 'x=a[  x− ]b a 'x=a x−bb'x=a xy '=ay donc .Donc estsolution de l'équation différentielle. ax y '=ayfx=ke Or l'ensemble des solutions de l'équation différentielleest une fonctionk. ax x=ke Donc . baxb gx= x−gx=ke=> Donc<=> . a a
T.Pautrel -Cousr: Equations différentielles (2)- niveauTS
Exemple: y '7y=−1 a) Résoudre l'équation différentielle: y '=−7y1 Réponse:donc a = -7 (non nul)et b = -1. f L'ensemble des solutions de l'équation différentielle est l'ensemble des fonctionsktelles que 7x1 fx=kek. 7 b) Combien cette équation différentielle admet-elle de solutions vérifiant la contrainte y(0) = 4 ? Réponse: 7×01 29 f0=4ke− =4k= k. .Il y a donc unicité de la valeur k. 7 7 Cette équation différentielle admet une seule solution vérifiant la condition initiale y(0) = 4. C'est la fonction 297x1 fx=e. 7 7
Propriété: x ;yy '=ayba0Pour tout couple0 0admet une unique solution telle que, l'équation différentielle yx=y 0 0.
Démonstration: axb y '=ayba0yx=kex L'équation différentielleadmet pour solution généralekla. On donne à a ax0b xyx=kevaleur d'où. 00 a ax0bax0b yx=yke− =y ke=yOr0 0=>0donc0. a a b1bax k=y0 ×k=y ×e Ainsi,ax<=>0. (Unicité de la valeur de k). aa e ba x0axbbaxx0b fx= y e efx=y eLa solution est donc0<=>0. [ ] a aa a
Ex 20 p 51(hyperbole 2006 TS)
T.Pautrel -Cousr: Equations différentielles (2)- niveauTS
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