Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Tpautrel

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Equations différentielles part2
Cours, Chapitre en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

y '=ayb Ch...: Équations différentielles(2)

y '=ay ; a∈ℝ I) Équations*: (rappel)

Théorème(existence déjà démontré dans (1) ): ax x Si a désigne un réel non nul, les solutions de l'équation différentiellesont les f y '=ay onctions f k =ke où c∈ℝ .

Démonstration: ax ● fx=ke Soit k , dérivable sur IR comme composée de fonctions dérivables et, ax ∀ ∈ℝ = x=a fx x ,f ' k kx ae f ' k k . <=> f y '=ay f y '=ay La fonction k . On dit quevérifie la relation k est la solution de l'équation différentielle.

● y '=ay Soit g une fonction dérivable sur IR et solution de l'équation différentielle. −a x  x=gx×e Introduisons la fonctiontelle que. Cette fonction est dérivable sur IR comme produit de deux fonctionsdérivables sur IR et −a x−a x 'x=g 'xegx×−ae −a x 'x=e[g 'xgx×−a] −a x 'x=eg 'x−a gx y '=ay g 'x=a gx Or g est une solution de l'équation différentielledonc . −ax ax 'x=0⇔ x=k k∈ℝ k=gxegx=ke Donc ,. D'où,alors . ax y '=ay fx=ke Donc l'ensemble des solutions de l'équation différentielleest l'ensemble des fonctions k où c∈ℝ .

y '=ayb a∈ℝ II) Équations:où *: Remarque:si b = 0, on retrouve le cas particulier précédent.

Théorème: a≠0y '=ayb Si a et b désignent des réels tels que, les solutions de l'équation différentiellesont les ax b fx=ke− fonctions k . a

Démonstration: ax b ax ● fx=ke− ' f f x=c ae Soit k . La fonction k est dérivable sur IR (idem que I)) et k (#). a ax b ax ax a fxb=a[ce− ]b a fxb=ca ce−bb=c ae D'autre part, k <=> k . De (#), a f 'x=a fxb f y '=ayb k k . La fonction k .est donc une solution de l'équation différentielle Est-ce la seule? ● y '=ayb Unicité: Soit g une solution de l'équation différentielle. b x=gx  'x=g 'x Introduisons doncest dérivable et. a 'x=a gxb y '=ayb b Or, g est solution de l'équation différentielle, donc<=> 'x=a[  x− ]b a 'x=a x−bb 'x=a x  y '=ay donc .Donc estsolution de l'équation différentielle. ax y '=ay fx=ke Or l'ensemble des solutions de l'équation différentielleest une fonction k . ax x=ke Donc . b ax b gx= x−gx=ke− => Donc<=> . a a

T.Pautrel -Cousr: Equations différentielles (2)- niveauTS

Exemple: y '7y=−1 a) Résoudre l'équation différentielle: y '=−7y−1 Réponse:donc a = -7 (non nul)et b = -1. f L'ensemble des solutions de l'équation différentielle est l'ensemble des fonctions k telles que −7x 1 fx=ke− k . 7 b) Combien cette équation différentielle admet-elle de solutions vérifiant la contrainte y(0) = 4 ? Réponse: −7×0 1 29 f0=4⇔ke− =4k= k . .Il y a donc unicité de la valeur k. 7 7 Cette équation différentielle admet une seule solution vérifiant la condition initiale y(0) = 4. C'est la fonction 29 −7x 1 fx=e− . 7 7

Propriété: x ;y y '=ayba≠0 Pour tout couple 0 0 admet une unique solution telle que, l'équation différentielle yx=y 0 0 .

Démonstration: ax b y '=ayba≠0 yx=ke− x L'équation différentielleadmet pour solution générale k la. On donne à a ax 0 b x yx=ke− valeur d'où. 0 0 a ax 0 b ax 0 b yx=y ke− =y ke=y Or 0 0 => 0 donc 0 . a a b1 b −ax k=y 0  × k=y ×e Ainsi, ax <=> 0 . (Unicité de la valeur de k). a a e b −a x 0 ax b b ax−x 0  b fx= y e e− fx=y e− La solution est donc 0 <=> 0 . [ ] a a a a

Ex 20 p 51(hyperbole 2006 TS)

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