Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

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Langage et raisonnements
Cours, Chapitre en Mathématiques (2010) pour Terminale S

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Extrait

Mathématiques

I) Ensembles 1. Appartenant,inclusion:

Langage et raisonnement

TS approfondissement

x∈E Soit E unensembleet x unélément.de E: on note donc Soit P(x) une propriété dépendant d'un élément x de E. On note l'ensemble des éléments de E vérifiant cette {x∈E , Px} propriété P sous la forme:. La lettre x est appelée variable muette, on peut donc la remplacer par n'importe quelle autre lettre.

Unepartiede E (ousous-ensemble) est un ensemble dont tous les éléments appartiennent à E. Si A et B sont des parties de E, on dit que A est inclus dans B si et seulement si tout élément de A est élément de A⊂B P(E) . B, on note. L'ensemble des parties de E est noté Remarques: E∈PE ∅∈PEPE={∅,{a},{b}, E} , ;si E = {a,b} alors. Les différents ensembles à connaître: ℂ : ensemble des nombres complexes ℝ : ensemble des nombres réels ℚ : ensemble des nombres rationnels ℤ : ensemble des nombres entiersrelatifs ℕ : ensemble des nombres entiers naturels ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ Où {x∈ℝ, x0} Exemple: Quel(s) intervalle(s) désigne l'ensemble E?  5 Et -2 appartiennent-ils à E ? 2. Union,intersection, complémentarité, produit: a) Intersection: Soit E un ensemble, A et B des parties de E. L'intersectionde A et B est la partie de E formée des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B, notée: A∩B={x∈E , x∈A et x∈B} [0,1]∩[1,2] Exemple: Que vaut? b) Réunion: Laréunionde A et B est la partie de E formée des éléments qui appartiennent à au moins une des deux parties A∪B={x∈E , x∈A ou x∈B} A, B notée. [0,1]∪[1,2] Exemple: Quel est l'intervallerésultant de?

c) La complémentarité:

C E A Le complémentaire de A est la partie de E formée des éléments qui n'appartiennent pas à A, notéeou E – A A={x∈E ,x∉A} A∪B=A∪B A∩B=A∩B ou .On aet . C ℝ ∞ Exemple: Que vaut[0; [?

d) Le produit:

E×F x , y x y Le produit des ensembles E et F est l'ensembledes couplesoù appartientà E età F. E×E×...×E x x..., x Le produit des ensembles E 1 , E 2 , 1 2n 1, 2,n x 1 ..., En est l'ensembledes n-upletsoù appartient à E 1 , ..., x n appartient à E n . x , y∈ℕ×R Exemple: Que signifie?

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II) Lespropositions:

Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique qui a une et une seule valeur: vrai ou faux. Lorsque l'on énonce une proposition sans autre précision, on affirme qu'elle est vraie. x0x0 Lorsqu'il est écrit « on a», cela signifie que «» est vrai. « On suppose P » signifie que « on suppose P vrai ».

III) Lesquantificateurs:

1. Quantificateuruniversel:

∀ Le quantificateur « pour tout » ou quel que soit est noté; ∀x∈E ,Px signifie: « pour tout élément x de E, P(x) est vraie ».

Pour démontrer qu'un énoncé universellement quantifié estvrai,il faut faire unedémonstration. ➢ ➢ Pour démontrer qu'un énoncé universellement quantifié estfaux, il suffit de trouver uncontre-exemple.

Exemples: Dites si chacune des propositions suivantes sont vraies ou fausse en justifiant. 3x−10 2 ∀x≠4,= 3 P 1 : x−4x−4 ∀x∈ℝ, x²4x2 P 2 : si, alors.

2. Quantificateurexistentiel:

∃ Le quantificateur « il existe » (au moins un) est noté; ∃! Le quantificateur « il existe un et un seul » est noté; ∃x∈E ,Px signifie « Il existe un élément x de E pour lequel P(x) est vraie ».

Pour démontrer qu'un énoncé quantifié à partir d'un quantificateur existentiel estvrai, il suffit detrouver ➢ un exemple. Pour démontrer qu'il est faux, il faut le démontrer. ➢

Exemples: Dites si chacune des propositions suivantes sont vraies ou fausse en justifiant. ∃x∈ℝ, x²=−2x3 P 1 : n P 2 : ∃! x∈ℕ,44n1 L'ordre des quantificateurs est important!! P :∀n∈ℕ,∃p∈ℕ, p=2n : ici P 1 est vraie 1 P :∃p∈ℕ,∀n∈ℕ, p=2n : ici P 2 est fausse 2 Explications:P 1 est vraie car pour tout entier naturel n, le nombre 2n est un entier naturel. P 2 est fausse car elle signifie tous les entiers naturels pairs sont égaux au même entier.

IV) Négation: La négation de la proposition P (ou contraire de P) est la proposition, notée non P, qui est vraie si et seulement si P est fausse. A retenir: Soient A et B deux propositions La négation de« A ou B »est« non A et non B ». La négation de« A et B »est« non A ou non B ». La négation de« Si A... alors B »est« A et non B ». ➢ ∃x∈E , Px∀x∈E ,non Px La négation deest ➢ ∀x∈PE ,x∃x∈E ,non Px La négation deest

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Exemples: Donner les négations des propositions suivantes

Proposition Dans le plan les droites D et D' sont parallèles x≠1 x∈ℕ x3 x7 ou x∈I∪J Pour I et J intervalles, Tout entier naturel est pair ou impair Si ABCD est un losange, alors il est un parallélogramme Si le carré de x vaut 1, alors x = -1 ou x = 1

Négation

∀x∈E ,∃y∈PF ,x , y Si Eet F sont des ensembles et P une proposition, la négation deest ∃x∈E ,∀y∈F ,non Px , y ∀x∈ℝ,∃y∈ℕ, xy ∃x∈ℝ,∀y∈ℕ, xy Remarque: La propositionest fausse car son contraireest vrai.

V) Méthodede raisonnement:

1. Utilisationdes implications:

Principe:Pour démontrer que la proposition Q est vraie, on peut utiliser la règle: P⇒Q « Si P est vrai et si l'implicationest vraie, alors Q est vraie » Une implication estfaussedans le cas ouP est vraie et Q est fausse, sinon elle estvraie. La condition P est unecondition suffisantede Q et Q est unecondition nécessairede P.

Exemples: Dites si les implications si dessous sont vraies ou fausses en justifiant.

Implication Vraiou faux x=3⇒x²=9 ABCD rectangle⇒AC=BC AC⊥BD⇒ABCD losange ABCD carré⇒ABCD losange ABC triangle rectangle en A => AB² + AC² = BC² Important! Dans certains cas lorsque l'implication P => Q est vraie, l'implication Q => P est vraie également. On dit que les propositions P et Q sontéquivalenteset on noteP <=> Q. On énonce alors le théorème sous la forme: « P si et seulement si Q ». Une équivalence estvraielorsque P et Q sontvraies en même tempsou lorsqu'elles sontfaussesenmême temps. Une équivalence estfaussequand l'une des conditions estvraieet l'autrefausse. On dira que Q => P est laréciproquede P = > Q . Lorsque P <=> Q, P est unecondition nécessaire et ➢ suffisante de Q (CNS).

Exemples: Dire si les implications ci-dessus sont réciproques

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2. Raisonnementpar la contraposée:

Lacontraposéede l'implication P => Q est la propositionnon Q <=> non P. Pour démontrer l'implication P => Q, on peut essayer de démontrer la contraposée non Q => non P qui est parfois plus simple.

Exemple: démontrer que si le carré d'un entier naturel n est pair, alors n est pair.

3. Raisonnementpar l'absurde:

Le raisonnement par l'absurde consiste à prendre commehypothèse la négationde la propriété à démontrer et à en déduire unecontradiction.

Exemple: Démontrer l'irrationalité de  2 .

4. Raisonnementpar disjonction des cas:

Pour démontrer P => Q, on étudie tous les cas possibles pouvant se présenter afin de pouvoir conclure.

∀x∈ℕ, Exemple: Démontrer que

nn1 est pair.

5. Leraisonnement par récurrence:

Soit P(n) une proposition dépendant d'un entier n, définie pour tout n supérieur ou égal à un entier x 0 . Méthode: Si on établit: ➢ Pn 0 vraie(initialisation) ➢ nn Pn⇒Pn1 Pour tout 0, (hérédité) nn Alors, P(n) est vraie pour tout 0 .

Variante: Si on établit: ➢ Pn Pn1 et vraies; 0 0 ➢ nn1,Pn−1et Pn⇒Pn1 Pour tout 0 nn Alors, P(n) est vraie pour tout 0 .

n Pn:2n Exemple: Soit n un entier positif non nul et. 1 21 P(1) est vraie car Soit n un entier supérieur ou égal à 1. Supposons P(n) (hypothèse de récurrence), alors: n1n 2=2×22n 2nn1 n1 Puis car. n1   D'où: 2n1 . P(n+1) est vraie. n ∀n∈ℕ 2n Conclusion:*, .

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