Cours, Chapitre de Mathématiques de niveau Terminale

Tcheordukian

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La fonction exponentielle
Cours, Chapitre en Mathématiques (2012) pour Terminale ES

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Extrait

FONCTION EXPONENTIELLE (Bis)

Correction des exercices

p154 n° 19 a) On applique aux deux membres de l'inégalité la fonction ln , strictement −x+ 1 croissante, donc: ln ( e ) nl ≥ ( 1 ) . X Or par définition de l'exponentielle, on a pour tout réel X, ln ( e ) =Xetln ( 1 ) = 0. Ainsi −x + 1 ≥ 0 ⇔ 1 ≥ x, doncS= ] − ∞; 1 ] b)L'exponentielle étant une fonstion strictement positive, l'inégalité b) est toujours réalisée, doncS=ℝ. c) Même méthode qu'au a): c) x− 2 ⇔ln ( e ) ≤ nl ( 2 ) ⇔x − 2 ≤ ln ( 2 ) ⇔x ≤ 2 + ln ( 2 ) , doncS= ] − ∞; 2 + ln ( 2 )] x−+ 4 x+ 1 3 d)⇔ln ( e ) nl ≥ ( e ) ⇔x− + 4 ≥ x+ 1⇔2x ≥ − 3⇔x, donc ≥ − 2 3 S= [ − ; + ∞ [ 2

p154 n° 21 1 1 −x−x 1 2 2 a)⇔ 4 ≥ e⇔ln ( 4 ) nl ≥ e⇔ln ( 4 ) ≥ − x⇔− 2ln ( 4 ) ≤ x, car on a 2 multiplié les deux membres de l'inégalité par -2 <0. DoncS= [ − 2ln ( 4 ) ; + ∞ [ − 0.03x+ 0.1 b)⇔ln ( e ) ln ≥ ( 1.5 ) ⇔− 0.03x + 0.1 ≥ ln ( 1.5 ) ⇔− 0.03x ≥ − 0.1 + ln ( 1. 0.1 − ln ( 1.5 ) doncS= ] − ∞; ] 0.03 − 0.01x ln ( 0.05 ) c)⇔ln ( e ) < ln ( 0.05 ) ⇔− 0.01x< ln ( 0.05 ) ⇔x> −⇔x 100×l > − 0.01 doncS= ] − 100×ln ( 0.05 ) ; + ∞ [ −x− 2+ 4 d)⇔ln ( e ) nl ≤ ( 10 ) ⇔−x− 2ln + 4 ≤ ( 10 ) ⇔4 + 2ln ( 10 ) ≥ x, donc S= [ 4 + 2ln ( 10 ) ∞; + [

p154 n° 22 2x x2 Remarquons tout d'abord quee= ( e ) , d'après la dernière formule du §.I.5 (propriétés algébriques). x2 On poseX=e, donc X > 0.L'équation E(x) = 0 s'écrit alors 2X+ 9X− 5 = 0, 2 équation du second degré de discriminant Δ = 9 − 4×2× ( − 5 ) = 81 + 40 = 121 > 0. − 9 − 11 − 20 E(x)=0 admet donc deux racines distinctesX= = 5 et= − 1 4 4

1

− 9 + 11 2 1 X= .= = 2 4 4 2 La solutionXest à exclure carX< 0. 1 1 1 x 1 x 1 DoncX=⇔e=⇔ln ( e ) = ln⇔x= − ln ( 2 ) .D'oùS= { − ln ( 2 )} . 2 2 2 2 Factorisation:Le polynôme 2X+ 9X− 5 se factorise sous la forme 2 1 a ( X−X )( X−X ) , d'où 2X+ 9X− 5 = 2 ( X+ 5 ) Xen remplaçant x− puis 1 2 2 x x x 1 pare, il vientE ( x ) = 2 ( e+ 5 ) e− . 2 x Etude du signe: On étudie le signe de chaque facteur:ex, donc> 0 pour tout réel x e+ 5 > 0. x 1 Pour étudier le signe deeon résoud− , 2 x 1 x 1 x 1 e− > 0⇔e>⇔ln ( e ) >ln⇔xln> − ( 2 ) . 2 2 2

x

x 2 ( e+ 5 )

x 1 e− 2

E(x)

− ∞

+

−

−

−ln ( 2 )

O

O

+

+

+

+ ∞

p154 n° 24 x On poseX=e, donc X > 0. 2x x2x x a)e−e= 0⇔X−X= 0⇔X ( X− 1 ) = 0⇔X= 0ouX= 1⇔e= 0oue car l'exponentielle étant une fonction strictement positive ne s'annule jamais. x x Ete= 1⇔ln ( e ) = ln ( 1 ) ⇔x= 0, doncS= { 0 } 2x2 2 e− 4 = 0⇔X= 0− 2 ⇔ ( X− 2 )( X+ 2 ) = 0⇔X= 2ouX= − 2. X2 est à exclure car X doit être strictement positif.= − x x DoncX= 2⇔e= 2⇔ln ( e ) = ln ( 2 ) ⇔x= ln ( 2 ) , d'oùS= { ln ( 2 )} x22 2 2 ( e ) = 4⇔X= 4⇔X− 2 = 0, résolue précédemment.

2

DoncS= { ln ( 2 )} b) 3x x−x3x x−x−x+ 3x−x+x2x0 e− 2e= 0⇔e ( e− 2e ) =e ×0 = 0 ⇔e− 2e= 0⇔e− 2e 2 ⇔X− 2 = 0⇔ ( X− √ 2 )( X+ √ 2 ) = 0⇔X= √ 2ouX= − √ 2.La solution X= − √ 2 est à exclure car stictement négative. Donc x x 11 X= √ 2⇔e= √ 2⇔ln ( e ) = ln ( √ 2 ) ⇔x= ln ( 2 ) , doncS= { ln ( 2 )} 22 x2x2 2e−e= 0⇔2X−X= 0⇔X ( 2 −X ) = 0⇔X= 0ouX= 2. La solutionX=Oest à exclure, donc x x X= 2⇔e= 2⇔ln ( e ) = ln ( 2 ) ⇔x= ln ( 2 ) DoncS= { ln ( 2 )}

p154 n° 25 x x x x x x2xx x 2x ( e− 7 )( 2e+ 4 ) =e ×2 e+ 4e − 7×2 e − 7×4 = 2 e+ 4e− 14e− 28 = 2e− 1 2x x x2 On poseE ( x ) = 2e− 10e− 28.AvecX=e, on résoud 2X− 10X− 28 = 0, qui 2 a pour discriminant Δ = ( − 10 ) − 4×2× ( − 28 ) = 100 + 224 = 324 et deux racines 10 − 18 8 10 + 18 distinctesX= = = − 2 etX7.= = 1 2 4 4 4 x x x DoncE ( X ) = 2 ( X+ 2 )( X− 7 ) etE ( x ) = 2 ( e+ 2 )( e− 7 ) .Pour tout réel x,e> 0, x donce+ 2 > 0. x Pour étudier le signe de ( e− 7 ) , on résoud x x x e− 7 > 0⇔e> 7⇔ln ( e ) > ln ( 7 ) ⇔x> ln ( 7 ) , d'où le tableau de signes:

x

x 2 ( e+ 2 )

x ( e− 7 )

E(x)

p154 n°26

− ∞

+

−

−

ln ( 7 )

O

O

+

+

+

+ ∞

1. On résoud P(X) = 0 , trinôme du second degré de discriminant 2 Δ = 9 − 4×2× ( − 5 ) + 40 = 121 > 0 et admet donc deux racines= 81

3

− 9 − 11 − 20 − 9 + 11 2 1 distinctesX5 et= − = = X= .= = 1 2 4 4 4 4 2 1 DoncP ( X ) = 2 ( X+ 5 ) X− = ( X+ 5 )( 2X− 1 ) 2 x x 2. Pour tout réel x,e> 0, donce+ 5 > 0. x Pour étudier les signe de 2e− 1 on résoud x x 1 x 1 2e− 1 > 0⇔e>⇔ln ( e ) > ln⇔xln> − ( 2 ) 2 2 x x 3. On veut résoudreP ( e ) > 0.On réalise le tableau de signes deP ( e ) .C'est le même que celui de l'exercice 22 doncS= ] − ln ( 2 ) ; + ∞ [

II. Constuction de la courbe repésentative de la fonction exponentielle

.1 Continuité et dérivabilité

Théorème .1.

La fonction exponentielle est continue et dérivable surℝ.Pour tout réel x x, on a ( exp ) ' ( x ) = exp ( x ) =e

Démonstration. Soit g la fonction définie par g = ln oexp On admet que g est continue et dérivable sur ℝ . Déterminons l'ensemble de définition de la fonction g: On sait que ln ( X ) existe ssi X> 0 .Or la fonction exponentielle étant strictement positive, la fonction g est donc définie pour tout réel x, donc D = ℝ . g D'autre part g est la composée de la fonction exponentielle dérivable sur ℝ à valeurs dans ] ∞0; + [ et de la fonction logarithme népérien dérivable sur ] 0; + ∞ [ .Donc par composée, g est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, on a: g' ( x )= ln '( exp ( x ))×exp '( x ) .(thm de dérivation d'une fonction composée). 11 Or ln ' ( X )= pour tout X> 0 , donc g' ( x ) '= ×exp ( x ) . X exp ( x ) Et par définition de exp ( x ) , l'expression algébrique de g se simplifie sous la forme g ( x )= ln( exp ( x ))= x et par suite g' ( x ) = 1. 1 En remplaçant dans l'égalité en bleu, il vient: ×exp '1 = ( x ) , d'où en multipliant les deux membres exp ( x ) de l'égalité par exp ( x ) , exp ( x )= exp '( x ) . x On a donc bien démontré que ( exp ) ' ( x ) = exp ( x ) = e Autrement dit, la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle!

.2 Sens de variation

Proposition .1.

4

.

La fonction exponentielle est une fonction strictement croissante surℝ

Démonstration. On vient de voir que pour tout réel x, ( exp ) ' ( x )= exp( x ) , avec exp ( x ) > 0 pour tout réel x.Donc ( exp ) ' ( x ) > 0 , pour tout réel x, ce qui signifie que exp est strictement croissante sur ℝ

.3 Limites

Théorème .2.

lim exp ( x ) = x→ + ∞

Démonstration.

+ ∞etlim exp ( x ) = 0 x→ − ∞

On sait que la courbe représentative de la fonction logarithme népérien est en-desous de chacune de ses tangentes, et en particulier de sa tangente au point d'abscisse A(1.0). (Rappel: ln ( 1 )= 0 ) Déterminons l'équation de cette tangente: 1 elle est de la forme y = a ( x−x ) +y avec a = ln '( 1 ) 1 = = .Donc y = x− 1 A A 1 Ainsi pour tout réel x> 0 , ln ( x ) ≤ x− 1 <x et on peut écrire x sous la forme x x = ln ( e ) .L'inégalité devient alors: x x pour tout réel x> 0 , ln ( x ) < ln ( e ) , ce qui est équivalent à x<e .Or limx = + ∞ , donx x→ +∞ d'après le théorème de comparaison: lim exp ( x )= + ∞ x→ +∞ x− ( −x ) 1 Pour tout réel x, e = e = . exp ( −x ) ( −x ) lim ( −x )= + ∞ et lim exp ( x ) ∞ = + ,donc lime∞ = + d'après le thm sur la limite x→ −∞X→ +∞x→ −∞ d'une fonction comosée. 1 lim exp ( x )= lim = = 0 exp ( −x ) x→ −∞x→ −∞

Exercices résolus C et D p145: à savoir refaire

.4 Tableau des variations

5

x

exp ' ( x )

exp ( x )

− ∞

−∞

+

1

+

1

e

+

.5 Courbe représentative (à savoir refaire)

+ ∞

+ ∞

lim exp ( x ) = 0, donc la droite d'équationy= 0 c'est à dire l'axe des x→ − ∞ abscisses est asymptote horizontale à la courbe de la fonction exponentielle lorsuqe x tend vers − ∞. Equation de la tangente àCau point A(0;1) exp Elle est de la formey=a ( x−x ) +y, aveca'= exp ( 0 ) = exp ( 0 ) = 1.Donc A A y=x+ 1 Equation de la tangente àCau point B(1;e) exp Elle est de la formey=b ( x−x ) +y, avecb= exp ' ( 1 ) = exp ( 1 ) =e.Donc B B y=e ( x− 1 ) +ey=ex

6

C ex p

y=x+ 1

Remarque.

A

B

y=ex

La courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction logarithme népérien sont symétrisques par rapport à la droite d'équation y=x, appelée première bissetrice du repère.

7