Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Première

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Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

Mathématiques

Devoir surveillé n°... (4h)

1ère S

Exercice 1: Restitution Organisée des Connaissances 1 u La suite u est définie pour tout entier naturel n par: u=1 et u n = n n−1 . n0 1 3 −6 La suite v est définie sur ℕ par v=4u n n15 . n n 1. Démontrerque la suite v est géométrique. Quelle est sa raison? n 2. a)Calculer v puis exprimer v en fonction de n. 0 n n 19 1 3 15 b) En déduire que pour tout entier naturel n, u=tw avec t n = × et w=n− . n nn n 4 3 2 4 1 3 c) Expliquer pourquoi la suite t est géométrique de raisonet w est arithmétique de raison. n n 3 2 T=tt...t n0 1n 3. Onpose: W=ww...w n0 1n U=uu...u n0 1n −t t 1 0 n T= n a) Démontrer que. 1 −1 3 b) Exprimer les sommesT n , W n etU n en fonction de n.

Exercice 2: Calculer une aire sous une parabole 2 L'arc de parabole ci-contre représente la fonction ƒ définie par fx=−x4 sur [ - 2 ; 2 ]. Le but de l'activité est de calculer l'aire située sous la courbe et coloriée sur la figure.

La méthode d'Archimède consiste à construire des triangles successifs et à calculer les aires de ces triangles afin d'approcher l'aire cherchée.

1. Calculerl'aire cumulée des triangles AOS et A'OS, on noteAcette aire. I' I 2. Bet B' sont les milieux respectifs de [OA] et [OA']. A partir de ces points, on construit comme l'indique la figure, les triangles AIm, SIm, A'I'm'et SI'm'. m a) Ces triangles ont une même base Im = I'm', que dire des hauteurs associées? m' 1 b) Expliquer pourquoi l'aire cumulée de ces quatre triangles est égale à A . 5 3. Onconsidère les milieux des segments [OB], [BA], [OB'] et [B'A'] et on a construit de O nouveaux triangles comme l'indique la figure ci-contre. y Expliquer pourquoi l'aire cumulée de ces huit nouveaux triangles est égale à J ' S J 1 A . 16 n I n' I ' Généralisation:A chaque étape, on ajoute donc de nouveaux triangles en suivant toujours le même procédé de construction. K' 4. Al'étape n, exprimer l'aire cumulée des nouveaux triangles en fonction deK A. p p' 1 5. Al'étape n, calculer la sommeS n des aires de tous les triangles construits. A ' A 6. Endéduire l'aire situé sous l'arc de parabole. 0 1 x B' B Exercice 3: Le tas de sable y Q Problème:On souhaite protéger par une plaque de tôle un tas de sable posé sur A le sol contre un mur.

Sur le dessin ci-dessous, (OP) représente le sol, [OQ] le mur et [PQ] la plaque posée sur le tas de sable.

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O

I

P x

  Dans un repère orthonorméourbe C ; jO ; i la cmatérialisant le tas de sable 2 a pour équation y=1−x où 0x1 .

On nomme A le point de C d'abscisse a où a appartient à l'intervalle ] 0 ; 1]. La droite (PQ) est tangente à C en A.

1. Écrireune équation de (PQ) en fonction de a. 2 a1 2. Montrerque et Q0; a²1 . P ;0   2a 3. Endéduire PQ² en fonction de a. 4 9 2 3 1 4. Soit fa=aa  où a appartient à l'intervalle ] 0 ; 1]. 2 4 2 4a a) Déterminer la limite de f(a) en 0 et l'interpréter géométriquement pour la situation étudiée. 4 a²18aa²−1 b) Montrer que f 'a= . 3 2a c)Étudier le signe de 8X²X−1 pour X appartenant à ] 0 ; 1] et en déduire le signe de f'(a) suivant les valeurs de a. 5. a)En déduire le minimum de PQ² puis celui de PQ. b) Si on dispose d'une plaque de longueur minimale, en quel point A de C devra-t-elle s'appuyer? c) De combien de façons peut-on disposer une plaque de longueur 3m?

Exercice 4: Lieu géométrique Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A(-1;-2) et B(2;1). MA Problème:On cherche à déterminer le lieu  des points M du plan tels que =2 . MB Partie A:Méthode géométrique 1. Démontrerque M∈ ⇔MA−2MB.MA2MB=0 . M∈ ⇔MI.MJ=0 2. Endéduire queoù I est le barycentre de (A;1) , (B;-2) et J le barycentre de (A;1) , (B;2). 3. Détermineret construire  . Partie B:Méthode analytique 1. Ennotant x ; y coordonnées du point M, exprimer MA et MB en fonction de x et de y.les 2. Démontrerque M appartient à  si et seulement si x²y²−6x−4y5=0 . 3. Enutilisant les formes canoniques des trinômes en x et y, déterminer et construire  .

Exercice 5: Étude d'une fonction trigonométrique − 1 Soit la fonction ƒ définie sur ] ; [ par fx= . 2 2cosx 1. Étudierla parité de ƒ.  2. Donnerle tableau de variation de ƒ sur[ 0; [. 2 −  ] ; .[ l'équat f 3. Résoudredans ion x=  2 2 2

Exercice 6: Produit scalaire ABC est un triangle rectangle en A et H est le pied de la hauteur issue de A. Démontrer à l'aide du produit scalaire que: BA²=BH×BC et AH²=HB×HC .

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