Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale

Tof

Description

Avec correction. Ds n-4 février 2012
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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• Publié par: ressources-de-terminale
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• Langue: Français

Extrait

Terminale S 3 DS de Mathématiques n° 3 17 novembre 2011
Durée : 4 heures
Exercice 1 (3 points)
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle ]0 ; ?+ [ vé?? rifiant
2xf' x ?-2x 1?+f x 8x ?=l'équation différentielle (E) : .?(?)?( ?)?(?)
1. a. Démontrer que si f est solution de (E) alors la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ;?+ [ pa?? r
f x?(?)
g x ?= est solution de l'équation différentielle (E) : y'?=2y 8 .?+?(?)
x
b. Démontrer que si h est solution de (E) alors la fonction f définie parf x ?=xh x est solution?(?) ?(?)
de (E).
2. Résoudre (E') et en déduire toutes les solutions de (E).
3. Existe-t-il une fonction f solution de l'équation différentielle (E) dont la représentation graphique
dans un repère donné passe par le point A (ln 2, 0) ? Si oui la préciser.
Exercice 2 (7 points) Liban Juin 2011
?-xSoit f la fonction définie sur 0;?+??par f x ?=x e?+. On note (C) la courbe représentative de f dans un?[ ?[ ?(?)
?r ?r
repère orthonormal(O;i,j) .
Partie A
1. Étudier les variations de la fonction f sur 0;?+??.?[ ?[
2. Déterminer la limite de f en ?+ .??
3. Montrer que (C) admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.
Partie B
On considère la suite ?(u ?)à termes positifs définie par : u = 0 et, pour tout entier naturel n non nul,1n n??1
?-un .u ?=f?(u ?)u?=e ?+n?+1 n n
1. Démontrer que, pour tout réel x positif, ln?(1?+x?)x??. On pourra étudier la fonction g définie sur
?[0;?+?[??par g?(x?)?=x ln?-?(1 x?). ?+
12. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ln?(n?+1?)ln???(n?) . ?+
n
13. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, f ln n ?=ln n ?+.?(?(?)?)?(?)
n
ln n ??u4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, ?(?) .n
5. En déduire la limite de la suite ?(u ?) .n n??1
1 1 1Dans la suite de l exercice, on admet que, pour tout entienrsupérieur ou égal à 2, u ??1 ?+ ..?+. ?+. ?+n
2 3 n?-1
k1 16. a. Démontrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2, on a : ?? dx .??k k?-1x
b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a : u ??1 ln?+?(n 1?). ?-n
7. Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a montré que ln n ??u 1??ln n?+1 . ?-?(?) ?( ?)n
?? ??unDémontrer que la suite converge vers 1.?? ??ln n?(?)n?>1
Page 1 sur 3NOM :.
Annexe à compléter et à rendre avec la copie
Prénom :.
Classe :..
Exercice 3 (5 points) Cetexerciceneconcernepaslesélèvessuivantlaspécialité
Pour chaque proposition, une seule est exacte. Encercler la bonne réponse.
Afin déliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de 0,5 points,
tandis que chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait de 0,25 point (aucune réponse : 0 point).
2A- Soient f la fonction dérivable sur 0 ;?+dé??finie par : .?] ?[ f (x)?= 2ln?-(x) 2 x?+ ?+
??1. La dérivée de f est définie par : f ?(x?)?=
2 2 22x ?-2 2x ?+2 ?-2x 2?- Aucune des trois
propositions nest correctex x x
2. L équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonctionf au point d abscisse 2 e:st
??y?=f x x 2?- f 2?+ y?=f??x x 2?- f 2?- y?=f??2 x 2?- f 2?+ y?=f 2 x 2?- f 2?+?(?)?(?)?(?) ?(?)?(?)?(?) ?(?)?(?)?(?) ?(?)?(?)?(?)
3. Le minimum de f est égal à :
Aucune des trois
1 3 0
propositions nest correcte
4. lim f x ?=?(?)
x?? 0
0 2 ?-?? ?+??
f e ?=5. ?(?)
Aucune des trois
e e?+1 e?-1
propositions nest correcte
B- Ci-dessous la courbe représentative de la fonction h dans un repère orthonormal et A l aire
exprimée en unités daire du domaine grisé :
Page 2 sur 36. a étant l abscisse du point dintersection deC avec l axe des abscisses,A est égale à :h
a 4 a 4 a 4 a 4
h(x)dx?+ h(x)dx h(x)dx?- h(x)dx ?- h(x)dx ?+h(x)dx ?- h(x)dx ?-h(x)dx?? ???? ?? ?? ?? ?? ???-1 a ?-1 a ?-1 a ?-1 a
4
7. h(x)dx est comprise entre???-1
5 et 3 3 et 1 –1 et 1 1 et 3
C- Résolutions déquations et dinéquations
2
8. ln x ?-ln x 6?-6 adm?=et dans :?(?(?) ?(?)
0 solution 1 ou 3 solutions 2 solutions 4 solutions
2 ?-x9. x e ?= 1 a?-dmet dans :
0 solution 1 solution 2 solutions 3 ou 4 solutions
1 1
x 310. e ?>e a pour solution dans :
Aucune des trois0 ; 3 ?- ;??3 ?-0 ; ?? ?+???]?[ ?] ?[?] ?[
réponses
Exercice 4. ( 5 points )
Pour chacune des 10 questions, répondre par « vrai » ou « faux », sans justification.
Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point.
Une absence de réponse ne rapporte ni nenlève aucun point.
Si le total des points de l exercice est négatif, il est ramené à 0.
u1. On considère les nombres complexes u ?=?-12 i 3 ?+ 12 , v ?=?-6 3 ?+6 i et z ?=.
v
V ou F Vou F
5 ? 7 ?
| u | = 24 et arg ( u ) ?= ?[2 ??]. | v | = 12 et arg ( v ) ?= ?[2 ??].
3 6
Si n est un entier naturel multiple de 3, 4 4z ?+z est un réel négatif.nalors u est un réel négatif.
z?=?-3 ?+ i .
?r?r
2. Le plan est muni du repère orthonormal direct ( O ; u ; v ) . A, B et C sont les points daffixes
respectives 1, 2 i et 2 3?-i ( 3?+1 ) .
V ou F Vou F
L ensemble des points M daffixe z L ensemble des points M daffixe z
vérifiant ( 2?+i ) z?+( 2?-i ) z ?= 4 est la vérifiant ( z?+2 i )( z?-2 i )?= 4 est le
droite ( AB ). cercle de centre B et de rayon 4.
Le triangle ABC est isocèle.
z ?+ 4 i
3. Désormais, on suppose z???-2 i et on pose z' ?= . On désigne par M le point daffixe z
z ?- 2 i
et M le point daffixe z . Alors :
V ou F Vou F
6 i
z' ?- 1 ?= . BM × AM = 6z ?- 2 i
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