Devoir Surveillé (DS) de Mathématiques de niveau Terminale
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Avec correction. Ds-4 février 2011
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Langue Français

Exrait

1 Terminale S3
 DSde Mathématiques n° 4 Durée: 4 heures
Exercice 1points) (5 (O;u,v) Le plan est muni d’un repère orthonormal directd’unité 1 cm.
25 Février 2010
1.Restitution organisée de connaissances W On rappelle que le pointMest l’image du pointMpar la rotationret d’angle dede centre ì WM'1 WM(1) ï uuuur uuuuur í (WM,WM'!1a#k2p,k΢(2) ï aî mesure siet seulement si :. wW a.Soientz,zet lesaffixes respectives des pointsM,Met . Traduire les relations (1) et (2) en termes de modules et d’arguments. a w b.En déduire l’expression dezen fonction dez, et. 2 z%4 3z#1610 2.Résoudre dans l’ensembledes nombres complexes l’équation :. On donnera les solutions sous forme algébrique. a12 3%2ib12 3#2i 3.SoientAetBles points d’affixes respectiveset . a.Écrire a et b sous forme exponentielle. b.Faire une figure et placer les pointsAetB. c.Montrer queOABest un triangle équilatéral. 2p c1 %8i3 4.SoitCetle point d’affixeDson image par la rotation de centreOet d’angle. d14 3#4i Placer les pointsCetD. Montrer que l’affixe du pointDest . 5.Montrer queDest l’image du pointBpar une homothétie de centreOdont on déterminera le rapport. 6.Montrer queOADest un triangle rectangle.
Exercice 2  (4 points) On donne la représentationra hi ued’une fonctiondéfinie et continue sur l’intervalle I = [−3 ; 8].
x F(x!1f(t!dt ò0 On définit la fonctionF.sur I par 1. a.Que vaut F(0) ? b. Donner le signe deF(x) : xÎ[0 ; 4] – pour; Page1sur6
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xÎ[%3 ; 0] – pour. Justifier les réponses. 6£F(4!£12 c..Faire figurer sur le graphique les éléments permettant de justifier les inégalités
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3 2. a. Que représentef pourF? b. Déterminer le sens de variation de la fonctionFsur I. Justifier la réponse à partir d’une lecture graphique des propriétés def. 3.ose de deux reOn dishi uesrésentations rasur I.
Courbe ACourbe B L’une de ces courbes peut-elle représenter la fonctionF? Justifier la réponse.
Exercice 3(4 points)
Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
PARTIE A : On définit : 1 4 n,u=u+ n+1n (u)u=13 05 5 n ao.et, pour tout entier naturelpar :la suite n nåk0 1 2n n,S=u=u+u+u+L+u (S) nk=0 bo.la suitepar : pour tout entier naturel 12 n,u=1+ n n 5 1)Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel. (u) n En déduire la limite de la suite. (S) n 2)a).Déterminer le sens de variation de la suite S n b)Calculer enfonction den. (S) n c)Déterminer la limite de la suite.
PARTIE B : (x) n Etant donné une suite, de nombres réels, définie pour tout entier natureln, on considère la suite n S=x nåk (S) nk=0  définie par. Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas.
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