Devoir Surveillé n° 6 (DS) de Mathématiques de niveau Première

Tpautrel

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N-6
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Première S

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Extrait

Mathématiques Devoirsurveillé n°6 (4H)1ère S La calculatrice est autorisée selon la législation en vigueur. La clarté du raisonnement, des explications, de la qualité de la rédaction ainsi que d'un soucis de recherche seront valorisés lors de la correction. Bon travail! Exercice 1:(7 points) 3 2 2x−3x f fx= C Soit unefonction rationnelle définie par 2 et f est sa courbe représentative dans un x−2x−3 repère orthogonal. D f 1. Déterminerl'ensemble de définitionde la fonction. a ,b ,c d x∈D 2. Montrerqu'il existe quatre réelset telsque, pour tout, on a c xd fx=a xb 2 . x−2x−3 C  C 3. Montrerque f et étudier sa position relative par rapport àadmet une asymptote oblique f . f D 4. Déterminerles limites deaux bornes de f et en déduire l'existence d'asymptotes verticales ou C horizontales à la courbe f . 2 2xx−1x−3x−9 f f'x= 5. Montrerque la dérivée de la fonctionadmet comme expression 2 2 . x−2x−3 f 'x f 6. Étudierle signe deet en déduire le tableau de variations de. Exercice 2:(3 points) 2u3 n u u=0 u= n v On considère la suite n définie par 0 et n1 pour tout entier naturelet la suite n , u n 4 u−1 n n v= définie pour tout entierpar n . u n 3 v 1. Donnerla naturede la suite n et préciser son premier terme ainsi que sa raison. v n 2. Exprimer n en fonction de. u n 3. Endéduire n .en fonction de Exercice 3:(3 points) u v n∈ℕ On considère les deux suites n et n suivantes, définies pour toutpar: n n 3×2−4n3 3×24n−3 u= v= n et n 2 2 w w=uv w 1. Soit n la suite définie par n n n . Démontrer que n est géométrique. tt=u−vt 2. Soit n la suite définie par n n n . Démontrer que n est arithmétique. 1 u= wt 3. Démontrerque n nn . 2 S=uu...u 4. Exprimerla somme suivante n n n1n en fonction de: . Exercice 4:(4,5 points) Soit ABC un triangle quelconque. m G A,2;B , mC ,−m A tout réel, on associe le point m barycentre deet . On appelle O le milieu de [BC]. m ℝ G  1. Démontrerque lorsquedécrit ,le lieude m est une droiteque vous préciserez. G G 2. a)Construire et. 2 −2 m G G G − b) On suppose queest différent de 2 et de -2. Soit m un point distinct de A, 2 et 2 . BG AC CG  AB Démontrer que m un point I et quecoupe en m un point J.coupe en A , AB , AC m 3. Dansle repère, calculer en fonction deles coordonnées de I et de J. 4. Endéduire l'alignement des points O, I et J.

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Exercice 5:(3,5 points)

a Dans le cube ABCDEFGH d'arête, on considère les points I et J tels 2 2 FI=FE FJ=FG que et, O centre du cube et Q centre du 3 3 carré EFGH. (IJ) coupe (FH) en un point K. 1 FK=FH 1. Montrerque . 3 2. Montrerque (DF) est sécante au plan (BIJ) en un point T. 3. a)Tracer en vraie grandeur la section du cube par le plan (DBF) et y placer les points O et K. Construire les points L et M tels 1 1 KL=FH BM=BD que et. 3 3 1 FT=FD b) Montrer que. 4 Exercice 6:(3,5 points) En informatique, on appelle octet une suite de huit chiffre, pris dans l'ensemble {0;1}. Par exemple, 01001110 et 10000110 sont des octets. 1. Combienpeut-on former d'octets différents? 2. Onécrit au hasard un octet. a) Calculer la probabilité des évènements A et B suivants: A: « l'octet contient 1 aux deux premières places » B: « l'octet se termine par 0 ». b) Calculer la probabilité de l'évènement A ou B.

Exercice 7:(2,5 points) Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant sur la copie. La loi de probabilité d'une variable aléatoire X est définie par le tableau suivant: x i 0 1 2 3 4 p i 0,0625 0,250,375 0,250,0625 p0X3=0,9375 1. . pX2=pX2 2. . 3. L'espérancede X est égale à 2. 4. Lavariance de X est égale à 1. 5. L'écart-typede X est égal à 0,5.

Exercice 8:(3 points)  O ; i ;j t  Soit unrepère orthonormé direct du plan. Pour tout réel, on considère A, B et C de coordonnées 24 A[1; t], B[1; t ]C[1; t ] O ; i  polaires etpar rapport à l'axe polaire. 33 costsint 1. Déterminerles coordonnées cartésiennes de A, B et C en fonction deet de. 2. Montrerque O est le centre de gravité du triangle ABC. 3. Déterminerla nature du triangle ABC.

BONUS (1 pt): ℝ Résoudre dansl'équation suivante:

2cos² x  3 cosx−3=0

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