DS de Mathématiques de niveau Terminale

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Avec correction. Ds n-4 février 2012
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2012) pour Terminale S

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Extrait

1 Terminale S3 SpécialitéDS de Mathématiques n° 4 Durée: 4 heures

23 février 2012

Exercice 1points) (3 #¥ On se propose de déterminer toutes les fonctionsfdéfinies et dérivables sur l'intervalle ]0 ;[ vérifiant 2 xf' ( x ! % ( 2x # 1 ! f ( x ! 1 8x l'équation différentielle (E) :.

#¥ 1. a.Démontrer que sif est solution de (E)alors la fonctiong[ pardéfinie sur l'intervalle ]0 ; f ( x ! g ( x ! 1 y' 1 2y # 8 x est solution de l'équation différentielle (E’) :. f ( x ! 1xh ( x ! b.Démontrer que sihest solution de (E’)alors la fonctionf définie parest solution de (E). 2.Résoudre (E')et en déduire toutes les solutions de (E). 3.Existe-t-il une fonctionf solution de l'équation différentielle (E)dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le pointA(ln 2, 0) ? Si oui la préciser. Exercice 2 (7 points) é é % x 0 ; # ¥ ê ë ê ë f x ! 1 x # e ( Soitfpar .On note (C) la courbe représentative dela fonction définie surfdans (O;i,j) un repère orthonormal.

Partie A é é 0 ; # ¥ ê ê ë ë 1.Étudier les variations de la fonctionfsur . #¥ 2.Déterminer la limite defen . 3.Montrer que (C) admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.

Partie B ( u ! n n³1 On considère la suiteà termes positifs définie par :u 1 = 0 et, pour tout entier naturelnnon nul, %u n u1f ( u ! 1u#e n n n#1 . ln ( 1 # x ! £ x 1.Démontrer que, pour tout réelxOn pourra étudier la fonctionpositif, .gdéfinie sur é é 0 ; # ¥g ( x ! 1 x % ln ( 1 # x ! ê ê ë ë par . 1 ln ( n # 1 ! £ ln ( n ! # n 2.En déduire que, pour tout entier natureln.non nul, 1 fln ( n ! 1 ln ( n ! # ( ! n 3.Démontrer que, pour tout entier natureln.non nul, ln ( n ! £u n 4.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln.non nul, ( u ! n n³1 5.En déduire la limite de la suite. 1 11 u £ 1 # # # ... # n 2 3n % Dans la suite de l’exercice, on admet que, pour tout entiern.supérieur ou égal à 2, k 1 1 £ dx k ò k % 1 x 6. a.Démontrer que, pour tout entierksupérieur ou égal à 2, on a :. u £ 1 # lnn % 1 n ( ! b.En déduire que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, on a :. Page1sur31

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ln ( n ! £ u £ 1 # lnn % 1 n ( ! 7.Pour tout entiern.supérieur ou égal à 2, on a montré que æ ö u ç n ¸ ç ln ( n ! ¸ è ø n21 Démontrer que la suiteconverge vers 1.

Exercice 3 (5 points) Cet exercice ne concerne que les élèves suivant la spécialité Dans le plan orienté, on considère un triangleABCrectangle isocèle de sommet A et de sens direct uuu uuu p ( AB,AC ! 1 2 c’est-à-dire tel que. On noteA’,B’,C’ les milieux respectifs des segments [BC], [CA], [AB]. p 2 u1BA' SoitR la rotation de centreA’etet d’angleT. la translation de vecteur f 1 RoT g 1 ToR On poseet .

f ( C ¢ ! g ( B ¢ ! 1.a) Détermineret . b) Préciser la nature et les éléments caractéristiques def et deg. %1%1 f h 1 gof 2.a) Soitla transformation réciproque def et. Quelle est la nature de la transformationh. h ( A ! b) Détermineret caractériserh. M ¢1 f ( M ! M ¢¢1 g ( M ! c) SoitMet . un point quelconque du plan. On pose M ¢ ACM Quelle est la nature du quadrilatère?

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NOM :……………….

Prénom :…………….

sse :…………… Annexe à compléter et à rendre avec la copie

Exercice 4( 5 points ) Pour chacune des 10questions, répondre par « vrai » ou « faux »,sans justification. Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à 0. u z1 u1 %12 i3#12v1 %6 3#6 i v 1..On considère les nombres complexes, et V ou FVou F 5 π 7 π arg (u )1 [ 2 π ] v )arg (1 [ 2 π ] 3 6 | u | = 24et .| v | = 12et . Si n est un entier naturel multiple de 3, 4 4 z#z est un réel négatif. n alors uest un réel négatif. z1 %3#i .

( O; u; v) 2.Le plan est muni du repère orthonormal direct. A, B et C sont les points d’affixes 2 3%i (3#1 ) respectives 1, – 2 i et. V ou FVou F L’ensemble des points M d’affixe zL’ensemble des points M d’affixe z ( 2 # i ) z # ( 2 % i ) z 1 4 ( z # 2 i )( z % 2 i ) 1 4 vérifiant estla vérifiantest le droite ( AB ).cercle de centre B et de rayon 4. 4 4 z#z Le triangle ABC est isocèle. est un réel négatif.

z#4i z'1 z ¹ % 2i z%2i 3.Désormais, on supposeet on pose. On désigne par M le point d’affixe z  etM’ le point d’affixez’. Alors : V ou FVou F 6i z'%11 BM × AM’ = 6 z%2i .

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