Fiche d'exercices de Mathématiques de niveau BTS

Kdouh

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Avec correction. Exos-proba-cond
Fiche d'exercices en Mathématiques (2010) pour BTS Génie optique

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Extrait

TP MATHEMATIQUESPROBAILITES BTS-2-GO2010-2011 Exercice 1 Dans une usine , on produit chaque jour mille pièce du même modèle .Chacune de ces pièces est susceptible De présenter un défaut A , un défaut B ou simultanément les deux défaut A et B. On admet que : · 8% des pièces présentent le défaut A ; · parmi les pièces atteintes du défaut A, 15% ont le défaut B ; · parmi les pièces non atteintes du défaut A, 5% ont le défaut B . 1°. Déterminer , parmi la production d’un jour donné , le nombre de pièces : a) présentantsimultanément le défaut A et le défaut B ; b) présentantle défaut B sans présenter le défaut A ; c) présentantle défaut B et peut-être le défaut A ; d) Neprésentant ni le défaut A, ni le défaut B. e) Représenterles données précédentes dans un tableau æ öæ ö p Ap Ap Bp B p B p B 2°. C; ; ç ¸ ; ( ! alculer la probabilité de : ( ! p ( A B ! ; ( B ! p A ; ( A ! ; ç ¸ ; ( A ! B A B A è øè ø p ( AÇB ! 3°. Construire les arbres correspondants réalisant la situation Ç =............ Ç =............ p ( A B ! p ( A B ! B A A B Ç Ç B A p ( A B ! =............ p ( A B ! =............

A

Ç ( ! =............ B p AB

Ç p ( A B ! =............ B

B

Ç p ( A B ! =............ A

Ç p ( A B ! =............ A

Exercice 2  Uneentreprise fabrique en grande quantité un certain type des composant .La probabilité qu’un  composantsoit conforme est 0, 9 1° On note C le composant est conforme » , etl’événement : « C l’événement contraire de C  Calculerla probabilité de C 2° On contrôle chaque composant . On constate que, lorsqu’un composant est conforme, il est toujours  acceptéà l’issue du contrôle ; quand un composant n’est pas conforme, il peut être néanmoins accepté 1  avecune probabilité de. On note A le composant est accepté à l’issue du contrôle »l’événement : « 11 9 1 a) Montrerque les probabilités des événements A Ç C et AÇC et .sont respectivement 10 110 1 ( ÇC ! ÈAÇC b) Enremarquant que A A ( ! , et que les événements A Ç C et AÇC sont incompatibles, déterminer la probabilité de A . c) Calculerla probabilité de C sachant que A est réalisé . Exercice 3  Unmagasin de distribution vend deux types de téléphones portables : · Des téléphones standards · Des téléphones miniatures  Ilpropose aussi deux types d’abonnements mensuels : · L’abonnement 1heure · L’abonnement 2h 30. Le service marketing effectue une enquête sur un échantillon de 2000 clients ayant acheté dans ce magasin , pendant l’année en cours , un téléphone et un seul de l’un des types vendus et ayant opté pour un seul des abonnements proposés . sur les 2000 clients interrogés , 1200 ont acheté le modèle standard . sur ces 2000 clients , 960 ont choisi «l’abonnement 1 heure » un client est pris au hasard dans l’échantillon tous les clients ont la même probabilité d’être choisis.  Onnote les événements : · S :« le client a acheté le modèle standard » ;

· M : « le client a choisi le modèle miniature » ; clients a chois · A i l’abonnement 1 heure » ;: « le 1 : « le clients a choisi l’abonnement 2 h 30 ». ·A 2  Onnote p(E probabilité d’un événement ) la E . p(A) 1° Déterminer p(S) ,p(M) et 1 A 2° a) parmi les clients qui ont choisi le modèle standard , 32% ont pris l’abonnement 1 .  Traduirecette donnée en terme de probabilité .  b)En déduire la probabilité d’avoir acquis le modèle le modèle standardet d’avoir opté pour A  l’abonnement 1 . 3. Le coût d’un téléphone standard est de 200 € et celui d’un miniature est de 600 €. A  L’abonnement A 1 revient à 34 € par mois . L’abonnement 2 revient à 80 € par mois On considère le coût total X sur un an occasionné par l’achat d’un téléphone et l’abonnement choisi, pour un client pris au hasard dans l’échantillon. a) Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de ce coût en expliquant votre  raisonnement: x 608 10081160 1560 i p(X1x ) 0,1920,288 i 4.Calculer l’espérance de cette loi et l’interpréter. Exercice 4  Unfabricant de composants électronique d’un certain modèle possède trois machines A , B et C qui  fournissent respectivement 10% ,40% et50% de la production totale de son usine .  uneétude a montré que 3, 5% des composants produits par la machine A 5% des composants produits, 1,  parla machine B , 2, 2% des composants produits par la machine C sont défectueux . 1° La production d’une journée est de 10000 unités .  Décrireà l’aide d’un tableau la situation journalière de la production  Transformerle tableau en un arbre 2° Après fabrication, les composants sont versés dans un bac commun aux trois machines . On prélève  auhasard un composant dans le bac qui contient la production d’un jour donné .Tous les composants ont  lamême probabilité d’être choisis .  a)Montrer que la probabilité que ce composant provienne de la machine C et soit défectueux est 0, 011 .  b)Calculer la probabilité que ce composant soit défectueux  c)Calculer la probabilité que ce composant provienne de la machine C , sachant qu’il est défectueux. Exercice 5 Un magasin stocke un certain produit dans des boîtes. Ces boîtes sont de 2 couleurs: rouges dans la proportion 25%, bleue dans la proportion 75%. Elles sont protégées par des cartons identiques entre eux. Chaque carton ne contient qu'une seule boîte. Certains cartons portent, en dessous et à l'extérieur, la marque M, les autres ne portent aucunemarque. On précise d'autre part que - parmi les cartons contenant une boîte rouge, 45% portent la fameuse marque M - parmi les cartons contenant une boîte bleue, 60% portent la marque M.  Onprend au hasard un carton dans le magasin. 1° On ouvre le carton tiré. On remarque qu'il contient une boîte rouge. Quelle est la probabilitép 1 que le  cartonporte la marque M? . 2° Si la boîte contenue dans le carton était bleue, quelle serait la probabilité p 2 que le carton porte la  marqueM? 3° Quelest le pourcentage de cartons qui portent la marque M?  Endéduire la probabilité p 3  qu'un carton tiré porte la marque M. 4° On n'ouvre pas le carton tiré. On remarque toutefois qu'il porte la marque M. Quelle est la probabilité p 4  quece carton marqué M contienne une boîte rouge?

Exercice 1 a) Il y a 8% des pièces qui présentent le défaut A, soit 80 pièces , 15% des pièces présentant le défaut A, 15  présententle défaut B , soit ´8001120 pièces 100  12pièces présentent simultanément le défaut A et le défaut B. 5 b) Il y a 9200 pièces qui ne présentent pas le défaut A 5% de ces pièces , c’est-à-dire ´92001460 100  présententle défaut B .46 pièces présentent le défaut B sans présenter le défaut A. c) 460#1201580 pièces présentent le défaut B et peut-être le défaut A card(AÈB)1card(A)#card(B)%card(AÇB)1800#580%12011260 d) présententle défaut A , le défaut B  oules deux défauts . 10000%126018740 ne présentent pas ni le défauts A, ni le défaut B  onpeut aussi faire des soustractions dans le tableau pour trouver le résultat précédent . A Total A B 120 460580 680 8740 9420 B Total 800 9200 10000

0,08

0,15 A 0,85

p ( Ç !  AB = 0,012 B

Ç p ( A B ! = 0,068 B

0,058

6/29 B 23/29

Ç =............ p ( A B ! A

Ç p ( A B ! =............ A

Ç Ç p AB ! =............ 0,05 ( A p AB ! = 0,046 34/471 ( B 0,942 0,92 B A Ç p ( A B ! =............ p AB ! = 0,874 A 0,95 437/471 ( Ç B Exercice 2 On note C l’événement « un composant est conforme »et C .l’événement contraire p(C)10,9 1°. , p(C)10,1 2°. On note A un composant est accepté » etl’événement « A l’événement contraire. æ ö 1 1 p A11  Ondonne p A et ( ! ç ¸ C C è ø 11 9 ( !( ! 0,9 a) p AÇC1p C´p ( A ! 1 t p ( AÇC ! 1 Soi C 10 æ ö 1 11 1 A pC pA p ( CÇ ! 1 ( ! ¸1 ´ 1´ ç , soit p ( CÇA ! 1 C 10 11110 110 è ø 9 110 Ç ( !( ! b) les événements A C et CÇA étant incompatibles : P A1p AÇC#p ( CÇA ! 1 #1 10 11011 9 p AÇC 99 ( ! 10 p C11 1 c) ( ! A p ( A ! 10 100 11 Exercice 3 0,32 A1 S 0,6 0,68 A2

Utilisons un tableau d’effectifs : S MTotal A 384 576 960 1

0,72 A1 0,4 M 0,28 A2

A 816 224 1040 2 Total 12008002000  Onest sous l’hypothèse d’équiprobabilité. En utilisant le tableau : 1200 800 960 1°. p S1 10, 6p ( M ! 1 10, 4 0, 48 p A1 1 = 0,6 ;p(M) =p(S) = 1 – 0,6 = 0,4 ; ( ! ( ! 1 2000 2000 2000 p A10,32 2. a) On a ( ! 1 S p ( AÇS ! 1p ( S ! ´p A10, 6´0,3210,192 b) 1 ( ! 1 S p ( AÇM ! 1p ( M ! ´p A10, 4´0, 7210, 288 D’après l’arbre 1 ( 1 ! . M 3. a) les valeurs prises par le coût total X sont :  608€ (200 + 12´34) ; 1008€ (600 + 12´1160 € (200 + 1234) ;´80)  et1560 € (600 + 12´80) La loi de probabilité est : x 1160 1560608 1008 i p(X1x ) 0,1920,288 0,4080,112 i p(X111601p ( AÇS ! 1p ( S ! ´p A10, 6´0, 6810, 408  avec 2 ( 2 ! S p(X11160)1p ( AÇM ! 1p ( M ! ´p A10, 4´0, 2810,112  et ( ! 2 2 M b) L’espérance est E = 608´0,192 + 1008´0,288 + 1160´0,408 + 1560´0,112 = 1055,04.  Onpeut estimer le coût annuel total d’un téléphone portable à 1055,04 €. Exercice 4 1°. A B C Total D 35 60 110205 965 39404890 9795 D Total 1000 4000 5000 10000 2°. a. On note : A : « la pièce provient de la machine A » B : « la pièce provient de la machine B » C : « la pièce provient de la machine C » D : « la pièce est défectueuse » 1000 4000 5000  Onsait que p A1= 0,1p M1 10, 4p A1 10,5 ( !( !( ! 1 10000 1000010000 110 3560 p D/C1 10, 022p D/A1 10, 035  et p D/B1 10, 015 ( !( !( ! 5000 10004000 p ( CÇD ! 1p ( C ! ´p ( D ! 10,5´0, 02210, 011 b) /C p ( AÇD ! 1p ( A ! ´p ( D ! 10,1´0, 03510, 0035 /A p ( BÇD ! 1p ( B ! ´p ( D ! 10, 4´0, 01510, 006 /B  Un composant défectueux est, soit défectueux et provient de A , soit défectueux et provient de B , ( CÇD ! ( AÇD ! ( BÇD !  soit défectueux et provient de C. Les événements; etsont incompatible 2à2. P ( D ! 1p ( DÇA ! #p ( DÇB ! #p ( DÇC ! 10, 0035#0, 006#0, 001110, 0205  D’où p CÇD 0, 0011 ( ! p ( C/D ! 1 1;0,5366 c) p ( D ! 0, 0205 Exercice 5 Rouge Bleue M 11,254556,25 13,75 3043,75 25 75 100

11, 2545 p(M45) 0,p1p(M)1 10, 6 1° p 1 1 R 1 1  et 2B 25 75 56, 25 p1p(M)1 10,5625 2° 56,25 % des cartons qui portent la marque M et 3 . 100 11, 25 p1p(R)1 10, 2 3° 4M . 56, 25