Fiche d exercices de Mathématiques de niveau BTS - probabilités conditionnelles
10 pages
Français

Fiche d'exercices de Mathématiques de niveau BTS - probabilités conditionnelles

-

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres
10 pages
Français
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Avec correction. Probabiltés conditionnelles-lois discrètes
Fiche d'exercices en Mathématiques (2010) pour BTS Génie optique

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 1 179
Langue Français

Extrait

TP Probabilités conditionnelles BTS-GO 2 2010 -2011 Exercice 1-Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 fonctionnant correctement. On note :  -Dl’évènement : « le lecteur MP3 est défectueux » ;  -Rl’évènement : « l’unité de contrôle rejette le lecteur MP3 ». 1.Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 2. a.Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.  b.On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur MP3 est rejeté alors qu’il n’est pas  défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux.  Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle. 3.Montrer que la probabilité qu’un lecteur MP3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942. Exercice 2 FF F  Une entreprise fait fabriquer des composants électroniques auprès de trois fournisseurs1,2,3.  Dans l’entreprise, tous ces composants sont regroupées dans un stock unique. F F  La moitié des composants électroniques est fabriquée par le fournisseur1, le tiers par le fournisseur2 et le reste par le fournisseurF3.Une étude statistique a montré que F  - 5% des composants électroniques fabriqués par le fournisseur1ont un défaut ; F  - 1,5 % des composants électroniques fabriqués par le fournisseur2ont un défaut ;  - sur l’ensemble du stock, 3,5 % des composants électroniques ont un défaut. 1.On prélève au hasard un composant électronique dans le stock de l’entreprise. FF F  On considère les évènements1,2,3etDsuivants : F  -F1: « un composants électronique prélevé est fabriqué par le fournisseur1» ; F F  -2: « un composants électronique prélevé est fabriqué par le fournisseur2» ; F F  -3: « un composants électronique prélevé est fabriqué par le fournisseur3» ;  -D: « un composants électronique prélevé présente un défaut ». a.Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les évènements précédents.  Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cet expérience. b.Calculer la probabilité qu’un composants électronique prélevé soit fabriquée par le fournisseurF1  et présente un défaut. FÇD c.Calculer la probabilité de l’évènement2. FÇD d.En déduire la probabilité de l’évènement3. e.Sachant qu’ un composant électronique prélevé est fabriqué par le fournisseur F3, quelle est la  probabilité qu’il présente un défaut ? 2.L’entreprise conditionne les composants électroniques par lots de six composants.  On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six composants à des  tirages indépendants, successifs avec remise. a.Calculer la probabilité que deux composants exactement d’un lot présentent un défaut ; on donnera un  résultat arrondi au millième. b.Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus un composant d’un lot présente  un défaut est égale à 0,983. 0,7 G
0,5
D
D
0,2
G
G
G
Exercice 3 - Une salle de jeu comporte deux consoles identiques proposant  le même jeu. Un jour l’une des deux est déréglée.  Les joueurs ne peuvent savoir laquelle des deux est déréglée. 1. Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l’une des deux consoles  et il joue une partie sur cette console. On note :  Dl’évènement « le joueur choisit la console déréglée »  et l’évènement contraire ;Gl’évènement « le joueur gagne D  la partie » etGl’évènement contraire. Cette situation aléatoire est  modélisée par l’arbre incomplet suivant, dans lequel figure certaines probabilités.  Ainsi, 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu’il a choisi une console déréglée. a. Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter. b. Calculer la probabilité de l’évènement « le joueur choisit la console déréglée et il gagne». c. Calculer la probabilité de l’évènement « le joueur choisit la console non déréglée et il gagne ». d. Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45. e. Calculer la probabilité que le joueur ait choisit la console déréglée sachant qu’il a gagné. 2. Trois fois successivement et de façon indépendante, un joueur choisit au hasard l’une des deux consoles  et joue une partie. Calculer la probabilité de l’évènement « le joueur gagne exactement deux fois ».  Le résultat sera donné sous forme décimale arrondie au millième. Exercice 4 Un collectionneur de pièces de monnaie a observé que ses pièces peuvent présenter au maximum deux défauts notésaetb. Il prélève au hasard une pièce dans sa collection. On noteAl’évènement : «Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défauta». On noteBl’évènement : «Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défautb». On note etles évènements contraires respectifs deAetB. A B On donne les probabilités suivantes :p A10, 2 ;p B10,1etp AÈB10, 25 . ( ! ( ! ( ! Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au centième. 1. Démontrer que la probabilité de l’évènement : « une pièce prélevée au hasard dans la collection présente  les deux défauts » est égale à 0,05. 2. Les évènementsAetBsont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 3. Démontrer que la probabilité de l’évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection ne  présente aucun des deux défauts » est égale à 0,75. 4. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défautb.  Calculer la probabilité que cette pièce présente également le défauta. 5. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défautb.  Calculer la probabilité que cette pièce présente le défauta. 6. On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la  collection est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants. a. Calculer la probabilité qu’une seule des trois pièces soit sans défaut. b. Calculer la probabilité qu’au moins une des trois pièces soit sans défaut. Exercice 5 Une boîte de chocolats contient 50 % de chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et 20 % de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d’emballage identique. Ils sont garnis soit de praliné soit de caramel et, parmi les chocolats au lait, 56 %sont garnis de praliné. On choisit au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les choix sont équiprobables. On note :  - L : l’évènement « le chocolat choisi est au lait » ;  - N : l’évènement « le chocolat choisi est noir » ;  - B : l’évènement « le chocolat choisi est blanc » ;  - A : l’évènement « le chocolat choisi est garni de praliné » ;  - A: l’évènement « le chocolat choisi est garni de caramel ».  Tous les résultats seront donnés sous forme décimale. 1. Traduite les données du problème à l’aide d’un arbre de probabilité. 2. Donner la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c’est un chocolat au lait. 3. Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné.
4. Dans la boîte, 21 % des chocolats sont noirs et garnis de praliné.  Montrer que la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c’est un chocolat noir,  est égal à 0,7. 5. Dans la boîte, 60 % des chocolats sont garnis de praliné. a. Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné. b. En déduire la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c’est un chocolat blanc. Exercice 6 Le parc informatique d’un lycée est composé de 200 ordinateurs dont :  30 sont considérés comme neufs ; 90 sont considérés comme récents ;  Les autres sont considérés comme anciens. Une étude statistique indique que :  5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ; 10 % des ordinateurs récents sont défaillants ;  20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.  On choisit au hasard un ordinateur de ce parc. On note les évènements suivants :  N : « L’ordinateur est neuf » ; R : « L’ordinateur est récent » ;  A : « L’ordinateur est ancien » ;  D : « L’ordinateur est défaillant » ;  : l’événement contraire de D. D 1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 2. Calculer la probabilité que l’ordinateur choisi soit neuf et défaillant. 3. Démontrer que la probabilité que l’ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325. 4. Déterminer la probabilité que l’ordinateur soit ancien sachant qu’il est défaillant.  Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième. 5. Pour équiper le centre de ressources de l’établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc.  On admet que le parc est suffisamment important pour qu’on puisse assimiler ces choix à des tirages  successifs indépendants avec remise.  Déterminer la probabilité qu’exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant.  Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième. Exercice 7  Une usine produit, grâce à des machines, A, B et C qui produisent le même type de pièce. Elles produisent  respectivement 20%, 30% et 50% de la production totale. Par ailleurs, on constate que le pourcentage de  pièces défectueuses est 5% pour A, 3% pour B et 2% pour C.  Lors d’un tirage d’une pièce dans la production totale on notera les événements :  A : « La pièce provient de la machine A », B : « La pièce provient de la machine B »,  C : « La pièce provient de la machine C », D : « La pièce tirée est défectueuse ». 1°.Traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités. 2. On prélève au hasard une pièce dans la production totale. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse. 3. On considère une pièce défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle provienne de la machine C. 4. À la sortie de la machine A, on prélève un échantillon de 10 pièces. Calculer la probabilité qu’il y ait  au maximum une seule pièce défectueuse. 5. Une machine M fabrique un objet assemblant une pièce provenant de A , une pièce provenant de B et  une Pièce provenant de C .Elle prend au hasard des pièces dans trois stocks comprenant un grand nombre  de pièces .Les différentes pièces sont tirés au hasard et indépendamment les unes des autres a. On suppose qu’un objet fabriqué par M a la probabilité :  0,048 d’avoir seulement le défaut a ;  0,028 d’avoir seulement le défaut b ;  0,018 d’avoir seulement le défaut c .  On désigne par X la variable aléatoire qui à tout échantillon des 10 objets pris au hasard et avec remise,  à la sortie de la machine M, associe le nombre d’objets de cet échantillon présentant seulement le  défaut a .Quelle est la loi suivie par X ? préciser les paramètre %3 b. Calculer à10près la probabilité que dans un tel échantillon , deux objets exactement présentent le  seul défaut a. 6. La machine M convenablement réglée rejette toutes les pièces présentant le défaut a ou le défaut b.  Seuls continuent à sortir ceux ne présentant que le défaut c .  La probabilité qu’un objet présente alors le seul défaut c est 0,018.  On désigne par Y la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 objets pris au hasard à la sortie
 machine M , associe le nombre d’objets présentant le défaut c .  La production étant importante, tout échantillon de 1000 objets est assimilé à un échantillon prélevé  avec remise .  a. Quelle est la loi suivie par Y ? déterminer les paramètres %3  b. Calculer à10près la probabilité que dans un tel échantillon , deux objets au plus présentent le  seul défaut c
Exercice 1 1. Une entreprise fabrique des lecteurs MP3, dont 6 % sont défectueux. oncp D1et0, 06 p(D!11%p D11%0, 0610, 94  D . ( ! ( ! Chaque lecteur MP3 est soumis à une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite. Cette unité de contrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 fonctionnant p(R!10, 98p( !11%( !11%0, 9810, 0  Correctement. D’oùDetDR pDR2 p(R!10, 05( !% 1  etp(R!11%p R195 .05 0, 1 0, D D D Ç 2. a . La probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté estp(D R!.  D’après la formule de probabilité conditionnelle on a : D R( !´ 1 p(Ç!1pD(R!´p D10, 00120, 02 0, 06 2.b . il y ait une erreur de contrôle signifie que soit : rejeté alors qu’il n’est pas défectueux  ne soit pas rejeté alors qu’il est défectueux .  soit E l’événement « qu’il y ait une erreur de contrôle » : signifie que soit : rejeté alors qu’il  n’est pas défectueux ou ne soit pas rejeté alors qu’il est défectueux donc E1(RÇD!È(RÇD!.De plus(RÇD!et(RÇD!sont des événements incompatibles
( !Ç 1( !´ # ´( ! p E1p(DÇR!#p(D R!p R p(D!p(R!p D D D  Donc . p(E!10, 05´0, 94#0, 02´0, 0610, 0482
3. Soit l’événement « un lecteur MP3 ne soit pas rejeté », alorsR1DÇRÈ(DÇR! R ( ! (Ç ÇR D R!et(D!sont des événements incompatibles,DetDforment une partition de l’univers
 Donc d’après la formule de probabilité totale :p(R!1p(DÇR!#p(DÇR!1p(R!´p(D!#p(R!´p(D! D D p(R!10, 02´0, 06#0, 95´0, 9410,8942 Exercice 2 1 ar le fournisseu cp(F!1. 1.La moitié des composants est fabriquée p rF1, don1 2 1 Le tiers est fabriqué par le fournisseurF2, doncp(F!1 2 3 1/20D F 1 1/2 19/20D
1/3
1/6
F 2
F 3
3/200
197/200
7/200
193/200
D
D
D
D
1 1 1 cp(F!11% % 1. Le reste est fabriqué par le fournisseurF3, don3 2 3 6 5 1 p D1 1. et 5% des composants fabriqués par le fournisseurF1ont un défaut ; doncF( ! 1 100 20 1 19 p(D!11% 1 F 1 20 20 1, 5 3 F 1,5% des composants fabriqués par le fournisseur2ont un défaut , doncp(D!1 1. F 2 100 200 3 197 1 % p(D!11. F 2 200 200 3, 5 7 Sur l’ensemble du stock, 3,5 % des composants ont un défaut donc :p(D!1 1 100 200 On construit ainsi l’arbre pondéré associé à cette expérience . b. Le composant prélevé soit fabriqué par le fournisseurF1et présente un défaut est l’événementFÇD 1 1 1 1 ÇD( ! ( ! ( !  donc la probabilité deF1est égale àp F1ÇD1p F1´p1D1 ´ 1. F 2 20 40 prélevé soit fabriqué par le foFest l’événementet pr F2ÇD c. Le composant urnisseur2ésente un défaut 1 3 1  donc la probabilité deF2ÇDest égale àp(FÇD!1p(F!´p(D!11 ´ . 2 2F 2 3 200 200 FF D1(FÇD!È(FÇD!È(FÇD! d.1,F2et3forment une partition disjoints 2 à 2 ,1 2 3 (F D!;( !(Ç! 1ÇF2ÇD et F3Dsont incompatibles 2 à 2. donc d’après la formule des probabilités ( !1(Ç!#(Ç!#p(FÇD!  Totales on a :p Fp D 1D p F2D3, soit 7 1 1 1 p(FÇD!1p(D!%p(FÇD!%p(FÇD!1 % % 1. 3 1 2 200 40 200 200 e. Sachant qu’un composant électronique prélevé est fabriqué par le fournisseur F3, la probabilité qu’il p F3ÇD31/ 200 ( !  présente un défaut est égale :p(D!11 1 . F 3 p(F!1001/ 6 3 2.a Soit X la variable aléatoire égale au nombre de composant d’un lot qui présente un défaut : 7  X suit une loi binomiale de paramètres :n16 etp1p(D!1. 200 2 4 7 2æ ö æ193ö p(X12!1C´ ´ »0, 016valeur arrondie au millième près. 6ç ¸ ç ¸ è200ø è200ø 0 6 1 5 7 193 7 193 0æ öæ ö 1æ öæ ö  b.p(X£1!1p(X#0!#p(X11!1C´ ´ #C»´ ´ 0, 983 6ç ¸ ç ¸6ç ¸ ç ¸ è200ø è200ø è200ø è200ø  La probabilité, arrondie au millième, qu’au plus un composant d’un lot présente un défaut est égale  à 0,983. 0,7 G
Exercice3 ( !1 %( !1 % 1.p D1et0, 5 p(D!1p D1 0, 5
10, 5
p G1et0, 7 p(G!11%p G!11%0, 7 ( ! ( D D D
10, 3 .
0,5
0,5
D
D
0,3
0,2
0,8
G
G
G
p(G!10, 2( !  etp(G!11%p G11%0, 210,8 . D D D b. L’évènement « le joueur choisit la console déréglée et il gagne».  estDÇG, doncp DÇG1p G´p D10, 7´0, 51.0, 35 ( ! ( ! ( ! D c. L’évènement « le joueur choisit la console non déréglée et il gagne » p D G p( !0,10, 5 0, 2  est :Ç, donc(Ç!1G´p(D!1 ´ 1 D G. D ,G1GÇDÈ(GÇD!, de plus d.DetDforment une partition disjointe de l’univers ( ! Çt(GÇDsont incompatibles, donc (G D!e!
0,45
G
0,45 G p D1p GÇD#p(GÇD!10, 35#0,110, 45 . ( ! ( ! 0,55 G G 0,45 G 0,45 0,55 G 0,55 G 0,45 G G 0,45 0,55 0,55 G G G 0,45 0,55 G 0,55 G e. la probabilité que le joueur ait choisit la console  déréglée sachant qu’il a gagné est : p(GÇD!0, 35 7 p(D!11 1 G. p(G!0, 45 9 2. Le choix d’une des deux consoles est expérience  qui a deux issues : Soit on gagne la partie avec une probabilité p1p(G!10, 45 Soit on perd la partie avec une probabilité :q11%p10, 55 On fait 3 fois cette expérience donc on obtient un schéma de Bernoulli Ou une loi binomiale des paramètresn13etp10, 45 G est l’événement : « le joueur gagne la partie ». L’événement : « le joueur gagne exactement deux fois » 2 2 1 GGG ou GGG ou GGG. Donc la probabilité de cet événement estp(X12!1C´0, 45´0, 5510, 334. 3 Exercice 4  La probabilité de l’évènement : « une pièce prélevée au hasard dans la collection présente les  deux défauts » estAÇB. Doncp(AÈB!1p(A!#p(B!%p(AÇB!, donc p AÇB1p A#p B!%p(AÈB!10, 2#0,1%0, 2510, 05 ( ! ( ! ( 2. on sait quep AÇB10, 05 etp(A!´p(B!10, 2´0,110, 02 doncp AÇB¹p A!´p(B! ( ! ( ! (  Par conséquent les événementsAetBne sont pas indépendants. 3. La probabilité de l’évènement « une pièce prélevée au hasard dans la collection ne présente aucun des  deux défauts » est , or est l’ AÇB AÇBévénement contraire deAÈB.donc p(AÇB!11%p AÈB11%0, 2510, 75 . ( ! 4. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défautb. p(A!  La probabilité que cette pièce présente également le défauta. est égale àB p(AÇB! 0, 05 p(A!11 1 0, 5  et on a :B. p(B!0,1 5. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défautb. p(A!  La probabilité que cette pièce présente le défauta. est B
sA1AÇBÈ(AÇB!union des deux événements incompatibles donc  Mai ( !
p A!1p(AÇB!#p(AÇB!d’après la formule des probabilités totales .donc (
Ç 1( !%(Ç!1 % 11 %( !11 % p(A B!p A p A B0, 05 0,150, 2 etp(B!1p B0, 91 0,1 (Bdeuxet sont B p(AÇB! 0,15 15 1  événements contraires doncp A1 1 1 1 »0,17 arrondie au centième. ( ! B 0, 9 90 6 p(B! 6.a. Le choix d’une pièce est une expérience qui a deux issues :  Soit la pièce n’a pas de défaut avec une probabilitép1p(AÇB!10, 75  Soit la pièce a au moins un défaut avec une probabilité :q11%p10, 25 .  On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la  collection est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.  SoitXla variable aléatoire qui correspond au tirage des pièces sans défaut .Donc la variable aléatoireX  suit la loi binomiale de paramètren13 etp1.0, 75 k k n%k k k3  et on a :p(X1k!1C p(1%p)1C(0, 75!(0, 25) n3  La probabilité qu’une seule des trois pièces soit sans défaut est 1 1 2 2 p(X11!1C(0, 75!´(0, 25)13´0, 75´(0, 25!»0,14. 3 b. La probabilité qu’au moins une des trois pièces soit sans défaut estp X³1! égale à , est l’événement (  contraire de :« aucune des trois pièces soit sans défaut »D 0,75
 L’événement « aucune des trois pièces soit sans  défaut »est égale àp X10 , ( ! 0 3 0 3  Doncp(X10!1C(0, 75!(0, 25)1(0, 75!»0, 42 . 3  Donc la probabilité qu’au moins une des trois  pièces soit sans défaut est égale à : p(X³1!11%p(X10!11%0, 42»0, 58 .
0,75
025
D
D
0,75
0,25
0,75
0,25
D
D
D
D
0,25
0,75
0,25 0,75
0,25
0,75
0,25
D D
D
D
D D
D
Exercice 5 1.Traduire les données du problème à l’aide d’un arbre de probabilité.  Une boîte de chocolats contient 50 % de chocolats au lait, 30 % de chocolats noirs et 20 % de chocolats p(L!10,5p(N!10,3p(B!10, 2  blancs d'où , et . p(A!10,56  Parmi les chocolats au lait, 56 % sont garnis de praliné d'oùLet 1( !1 0,56 p(A!1 %p A1 %)10, 44 L L.  D'où l'arbre de probabilité traduisant les données de l'énoncé :
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents