Fiche d'exercices de Mathématiques de niveau Première

Tpautrel

Description

Avec correction. Corrigé des exercices sur le barycentre
Fiche d'exercices en Mathématiques (2010) pour Première S

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Extrait

Correction des exercices sur le barycen

Ex1: Démontrer un parallélisme et un a

1. Ona G = bar{(A,-2) ; (B,2) ; (C,1)}  −2GA2GBGC=0 −2G  A2G  A2A  BGC=0 D'où  GC=−2AB Donc . GC AB Les vecteurset sontcoliné Donc les droites (GC) et (AB) sont parall 2. a)A' = bar{(B,2) ; (C,1)}.  2A ' BA ' C=0 2A' C2C  BA 'C=0  D'où 3A' C2C  B=0  C  A '=C  B 2 3 On place donc A' aux 2/3 de CB . b) On a G = bar{(A,-2) , (B,2) ; (C,1)} donc par associativité, G = bar{(A,-2) , (A', 3)} ainsi  −2GA3GA '=0   AG AA Donc les vecteurset Ex2: 1. Iest l'isobarycentre de A l'isobarycentre de C et d et J = bar{(C,2) ; (I,2)}. Grâce à l'associativité, on a don 2. (AJ)coupe (BC) en K. K a (AJ) et et à la droite (BC). D'où: J est le barycentre de A et Dans cette relation on a bien K Or J = bar{(A,1), (B,1), (C,2)} don barycentre de (B,1) et de (C,2). bien K qui appartient à la droite K est donc positionné de maniè de (B,1), (C,2). Ex3: 1. a)Méthode:Pour démontrer l'existence d'un barycentre de points massifs, on calcule la somme des masses. Si elle est non nulle, le barycentre existe bien. Ici 1 + 1 – 1 – 2 – 1 – 2 = - 4 donc le barycentre des points massifs donnés existe bien. b) Posons G = bar{(A,1) ; (B,1) ; (B,-1) ; (C,-2) ; (A,-1) ; (D,-2)}.  GAGB−GB−2GC−GA−2GD=0  − − = =− D'où 2GC2GD0 , ainsi GC GD . G est l'isobarycentre de C et de D. Il est donc G  CG  D=0  situé au milieu du segment [CD]. Or l'énoncé nous apprend que ce milieu est K. Donc G est en fait K. 2 BJ=BC 3 −1 2  − =  JB JC0 JB2JC=0 2. a)On a, soit<=> .Donc J = bar{(B,1) ; (C,2)}. −J  B−B  J−J  C=  0 2 2 3 3 3 3

2 AL=AD De même, on asoit 3 2 2−1 2  AL−AL−LD=0LA−LD= <=> 3 33 3   = => LA2LD0 . Donc L = bar{(A,1) ; (D,2)}. b) On sait que K = bar{(A,1) ; (B,1);(B,-1) ; (C,-2);(A,- On reconnaîtI = bar{(A,1) ; (B,1)},J = bar{(B,-1) ; (C,-2) L = bar{(A,-1) ; (D,-2)}. Donc par associativité, on a K =bar{(I,2);(J,-3);(L,-3)}. On en déduit que les points K, I et J sont coplanaires. Ex4: Soit A(1;-3) , B(0;-2) et C(-2;0) trois points du plan. C =ar ,a; ,avec a +non nu . a xb x B a A − = x= 2 D'où C <=> <=>-3a – 2b = 0. ab ab a yb y −3a−2b A B y= 0= C <=> ab ab Ex5: G est l'isobarycentre de S, A, B, C et D et O isobarycentre de A, B, C et D. Autrement dit, G=bar{(A,a), (B,b), (C,c), (D,d), (S,s)} et O =bar{(A,a), (B,b) ,(C,c) , (D,d)}. Par associativité, on a donc G =bar{(O, a+b+c+d) , (S,s)}. Donc O, G est S sont alignés. De plus, on a: a = b = c = d = s donc a+b+c+d = 4s. Donc G=bar{(O,4s) , (S,s)}. s 1    = = OG=OS OG=OS Vectoriellement, on aura donc 4s GSs GO0 <=> 5s OSs GO0 <=> soit; 5s 5 On en déduit la position de G sur [OS]. Ex6: 1. Placerles points: 1   = BC  BI=  = CJ 2IB IC0 <=> ; JC2JA0 <=> 3 et K est le milieu de [AB]. 2. G= bar{(A,2) ; (B,2) ; (C,1)} Or:I = bar{(B,2) ; (C,1)}. Donc G = bar{(A,2) ;(I,3)}. Ainsi G, A et I sont alignés, G appa droite (AI). De même,J = bar{(C,1) ; (A,2)}, donc G=bar{(B,2) ;(J,3)}. Don appartient à la droite (BJ). Enfin,K = bar{(A,1) ; (B,1)}donc G = bar{(C,1) ;(K,2)}. Donc. Bilan: G appartient aux droites (AI), (BJ) et (CK). Il est donc situé à l'intersection de ces 3 droites. Ex7: MAMBMC=3MG 1. d'aprèsla relationfondamentale (ou propriété de réduction dans certains manuels), où G est l'isobarycentre de (A,1) ; (B,1) et (C,1) et le centre de gravité du triangle ABC. ∥MAMBMC∥=∥3MG∥ Ainsi, . 4=∥AC∥∥MAMBMC∥=4 ∥3MG∥=∥AC∥ Par ailleurs,. Ainsi<=> cequi revient à écrire que 3MG = AC. ∥MAMBMC∥=4 L'ensemble des points M vérifiantest donc le cercle de centre G et de rayon 4/3. (une sphère de centre G et de rayon 4/3 si ABC est un triangle de l'espace).

2MA−MB−MC=2MI2IA−MI−IB−MI−IC2MA−MB−MC=2IA−IB−IC 2. a)<=> .   IBIC=0⇔−IB−IC=0 Or I est l'isobarycentre de (B,1) et (C,1), doncpar homogénéité. 2MA−MB−MC=2IA Donc .

 ∥3MG∥=∥2IA∥ b) L'ensembleest donc équivalent à ce que, soit MG =2/3 IA. 2 AG=IA Or commeG est le centre de gravité du triangle ABC. 3  Donc MG = AG. L'ensembleest donc le cercle de centre G et de rayon [AG]. (Resp. la sphère de centre G et de rayon [AG] dans l'espace).  ∥AAABAC∥=∥2IA∥ c) Pour justifier quepasse par A, on pose M = A. D'où:soit ∥ABAC∥=∥2IA∥ . AC=3AG Or AB (comme G est l'isobarycentre de A, B et C). ∥3AG∥=∥2IA∥  ∥3MG∥=∥2IA∥ ∥3AG∥=∥2IA∥ D'où ,AG = 2/3 IA. A appartient donc àcar donne. A vérifie bien la relation.

2MAMB=3ME 3. E= bar{(A,2) ; (B,1)} donc. ∥MAMBMC∥=∥2MAMB∥∥3MG∥=∥3ME∥ Ainsi, équivautà ce qued'où MG = ME. L'ensemble des points M vérifiant cette relation est donc la médiatrice du segment [GE].(Resp. Plan médiateur du segment [GE]). Note:E est placé à 1/3 de AB en partant de A.