Fiche d'exercices de Mathématiques de niveau Première

Kdouh

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Polynômes
Fiche d'exercices en Mathématiques (2010) pour Première SSI

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Extrait

Classe de1°SSI POLYBÖMES2010-2011 1. Résoudre les équations suivantes : 2 1 16 x#x#1x#5 (x#1)(x#2)1(x#3)(x#4)#(x#5)(x#6) # 1  a.b. c. 1 2 x#2x%2 5 x#1 x#3 2. Résoudre les inéquations suivantes : 3x#2x 6 15 2 2 ³ %£  a. (x%2x%3)(x#2x#2)00  b. £  c. 2  d. 3x + 2 x%1x#2 %x#x% 1 2x2 2 3 3 4x%x x%5x#4 27x%20x%7 ³0  e. 20 . f 0  g. £ 4 ( 2x#1 ! ( 27%3x ! 5 x%4 x#4x 3. Résoudre dans R : 3x#2x 4 22 £ %4x#13x%310x%4x#320 x%1x#2 2 2 2 # 1 x2 1/2 0 %x%2x#3002x%9x10 0 %x# 1 4. Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : x%1x%4 x2x%7 3 20  A: £  B: % 1 : 1 C x%9x# 10 3x7x % x%1x%7 x Exercice 1 Résoudre 2x#1x%7 # 14 ( % ! % %1  a.1: 2: 6x1x1 1 x%1x#3 1 1 £ 2 2  b.1:2 : x#4x#4³9x%6x#1 x#2 3x%1 Exercice 2 3 22 x%4x%13x#91 ( x#3 ! 3%x4%x  1.Vérifier que pour tout réel, ( ! . 3 2  2.En déduire alors la résolution de l'inéquation %4x%13x#920 . Exercice 3 2 3  Soit P le polynôme défini par P ( x ! 16#10x#2x%2x . P ( x ! 1. Montrer queest factorisable par x#1 . 2 a, x P ( x ! 1 ( x#1 ! a x#b x#c c 2. Déterminer trois réels b ,et telsque pour tout réel ( ! . 2 3 3. Résoudre alors l'inéquation (I) : 6#10x#2x%2x20 . Exercice 4 1c xb x 1a# # a c x [ 0 ;# ¥ [ Déterminer trois réels, b et telsque, pour tout réelde l’intervalle: 2 2 . 1#x ( 1#x ! ( 1#x ! Exercice 5 3 2  Soitfla fonction polynôme définie par : f(x)1 %4x#ax#bx#c oùa,betcsont trois réels. 1. Déterminera,betcsachant que –1 et 2 sont des racines def(x) et que la courbe représentative defpasse  parle pointA(0 ; 4). 2 2. a. Montrer que f(x)12(x#1)(%2x#3x#2) .  b.Résoudre l’équationf(x) = 0 puisf(x) < 0. ì x#y13 ï 3. Déterminer tous les couples de réels x, y solutions du système í 2 21 ( ! # 1% ï x y3 î

Exercice 6

2 1. Factoriser le trinôme x%x%12 . 4 32 2 2. Déterminer les réelsaetbtels que le polynôme f(x)12x%4x%33x#ax#b soit divisible par x%x%12 . f(x)³0  Résoudrealors l’inéquation. Exercice 7 Second degré VRAI ou FAUX .On justifiera les réponses. 1. Un trinôme, qui a pour discriminant– 4, est strictement négatif sur ¡ . 2. Un trinôme, qui a pour discriminant– 3 et vaut 1 en 0, est strictement positif sur ¡ . 2 3. Le trinôme 3x– 6xest strictementnégatif sur ]0 ; 2[. 2 4. Le trinôme (x+ 2 atteint son maximum en 3 ; ce maximum vaut 2.– 3) 2 5. La parabole de sommetS(2 ; – 2) passant parA(0 ; – 3) a pour équation :y= –x+ 4x– 3. Exercice 8 Une échelle de longueur 7 m s’appuie contre un mur et sur l’arète d’un bloc cubique de côté 2,4 m. On cherche la distance du pied du mur au pied B de l’échelle. On désigne parxcette distance et parycelle du pied du mur au haut de l’échelle. a. Montrer qu’il faut résoudre le système (1) : 2 2 ì x#y149 ï AB = 7m í y%2, 4 2, 4 . 1 y ï y x î c =2,4 m b. Montrer que ce système (1) est équivalent 2 ì ï S%2P149  ausystème (2) : í oùS=x+yetP=xy. c ï P%2, 4S10 î c. Résoudre (2) puis résoudre (1). A x H Exercice 9 Aires

AB15cm BC13cm ABCD et .est un rectangle tel que  I,J,KetLsont quatre points respectivement sur les segments [ AB ] [ BC ] [ CD ] [ DA ] AI1BJ1CK1DL1x , , ettels que. f ( x ! On appellel’aire du quadrilatèreIJKL. 1. Justifier q x apparti [ 0 ; 3 ] ue entà l’intervalle 2 [ 0 ; 3 ] 2. Démontrer que pour tout x on ade , f ( x ! 12x%8x#15 . 3. En déduire l'aire minimale et la valeur en laquelle elle est atteinte. Exercice 10

2 Un massif fleuri, rectangulaire, a une superficie de 612 m . On trace tout autour

2 (à l'extérieur) une allée de 1,50 m de large L'aire de cette allée est de 165 m. Quelles sont les dimensions du massif ? Exercice 11 2  Soitf : x a%2x#7x# 1. Donner la forme canoni 2. Démontrer que ce trinô 3. Donner le tableau de var Exercice 10

C C  Ci-contre, f et g sont

2 f ( x ! 1x%x%2  et g

C 1. Colorier en vert f . Just f 2. Déterminer le signe de 3. En déduire la position re  lesabscisses des points d’intersection. 4. Déterminer la fonction du second degré dont la représentation %2  graphiquecoupe l'axe des abscisses aux points d'abscisseset 3 %9  etl'axe des ordonnées au point d'ordonnée.

1 0 1

Correction 1.Faux: Un trinôme qui a pour discriminant– 4, est de signe constant, positif ou négatif sur ¡ . 2.Vrai: Comme il a un signe constant, il a le même signe qu’en 0 par exemple, soit +. 2 3.Vrai: 3x%6x13x(x%2) est du signe de 3 à l’extérieur des racines, du signe contraire (−) entre les racines  quisont 0 et 2. 2 4.Faux: (xa un+ 2– 3)minimumen 3 qui vaut 2. 2 22 5.Faux: si on met sous forme canonique %x#4x%31(%x2%) 4#3%(1x%2)%1 , donc le sommet estS(2 ; 1).

A :£de définition de A : et 3x – 7 ; ensemble¹0 donc A est définie sur \{0 ;} ;–£0ñ £0ñ£0ñ£0 On étudie le signe du numérateur en recherchant son discriminant. D=18²-4*(-28)*(-2) ;D= 324- 224 = 100 Dest positif donc le numérateur admet deux racines : x 1 et x 2 x 1 = x= = = 2 = = = d’où le tableau de signes suivants : -¥ 0 2 7/3 x-7- -- - x-2+ ++ -- 0 3x-70 +- - - x+ +0 + -

 7+¥

 0+

 +

 +

 +

 +- 0+ -0 + Donc l’intervalle solutionpour A est ]0;2]È];7] x2x%7 B : % 11 on {1 ;7} car 1 et 7 annulent le dénominateur.travaille sur \ x%1x%7 =0ñ =0ñ=0ñ =0ñ=0ñx²-5x+7=0On calculeD= (-5)²-4*1*7=-3 il est négatif donc cette expression n’est jamais nulle. L’équation n’a donc pas de solution réelle. 3 C : x –9x += 0 Cette équationest définie pour x¹0 4 Elle devient=0ñx –9x²+20=0soit en posant X=x² X²-9X+20=0 On calculeD=(-9)²-4*1*20=1 donc on a deux solutions X 1 = =5et X 2 = =4 d’où finalement quatre solutions pourx: x 1 =;x’ 1 =-;x 2 = 2;x’ 2 = -2 L’équation 2 devient= - soit= -En remplaçantx+ypar 3 on obtient := - donc 18 = -xy Le système devientdoncy=3-xsoitx(3-x)=-18donc –x²+3x+18=0 On calculeD= 3²-4*18*-1=81 donc on a deux solutionsx 1 = =-3et x 2 = =6ce qui nous donne y 1 =6 et y 2 = -3. La paire solution de ce système est donc {6 ;-3} Exercice 9 Soit L la longueur du massif et l sa largeur. L’énoncé se traduit par L*l=612 et (L +2*1,5)*1,5*2 +1,5*l*2= 165 soit 3L+9+3l=165 soit 3L+3l=156 qui peut aussi s’écrire en divisant tout par 3 : L+l=52 On a donc le système suivant :donc en remplaçant L par 52-l dans l’équation2 on a (52 –l)*l = 612 soit –l²+52l-612 = 0On calcule D= 52²-4**= 256 donc deux solutions l 1 et l= =18 2 = =34 On remplace cette valeur et on trouve L 1 =52-18=34 et L 2 =18 En supposant que L >l on obtient le couple solution 34m et 18m pour le massif. Exercice 10 f(x)=-2x² +7x +2 = -2(x--1) =-2[(x-)² - -1] = -2[(x-)² -] Ce trinôme a un coefficient du terme en x² négatif donc ce sera une fonction croissante puis décroissante.

Le sommet de cette parabole qui sera donc ici un maximum

aura pour coordonnées :pour l’abscisse et  –2*– =pour l’ordonnée. 1. x %¥ 7/4 65/8 f

4.

+¥