Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Description

Groupes : oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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Extrait

142 utilisationdes groupes en géométrieFlash Se limiter à une présentation du groupe des homothéties et translations est très insuffisant ; on attend ici quelques situations précises où les groupes interviennent (on pourra penser auxfrises et pavages). La géométrie affine du point de vue de l'action de groupe. Définition d'un espace affine sur un espace vectoriel et exemples.Tauvel Définition des translations. L'application qui à un vecteur de V associe la translation selon ce vecteur est un morphisme (injectif) du groupe (V,+) vers (S(E),o).

Définition des applications affines avec la version conjugaison. Caractérisation par le diagramme commutatif. CSQ : Caractérisation des applications affines par l'image d'un point et l'application linéaire associée, caractérisation des affines bijectives, groupe affine.

Caractérisation des translations. Exercice : déterminer le centre de GA(E).

Combes Tauvel

Combes

Groupe des homothéties-translations. Exercice : quel est le sous groupe engendré pas les symétries-points dans GA(E) ? Remarque : deux homothéties ne commutent pas sauf si elles ont le même centre. Application : théorème de NewtonD-J M D-J M 7 / 8 Les angles orientés de vecteurs dans le plan vectoriel euclidien. Tout commence par l'application de l'étude des groupes de ℝ à la définition de . L'ensemble U des complexes de module 1 est un sous groupe multiplicatif de ℂ∗. th 115 : t -> exp(it) est un morphisme du groupe additif ℝ dans le groupe multiplicatif U, dont le noyau est ℝ /2 ℤ. Tu en déduis la longueur du cercle, les formules d'addition trigonométriques et que : SO2 est isomorphe à ℝ /2 ℤ (th 120). Ici, dimV= 2. Note U l'ensemble des vecteurs unitaires de V. th 107/121/122 : a) le groupe SO2 agit simplement et transitivement sur U. b) la relation R définie sur U par QQS (u1, u2);(u3,u4) : (u1,u2)R(u3,u4) ssi Existe R dans SO2 tq r(u1)=u2 et r(u3)=u4 est une relation d'équivalence sur U. c) l'application M : SO2 -> U/R est bijective et structure U/R en un groupe commutatif isomorphe à SO2. Groupe des isométries d'une partie. PB 1 : la partie est donnée, je cherche les isométries qui la conservent.D-J M 14 - + En dimension n, th 225 => IS (P)=s o IS (P) et th 228 => majoration de #(G) lorsque P est une partie finie de E. Dans le plan, th 227 => majoration de #(G). Groupes des polygones réguliers. Groupe du tétraèdre. PB 2 : une contrainte sur le groupe est donnée, je cherche les parties conservées. Le cardinal du groupe est maximal => polygones réguliers, Th 235 L'intersection avec le groupe des translations en un groupe monogène infini => frises. Théorème : il y a 7 GROUPES DE FRISES ← DEVELOPPEMENTGoblot

Utiliser un groupe pour résoudre une équation diophantienne via la géométrie. Groupes sur une conique : fixe un point M sur une conique non dégénérée C.De tête Pour tout A et B sur C, note D(AB) la parallèle à (AB) qui passe par M. Si D(AB) est tangente à C, alors A*B=M, sinon A*B est l'autre point d'intersection de D(AB) et C. Application : recherche des Triangles Rectangles Presque Isocèles, ou C(n,p)=C(p,n).

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utilisation des groupes en géométrie

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