Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Description

Groupes : oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

Sujets

• Ressource
• ressources pédagogiques
• École
• Lycée
• exercices
• Cours
• Devoir scolaire
• Devoir surveillé
• Annales

Informations

• Publié par: ressources-pour-le-superieur
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

102

Grou es métri ueet alications

Flash

Jury : les exemples d’applications de ces groupes aux déplacements et/ou isométries sont souvent évoqués mais les candidats arrivent rarement à lesinterpréter; par ailleurs l’étude dugroupe des isométries qui conservent un tétraèdre régulier peut faire l’objet d’un développement intéressant. Développements au choix : 1) le groupe du tétraèdre est isomorphe à S4 2) décomposition en cycles disjoints + signature 3) le déterminant 4) An est simple pour n=3 et n≥5. 1) Définitions et premières propriétés Gras p 34 T1 et définition : groupe symétrique d'un ensemble fini ; son cardinal est n! ; il est non LFA T1 II.8 commutatif pour n≥3. ou Combes 7.8, 7.9, 8.6 T2 (Cayley) : tout groupe G d'ordre n est isomorphe à un sous groupe de Sn. D-J M Exemple : le groupe des isométries du triangle équilatéral est S3, du tétraèdre est S4. tables de S2 et S3, sous groupes de S3, th 228

T3 et définition : support d'une permutation ; deux permutations à supports disjoints commutent. Réciproque fausse : définition des transpositions et cex avec deux transpositions. T4 et définition : cycle ; un cycle de longueur r est d'ordre r. remarque : on peut avoir c un cycle et c² n'est pas un cyclesauf si c'est un 3-cycle. Combes 4.2 Propriété très utile : cycles conjugués Bouvier 4.21 2) Générateurs de Sn

T5 : décomposition d'une permutation en cycles disjoints.  décompositiond'une permutation en produit de transpositions, et même de (1 k).  décompositiond'une permutation en produit de (1n) et (12...n). 1 2 3 4 5 Exemple : les décompositions de   2 4 5 3 1 remarque : il n'y a unicité que pour la première décomposition.

En exercice, comparaison avec les générateurs de Dn ; pourquoi Dn n'est pas isomorphe à Sn : parce que tsts n'est pas l'identité ; et ce parce-que le générateur d'ordre 2 fixe deux points consécutifs pour Sn mais non pour Dn.

3) Signature et applications

T6 et def : inversion et signature ; la signature est un morphisme entre Sn et {-1;1}. Applications : aux fonctions n-linéaires alternées : le déterminant.

T8 et def : groupe alterné ; cardinal ; distingué dans Sn ; c'est le seul. Exemple : le groupe des déplacements du tétraèdre est A4. avec le groupe du tétraèdre

Bouvier et D-J M

Combes 4.4 LFA T1 X.1 Combes 4.4

Bouvier 5.2

Propriété : An est simple pour n≥5 (et aussi pour n=3). Bouvier 5.1 CSQ : Sn est non résoluble pour n≥5. Remarque : tu peux obtenir ce résultat sans utiliser An. LFA T1 Autres applications : polynômes symétriques, résolution des équations de d° 3 et 4 dur dur.