Oral de Mathématiques de niveau Agrégation

Description

Algèbre linéaire- oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

Sujets

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Informations

• Publié par: ressources-pour-le-superieur
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• Langue: Français

Extrait

310 Exercicesd'algèbre linéaire faisant intervenir des polynômes Exercice 1 : les matrices à n vp distinctes sont denses dans Mn(C) avec le résultant [Rombaldi Analyse Matricielle, PROPRIÉTÉS TOPOLOGIQUES DE M n (K) p 132-133] objectif: complément de cours. nature du travail: recherche. intérêt: présentation d'un nouvel outil algébrique pour résoudre un problème de topologie. apport pédagogique: changements de cadre (passage par l'arithmétique pour établir un résultat topologique), présentation d'une nouvelle application des déterminants. prérequis: notions de topologie, réduction des endomorphismes en dimension finie.

Exercice 2 : calcul des puissances d'une matrice [Merlin ch CALCUL MATRICIEL 1 ex1]

objectif: illustration du cours, calcul matriciel à la main ou avec un logiciel. nature du travail: exercice d'entraînement. intérêt: illustration de la notion du fait que l'espace K(A) est de dimension finie, introduction à la nécessite d'un polynôme annulateur dans le cas général. prérequis: calcul matriciel, division dans K(X) limites de la méthode: utilisable uniquement en petites dimensions.

Exercice 3 calcul de Vandermonde et de Cauchy [Leichtnam alg ch ALGEBRE MULTILINAIRE 5.6]

objectif: calcul de déterminants classiques. nature du travail: illustration du cours ou entraînement. prolongements: base de R n [X], majoration des dérives CF Rombaldi Analyse réelle. prérequis: développement d'un déterminant apport pédagogique: changement de cadre : prendre un paramètre en variable et utiliser les polynômes ; résultat à savoir démontrer.

Exercice 4 matrices de Hilbert [Deschamps et Butz T2 ch DUALITE exo 4]

objectif: étude d'une matrice particulière. nature du travail: réinvestissement ou évaluation. intérêt: exemple de matrice mal conditionnée. prérequis: DFC et dualité. apport pédagogique: cet exercice réunit plusieurs domaines : décloisonnement des savoirs.

Exercice 5 : matrice sur et sous diagonale [Merlin alg DIAGONALISATION PRATIQUE p 171]

objectif: étude d'une matrice particulière du point de vue de la réduction. nature du travail: réinvestissement ou évaluation. intérêt: interprétation d'une matrice en termes d'endomorphismes. prérequis: fractions rationnelles. apport pédagogique: présenter la dérivation des polynômes comme un endomorphisme. Exercice 6 : calcul d'une exponentielle matricielle dans un cas particulier. [Gourdon ex 1 p 199]

objectif: c'est dans le titre nature du travail: appliquer le cours sur un exemple concret. intérêt: calculer des projecteurs spectraux en trouvant des polynômes de Bézout par identification prérequis: décomposition en sous-espaces caractéristiques.