Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - barycentres

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Géométrie : oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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Extrait

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Introduction

barycentres

Problème 1 : équilibre de deux points massiques Généralisation et définition de la fonction vectorielle de Leibniz et du barycentre. Exemple : accélération de convergence.

Propriétés : homogénéité, associativité, commutativité

Exercice : CRC du barycentre de deux points affectés de coefficients rationnels.

Problème 2 : minimisation de l'énergie cinétique de rotation Définition de la fonction scalaire de Leibniz Propriété : lignes de niveau d'icelle. Applications en géométrie affine

Théorème et définition : sous espace affine engendré par une famille de points, coordonnées barycentriques. Exemples : droite, demi-droite, segment, coordonnées barycentriques des points remarquables d'un triangle.

Applications : 1) expression générale des solutions d'un système linéaire. 2) théorème de Céva. 3) théorème de Pascal sur les coniques passant par 6 points.

Caractérisation des applications affines Application : si un système de points admet un élément de symétrie, alors l'isobarycentre des points est sur cet élément.

Propriété : passage d'une famille de points à une autre par une application affine. Application : ellipse de Steiner d'un triangle. Introduction à la convexité

Définition de la convexité. Exemples : les boules, les intervalles, l'intersection des convexes, l'image d'un point par une application affine, par une application continue.

Théorème et définition : enveloppe convexe. Exemple : enveloppe convexe de deux points, de trois points. Exercice : théorème de Lucas sur les racines de P et de P'

Théorème de Carathéodory sur l'enveloppe convexe. Conséquences : si A est compacte, alors son enveloppe convexe aussi. si A est bornée alors son enveloppe convexe aussi et égalité des diamètres.

Théorème et Définition : points extrémaux et action d'une application affine qui conserve le convexe.

Théorème : formule d'Euler.

D-J M

D-J M Tisseron

Combes Combes

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