Oral de Mathématiques de niveau Agrégation - exemples de résolution de systèmes différentiels linéaires

Description

équations différentielles - oraux 1 et 2
Oral en Mathématiques (2011) pour Agrégation

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Informations

• Publié par: ressources-pour-le-superieur
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• Langue: Français

Extrait

429 exemplesde résolution de systèmes différentiels linéairesFlash C'est globalement un sujet merdique : dans les bouquins, il n'y a pas d'exo bien clair sur les systèmes à coefficients variables. Tu peux faire le tour des cas de résolution sur les systèmes à coefficients constants, et peut-être rajouter une linéarisation mais c'est moyen : la théorie derrière n'est pas acquise.

1) tauxà court et moyen termes Liret ch SD ex 1 a) Écrire le système sous forme vectorielle. b) comme dans le bouquin c) résoudre le système lorsque les conditions initiales sont données. Représentation graphique pour a=2/3,b=1/3 et r=20 d) montrer que les trajectoires sont rectilignes. Détermination de la limite lorsque t|∞. MQ cette limite est sur une droite indépendante des conditions initiales. travail de l'élève :résoudre une équation différentielle vectorielle à coefficients constants lorsque la matrice est diagonalisable et étudier le comportement des solutions. place dans une séquence d'enseignement: exemple de cours simple. connexions avec d'autres exos :même démarche que pour l'oscillateur couplé. intérêt :la démarche générale de résolution est augmentée d'une étude des trajectoires. Utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique pour visualiser les trajectoires, d'un logiciel de calcul formel pour obtenir l'exponentielle matricielle directement sans calculer les valeurs propres et une base de vecteurs propres.

2) trajectoire dans un champ électromagnétique DWT2 travail de l'élève :résoudre une équation différentielle à coefficients constants dans R3 lorsque la matrice est diagonalisable ; détermination d'une trajectoire ; écrire un produit vectoriel comme l'image d'un vecteur par une application linéaire ; calculer une exponentielle de matrice dans un cas simple ; déterminer une solution particulière. place dans une séquence d'enseignement: td maths ou physique. intérêt :travail inter-disciplinaire.

3) diffusion compartimentale Liret ch SDL ex4 travail de l'élève :résoudre un système à coefficients constants dans le cas où la matrice n'est pas diagonalisable ; trigonaliser la matrice et opérer des changements de coordonnées pour calculer l'exponentielle ; calculer une solution particulière dans le cas d'un second membre exponentiel ; utiliser le principe de superposition ; utiliser Xcas pour faire les calculs algébriques. place dans une séquence d'enseignement: td assez long intérêt :utiliser des techniques d'algèbre linéaire pour mener à bien un exercice d'analyse.

4) un contre-exemple à la résolution d'un SD par l'exponentielle DW T2 ex 11 ch23 travail de l'élève :comparer la résolution de deux SD et constater que les solutions d'un SD à coefficients variables ne sont pas toujours construites avec l'exponentielle. On ne résout pas le second système : on constate simplement que ses solutions n'ont pas la forme attendue en exp(intégrale). place dans une séquence d'enseignement: exemples et contre-exemple de cours. intérêt :consolide l'apprentissage du théorème et manipulation de changements de base.

CF AUSSI L'EXO 12 ET 13 DE DWT2.

ATTENTION : LE PROBLEME A DEUX CORPS EST HORS SUJET CAR CE N'EST PAS UN SYSTEME LINEAIRE A CAUSE DE LA NORME AU CARRÉ DU DÉNOMINATEUR !!!!