Partiel n°4 BTS GO 2 ème année mathématiques 2010-2011

Kdouh

Description

Avec correction. Partieln-4-fourier-proba-loi
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour BTS Groupement A, BTS Génie optique

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Extrait

ème Partiel n°4 BTS GO 22010-2011année mathématiques

Exercice1BTS- GR A- Session 201011niopts:

Dans cet exercice , on se propose d’étudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et dans la partie B , la correction de cette perturbation par un filtre analogique. Partie A t p Dans cet exercice , on note une constante réelle appartenant à l’intervalle [0; 2 ] et on considère les g fonctions f définies sur l’ensembleet , R des nombres réels , telles que : ·  Pour tout nombre réel t , f(t)11 g · La fonction est périodique de période 2 p et : ì g(t)10si0£t0t í g(t)11sit£t02p î  Pour tout nombre réel t , on pose : h(t)1f(t)%g(t)  La fonction h ainsi définie représente la perturbation du signal .

g 1. les courbes représentatives des fonctions f et sont tracées sur ledocument réponse n°1.  (figure 1 et 2).  Sur la figure 3 du document réponse n°1, tracer la représentation graphique de la fonction h .

2. On admet que la fonction h2 est périodique de période p .  Pour tout nombre réel t , on définit la série de Fourier S(t à la fonction ) associée h par #¥  ( ) 0 å ( n co n ! S t1a#as ( nt ! #bsin ( nt ! n11 a a) Déterminer 0 . n b) Soit un entier supérieur ou égal à 1 t Calculer cos ( nt ! dt ò 0 1 En déduire que a1sin ( nt ! n np n  c) Montrer que, pour tout nombre entier supérieur ou égal à 1, 1 b1 ( 1%cos ( nt ! ! . n np n n A 3. Soit un entier supérieur .On associe à le nombre réel n tel que : · A1a 0 0 2 2 a#b · n n n A1 un entier supérieur ou égal à 1si est n 2 1 n A 1 cosn Montrer que, pour tout nombre entier supérieur ou égal à 1, on a n 1 % ( t ! . np π On suppose pour toute la suite de l’exercice , que τ = 4 %5 4. Compléter le tableau 1 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à 10 près. 2 1 2p 2 h 1 5. La valeur efficace eff de la fonction h est telle que : h ff [ h(t) ] dt ò 0 e 2p 2  a) Calculer h eff . 3 2 %4 å P1A  b) Calculer une valeur approchée à 10 près du nombre réel P défini par n n10

P %2  c) Calculer une valeur approchée à10 près du quotient 2 . h eff Partie B p j On rappelle que est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est . 2 3 p  On considère la fonction de transfert H différent dedéfinie, pour tout nombre complexe % ,par : 2 3 H(p)1  . 2p#3 w  On définit la fonction r par :, pour tout nombre réel positif rw1H jw . ( ! ( !  Le but de cette partie est de déterminer le spectre d’amplitude du signal, noté k , obtenu en filtrant la  perturbation h au moyen d’un filtre dont la fonction de transfert est H . 3 2 2 ( w ! 1 1. Mont r . Rappel z1a#jb rer que ; z1a#b 2 9#4w n B 2. Pour tout nombre entier naturel , on définit le nombre réel positif n par : n r n n B1 ! ´A , ( A  où n est le nombre réel positif défini dans la question 3 de lapartie A. %5  Compléterle tableau 2 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à 10 près. B Le spectre d’amplitude du signal filtré k est donné par la suite des nombres réels n 3.La figure 4sur ledocument réponse n°2donne le spectre d’amplitude de la perturbation h A  C’et-à-dire une représentation graphique de la suite des nombres réels n  Surla figure 5 du document réponse n°2, on a commencé de même à représenter la suite des nombres B n  Compléter cette représentation graphique à l’aide du tableau de valeurs n°2 dudocument réponse n°2. 2 %4 4. U u signal k est k»0, 0516 ne valeur approchée à 10 près du carré de la valeur efficace d eff 3 2 %4 Q1B  a) Calculer une valeur approchée à 10 près du nombre Q défini par å n . n10 Q %2  b) Calculer une valeur approchée à 10 près du quotient : 2 . k eff On a étudié le spectre de Fourier d’une perturbation d’un signal . On ne peut pas négliger les raies  de hautes fréquences de ce spectre . Le filtrage dissipe une part importante de l’énergie de la  perturbation et les raies de hautes fréquences de la perturbation filtrée sont négligeables

Exercice2elleCalntsnouv:9pio9002-von-einodé Partie A :  Une entreprise fabrique des pièces en grande série.  Une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.  L’entreprise dispose d’une machine de contrôle des pièces fabriquées.  On prélève une pièce au hasard dans la production.  On noteCl’évènement : « la pièce est conforme ».  On noteAl’évènement : « la pièce est acceptée par la machine de contrôle ».  Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que :  p A10, 95 ,p ( CÇA ! 10, 01 et p ( CÇA ! 10, 005 . ( ! 1. a. À l’aide d’une phrase, donner la signification des évènements CÇA et CÇA .  Ces deux évènements correspondent aux cas où la machine de contrôle commet une erreur.  b. Calculer la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur.

2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme, sachant qu’elle est refusée.

Partie B :  On appelleXla variable aléatoire qui prend pour valeur la masse d’une pièce en grammes. s s  On admet queXoùsuit une loi normale de moyenne 7,5 et d’écart type désigne un nombre réel  strictement positif.

1. Après une période de production, la machine de fabrication a subi un dérèglement brutal. s  L’écart typevaut alors 0,015.  On rappelle qu’une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.  Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme.

s 2. Calculer la valeur depour laquelle la probabilité qu’une pièce soit conforme est égale à 0,99.

s 3. Dans cette question, on suppose que vaut 0,002 et qu’à la suite d’un nouveau dérèglement, la variable  aléatoireXsuit la loi normale de moyenne 7,502 et d’écart type 0,002.  Calculer la probabilité qu’une pièce, choisie au hasard, soit conforme.

Partie C :  Les pièces acceptées par la machine de contrôle sont emballées par lots de 100. On prélève au hasard  un lot.  La production est suffisamment importante pour que l’on assimile ce prélèvement à un tirage avec  remise de 100 pièces.  On considère la variable aléatoireYqui, à tout prélèvement de 100 pièces, associe le nombre de pièces  non conformes.  On admet que la probabilité qu’une pièce soit non conforme, sachant qu’elle a été acceptée, est 0,0053.

1. a. Justifier que la variable aléatoireYsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.  b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoireY.

2. Calculer la probabilité qu’un lot ne contienne que des pièces conformes. On donnera une valeur %2  approchée du résultat à près. 10

x

-4 p

-3 p

4 /3 5 /3 2 7 /3 8 /3 3 p p p p p p

/3 t 2 /3 p p

p

3 p

y

1

1

y

0

-1

-2

Document réponse n°1 , à rendre avec la copie (exercice 1) Figure 1 : courbe représentative de la fonction f

g Figure 2 : courbe représentative de la fonction

1

3

2

4

5 x

-7 /3 -2 -5 /3-4 /3 - -2 /3 - /3 p p p p p p p

Figure 3 : courbe représentative de la fonction h

0

2 p

p

t

0

y

1

4 p

x

- p

-2 p

0

Document réponse n°2 , à rendre avec la copie ( exercice1 )

5 0,08318 13 0,03199

n A n n A n

2

10 0,03183

2

5

x

12

13

14

15

x

8

9

10

11

14

13

11

15

2

4

3

6

0

1

n B n n B n

2

3

1

0

6

12

4

5

7 0,02461 15 0,01148

7 0,00516 15 0,00114

6 0,01287 14 0,00242

6 0,5305 14 0,02274

y 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 -2 -1 -0,02

y ,16 ,14 ,12 0,1 ,08 ,06 ,04 ,02 0 -1

1 0,14334 9 0,00315

10 0,00472

Figure 5

7

5 0,02390 13 0,00367

8 0,00000

0 0,12500 8

1 0,12727 9 0,01914

4 0,03952 12

Tableau 1 3 4 0,13863 11 12 0,03781 Tableau 2

7

10

9

8

3 0,06200 11 0,00511

Figure 4

Exercice 1 Partie A : · nombre réel t , f(t)11 1. Pour tout g · La fonction est périodique de période 2 p et : ì g(t)10si0£t0t í g(t)11sit£t02p î ì 1%011si0£t0t 1  Donc pour tout nombre réel t , on pose : h(t)1f(t)%g(t) í 1%110sit£t02p î résentative de la fonctionCourbe re h y

-4 p

-3 p

-2 p

- p

1

0

t

p

2 p

3 p

4 p

2. (a) On a T2 p t 2 p t t 1 1 1 1 1 1 1 t t a 1 f(t)dt 1 f(t)dt 1 f(t)dt # f(t)dt 1 f(t)dt 1 1dt # 0 1 [t] 1 ò 0 0 ò 0 ò t ò 0 ò 0 ò 0 0 T2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 t é 1 ù 1 t  (b) On a, pour n2cos(1 : nt)dt1sin(nt)1sin ( nt ! ò 0 ê ú ë n û 0 n t 2 2 1 é 1 ù Tt2p t a1f(t) cos(nt)dt11´cos(nt)dt#cos(nt)dt1cos(nt)dt1sin(nt) ò 0 0 ò t ò 0 ò ê ú n ( ! T2p p ë np û 0 1 a1sin ( nt ! n np  c) On a, pour n 2 1 : t 2 2 1 é 1 ù Tt2p t b1f(t) sin(nt)dt11´sin(nt)dt#0´sin(nt)dt1sin(nt)dt1 %cos(nt) ò 0 0 ò t ò 0 ò ê ú n ( ! T2p p ë np û 0 1 1 1 b1 %cos ( nt ! #cos ( 0 ! 1 ( 1%cos(nt) ! n npnpnp t 1a1 3. À l’aide de la question précédente, on a : A 0 0 2p 2 2 2 2 2 2 2 2 æ ö % æ a#b æ 1 ö sin (t)# ( 1 cos(nt) ! æ 1 ö sin (t)#1%2 cos(nt)#cos(nt) n n 1 ç ¸1 ç ¸ ç ¸ ç ¸ ç ¸ 2 è np ø 2 è np ø 2 è ø è ø  et pour n ³ 1 , 2 2 2 2 a#b æ 1 ö æ 2%2 cos(nt) ö æ 1 ö n n 1 1 ( 1%cos(nt) ! ç ¸ ç ¸ ç ¸ 2 è np ø è 2 ø è np ø 2 2 2 a#b æ 1 ö 1 n n A1 1 ( 1%cos(nt) ! 1 ( 1%cos(nt) ! . n ç ¸ 2 è np ø np 4. DOCUMENT réponse 2 Tableau 1 n 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0,12500 0,12727 0,15915 0,08318 0,5305 0,024610,13863 0,11254 n n 8 9 10 11 12 13 14 15 A 0,03199 0,02274 0,011480 0,01914 0,03183 0,03781 0,03751 n

x

5. 2 2p p/ 4 1 1 1 p/ 4 1p1 2 2  a) h1 [ h(t) ] dt1h11dt1 [ t ] 1 11 ´ 0,125 . ò 0 0 ò 0 eff eff 2p2p2p2p4 8 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ! ( 0,1272 !! ( ! ( å  b) P1A1A 0 #A 1 #A 2 #A 3 1 ( 0,125#7#0,13863#0,13863» n n10 P0, 0898489523 1 »0, 71879  c) 2 . h 0,125 eff Partie B 3 H(p)1  . 2p#3 w  On définit la fonction r par :, pour tout nombre réel positif ( ! 1 ( w ! rwH j . 3 r ( w ! 1 1. Montrer que . 2 9#4w 3 3 3 3 H(jw)1H(jw)1 1 1  , donc 2 2jw#3 2jw#3 2jw#3 9#4w n B 2. Pour tout nombre entier naturel , on définit le nombre réel positif n par :

0, 08984895

3 1 3 ( 1%cos(nt) ! B1r ( n ! ´A1 ´ ( 1%cos(nt) ! 1 , n n 2 2 npnp 9#4n 9#4n DOCUMENT réponse 2 Tableau 2 n 0 1 2 3 4 5 6 7 B 0,02390 0,01287 0,005160,12500 0,14334 0,09549 0,06200 0,03952 n n 8 9 10 11 12 13 14 15 B 0,00367 0,00242 0,001140,00511 0,00465 0,00000 0,00315 0,00472 n Voir figure Voir figure 2 %4 k 4. Une valeur approchée à 10 près du carré de la valeur efficace du signal k est eff »0, 0516 %4  a) Calculer une valeur approchée à 10 près du nombre Q défini par 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Q1B1B#B#B#B10,125#0,14334#0, 09549#0, 06200 ! »0, 049134 å n2 30 1 . ( ! ( ! ( ! ( n10 Q0, 0491336957 1 »0, 952 %2  b) Calculer une valeur approchée à 10 près du quotient : 2 . k 0, 0516 eff

n A n n A n

0 0,12500 8 0

1 0,12727 9 0,01914

DOCUMENT réponse n° 2 Tableau 1

2 0,15915 10 0,03183

3 0,13863 11 0,03781

4 0,11254 12 0,03751

5 0,08318 13 0,03199

DOCUMENT réponse n°2 Figure 4

6 0,5305 14 0,02274

7 0,02461 15 0,01148

7 0,00516 15 0,00114

6 0,01287 14 0,00242

0 0,12500 8 0,00000

1 0,14334 9 0,00315

9

8

10

7

15

13

12

14

4

Figure 5

0

1

2

3

x

y 0,2 0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 -2 -1 -0,02

11

15

x

13

14

12

0,1

 Or ( CÇA ! et ( CÇA ! sont deux événements disjoints et forment une partition de l’univers

5

6

0

1

2

3

4

0,08

7

8

9

Exercice 2  On noteCl’évènement : « la pièce est conforme ».  On noteAl’évènement : « la pièce est acceptée par la machine de contrôle ».  Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que :  p A10, 95 ,p ( CÇA ! 10, 01 et p ( CÇA ! 10, 005 . ( ! 1.a. CÇA .= « la pièce est acceptée par la machine de contrôle et no conforme » CÇA = « la pièce est non-conforme, est acceptée par la machine de contrôle ». E1CÇAÈCÇA  b. l’événement « la machine de contrôle commette une erreur » est ( !( !

0,06

0,04

0,02

0 -2 -1

10

11

6

5

0,12

0,14

y 0,16

DOCUMENT réponse 2 Tableau 2 2 3 4 5 0,09549 0,06200 0,03952 0,02390 10 11 12 13 0,00472 0,00511 0,00465 0,00367

n B n n B n

 Donc d’après la formule des probabilités totales on a : p ( ( CÇA ! È ( CÇA ! ! 1p ( CÇA ! #p ( CÇA ! 10, 01#0, 00510, 015  la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur est 0, 015 . 2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme, sachant qu’elle est refusée.  On pourra utiliser un arbre p ( C )=0,9947 A

p( A ) =0,95

p( A ) =0,05

A

A

p ( C ) =0,0053 A

p ( C ) =0,0005 A

p ( C ) =0,9995 A

Ç p( A C ) =

p( A Ç  C ) =0,005

p( A Ç  C ) = 0,01

Ç p( A C ) =

p CÇ A p ( CÇA ! ( ! 0, 01 0, 005 1 p C1 »1 1 . 0, 0053 p C ! 11 1 0, 2 ( A ( ! A 0, 05 p ( A ! 0, 95 190 p ( A ! B. 1. On rappelle qu’une pièce est conforme si sa masse,  en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.  Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme æ 7, 495%7, 5X%7, 5 7, 505%7, 5 ö æ 1%1 ö p ( 7495£X£7, 505 ! 1p1£ £ p£T£ ç ¸ ç ¸ 0, 015 0, 015 0, 01 è 5 è 3 3 ø ø æ 1 ö p ( 7495£X£7, 505 ! 12P %112´0, 63%111, 26 1%01, 26 ç ¸ è 3 ø s 2. Calculer la valeur depour laquelle la probabilité qu’une pièce soit conforme est égale à 0,99. æ 7, 495%7, 5X%7, 505 7, 5 7%, 5 ö æ 0,%005 0, 005 p ( 7495£X£7, 505 ! 1p1£ £ p£T£ ç ¸ ç ¸ è s s s ø è s s ø æ 0, 005 ö p7495£X£7, 50510, 99Û2P %110, 99 ç ¸ ( ! è s ø æ 0, 005 ö 0, 0050, 005 P 10, 995Û 12, 58Ûs1 10, 00194 ç ¸ è s ø s2, 58 3. Calculer la probabilité qu’une pièce, choisie au hasard, soit conforme. æ 7, 495%7, 502X%7, 505 77, 502 %, 502 ö æ 0,%007 0, 003 p ( 7, 495£X£7, 505 ! 1p£ £ 1p£T£ ç ¸ ç 0, 002 0, 002 0, 002 0, 002 0, 002 è ø è p7, 495£X£7, 505 ! 1p ( %3, 5£T£1, 5 ! 1 P ( 1, 5 ! % ( P3%, 5 ! 1 ( P1, 5 ! # ( P3, 5 ! 1 ( ( £ ! 1 # % 1 p7, 495£X7, 505 0, 9332 0, 99976 1 0, 93296 . Partie C : 1 a. Justifier que la variable aléatoireYsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.  On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 pièces. l’épreuve de Bernoulli est « on  répète 100 fois de manière indépendante un tirage avec remise des pièces. La variable aléatoireYqui,  à tout prélèvement de 100 pièces, associe le nombre de pièces non conformes.  On admet que la probabilité qu’une pièce soit non conforme, sachant qu’elle a été acceptée,  est 0,0053. Donc la variable aléatoireYsuit une loi binomiale de paramètres n 1 100  avec p10, 0053 et q10, 9947 .  b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoireY.