Session scientifique Travaux pratiques (TP) de Mathématiques sur le produit scalaire
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Travaux diriges
Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2011) pour Première S

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Exrait

ère TP 1SCALAIRE MATHEMATIQUESSSI PRODUIT Exercice 1u13v17  Sachant que les vecteursuetvsont tels que , etu´v113,
2 ´ # %2u%4v. 2u#4v  calculer les produits scalaires suivants : 1.u(u3v). 2.(u v). 3.( !( ! Exercice2  Le plan est rapporté au repère orthonormal(O;i,j). Soient les pointsA(1 ; 1),B(4 ; 3) etC(−1 ; 6). 1. Calculer le produit scalaireAB.AC.
µ −1 2. En déduire cos(A!en degré à 10 , puis une valeur approchée de près. µ A
· 3.On considère un triangleABCtel queAB= 4,AC= 6 etBAC1p/ 3. CalculerBC. Exercice 3  ABCest un triangle tel queAB= 6,AC= 7 etBC= 5.
· 1. Calculer le cosinus de l’angleACB.
· 2. En déduire la valeur exacte du sinus de l’angleACB. Exercice 4 u14v171p A- Soit ; et(u;v) / 6. Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants 2  1.u.v3. 2. (2u%4v).(2u#4v)(4u%5v) u13v141p B- Soit ; et(u;v) / 4la valeur exacte de chacun des nombres suivants. Calculer 2 %v u#v%  1.u.v 2.(9u5!.(9 5! 3.(2u3v!
v%; C-Onu(3 ; 0!(1 considère les trois vecteurs : ;
3w(%2 ;y! !et
1. Calculercos(u;v)et en déduire une mesure de l’angle(u;v). y 2. Déterminer tel que les vecteursvetwsoient orthogonaux Exercice 5  Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O;i,j)d’unité graphique 1 cm.  Soient les pointsA(3 ; 0) ,B(0; 3 ) ,Cet(0 ; 6 ) D(3;y) . 1. (a) Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier.  (b) En déduire la mesure en degrés des angles du triangle OAB. 2. (a) Calculer les distances AB, BC et AC. · cosBAC ·  (b) Calculer la valeur exacte de( !, en déduire la mesure, arrondie au degré, de l’angleBCA. ·  (c) En déduire la mesure de l’angleBAC. 3. Déterminer par le calcul le ou les nombres y tel(s) que le triangle ACD soit rectangle en D.
Exercice 6 9 1.Soit un cercle de centre I( 3, 1) et de rayon5et A le point de coordonnées (4, 3). 9  Vérifiez queApassant par A.est un point du cercle et déterminer l'équation de la tangente à 2.ABCest un triangle tel queAB= 7,BC= 5 etCA= 8. On noteHle pied de la hauteur issue deBetG le centre de gravité du triangle. a. Calculer les angles de ce triangle. b. Calculer le produit scalaireAB.AC et en déduire la longueurAH. c. ExprimerAGen fonction des vecteursABetAC, en déduire la longueurAG.
Exercice n° 7
Soit ABCD un carré de côtéa, I le milieu de [BC] et J celui de [DC]. · On se propose d'évaluer l'angleIAJde mesureq. cos(q) 1) ExprimerAI.AJen fonction de et dea. 2) a). ExprimerAIetAJà l'aide des vecteursABetAD.  b) Donner une autre expression deAI.AJ. cos(q) 3) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de et une -2  valeur approchée à 10 près par défaut, deq(en degrés).
A
D
A
a
B
F
q
a/2
a
Exercice 8 La figure ci-dessous représente un rectangleABCDtel que : AB= 5 etBC= 3 ; un triangleABFéquilatéral et un triangle BCErectangle et isocèle enC. Le pointHest le milieu du segment [AB]. Calculer les produits scalaires suivants :  1.AB´AH; 2.BC´BE; 3.AB´AF;  4.BD´CE; 5.BE´BA; 6.AD´CE. Exercice 9  ABCDest un carré direct de côté 1. On construit le triangle équilatéral directABE, puis  le carré directEBGF.
· 1. Que vaut l’anglepuis .? En déduire CBE BC.BE DA.BE 2. CalculerEA.EB.
D
A
E
I
C
B
B
C
F
D
a/2
C
J
E
G
3. Démontrer que le triangleBCGest équilatéral. . En déduireBC.BG puisDA.EF4. CalculerAE.EF 5. En utilisant la relation de Chasles, calculerDE.EF. 6. En déduire que les pointsD,E,Gsont alignés. Exercice 10  Un avion décolle à 21 h 55 de l’aéroport A vers l’aéroport B. Il vole à 320 km/h.  Les durées seront calculées à 1 minute près et les distances à 1 km près, les distances sur la figure  Sont exprimées en km. 1. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport B. 2. Quand l’avion arrive au dessus de D il est détourné vers l’aéroport C en raison d’un épais brouillard  au dessus de l’aéroport B.C
 a. Calculer la distance de D à C.  b. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport C.  c. Déterminer une mesure de chacun des trois angles  du triangle BCD. 3. Un autre avion décolle sans escale (vol direct) à 22 h 10  de l’aéroport A vers l’aéroport C. Il vole à la même vitesse  a . Calculer la distance de A à C.  b. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport C
120 120° B
200
D
200
Exercice 11  Dans le plan muni du repère orthonormal(O;i,j)on donne A(−1; 2) ; B (4; 7) et C (5; 0) 1. Déterminer une équation de la hauteur du triangle ABC issue de B. 2. Déterminer une équation de la droite (AC) . 3. Déterminer les coordonnées du point H, projection orthogonale de B sur la droite (AC) . Exercice 12  On suppose que dans le plan muni du repère orthonormal(O;i,j), on donne les points suivants :  A(12; 0) ; B (0; 6) et C (−2; 0) . (a) Déterminer une équation de la hauteurhA. (b) Déterminer une équation de la hauteurhB. (c) Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle ABC. Exercice 13  Dans le repère orthonormal(O;i,j)on considère les pointsA( –1 ; 2),B(0 ; –3) etC(3 ; 1).
A
 Un graphique complet, montrant l’ensemble de l’exercice sera réalisé. 1. a. Déterminer les coordonnées des vecteursAB,ACetBC.  b. Calculer les longueursAB,ACetBC. ·  c. En déduire une valeur approchée au degré près de l’angleACB. 2. CalculerCA.CBpuisCH.CBHest le pied de la hauteur issue deA, dans le triangleABC. 3. a. Citer un vecteur normal de la hauteur (AH).  b. Déterminer une équation de (AH). 4. a. Déterminer les coordonnées deG, centre de gravité du triangleABC.  b.Gest-il un point de (AH) ? 5. a. Déterminer les coordonnées du pointDtel queACDBsoit un parallélogramme. uuuu uuuu 1 M C#M B1AD  b. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan . 2
Exercice 1 | | | | | | |  1.u´(u#3v)1u.v#3u.v113#3´13152. 2 2 | | | | | | 2  2.u%v1u%u v#v1 % # 1 % 1´ ´ . ( ) 2 . 9 2 3 7 49 58 42 18 2 2 2 2 | | | | | | | | | | | | æ ö æ ö 2u%4v. 2u#4v14u#8u.v%8u.v%16v14u1%6v419´1%6 4´9 316 78%4 714%8  3.ç ¸ ç ¸ è ø è ø Exercice 2 | | | | | | :( !(%!, donc on a : AB.AC AB3; 2AC2; 5AB.AC1xx'#yy'1(3)´(%2)#(2)´(5)1 %6#1014 AB19#4113etAB14#25129, en appliquant la formule du produit scalaire , on obtient : | | | | | | | | æ ö æ ö æ ö4 1 Û 1 ´ ´ Û 1 AB.AC AB.AC.cosçAB;AC¸cos4 13 29 çAB;AC¸cosçAB;AC¸ è ø è ø è ø13´29 | | æ ö  EtçAB;AC¸»78°. è ø Exercice 3
 ABCest un triangle tel queAB= 6,AC= 7 etBC= 5.
| | | | | | 2 2 2æ ö ææ ö AB1CA#CB%2´CA´CB´cosCA;CBÛ36149#25%2´7´5´cosCA;CBÛ36174%70 cosCA;CB ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø è ø è ø
| | | | æ ö36%74 38 19æ ö cosCA;CB1 1 1CA;CB»57°  et . ç ¸ ç ¸ è ø3570 70 è ø Exercice 4 | | | | | | æ ö u.v1u´v´cosu;v14´7´cos(p/ 6!128´3 / 2114 3 A-ç ¸ è ø 2 2 2 2 | | | | | | | | | | | | æ ö æ ö 2u%4v. 2u#4v14u#8u.v%8u.v%16v14u1%6v411´6 1%6 4´9 614 78%4 712%0 ç ¸ ç ¸ è ø è ø 2 2 2 | | | | | | æ ö 2 2 4u%5v116u%2´4´5´u.v#25v116´4%40 1´4 3#25´71256 5%60 3 1#225 11481 5%60 3 ç ¸ è ø | | | | | | æ ö u.v1u´v´cosu;v13´4´cos(p/ 4!112´2 / 216 2 B-ç ¸ è ø 2 2 2 2 | | | | | | | | æ ö æ ö 9u%5v. 9u#5v181´u%25´v181´u%25´v181´%25 4´² 811 9´2%5 1´6 7129 4%00 3219 ç ¸ ç ¸ è ø è ø 2 2 2 | | | | | | æ ö 2 2 2u%3v14u%2´2´3´u.v#9v14´3%12 6´2 9#4´ 136 7%12 2 #44 1180 7%2 2 ç ¸ è ø | | C-1. D’une part ,u.v1xx'#yy'13´(%1!#0´31 %d’autre part3 ,
| | | | | | | | | | | | æ ö æ ö æ æ ö 2 u.v u. cos ; 3² 0² ( 1)² ( 3) cos ; 6 cos ; 1vv u ´ % #1 # u v1u v.Donc6 cosu;v¸1 %3, ç ¸ ç ¸ ç ¸ç è ø è ø è ø è ø | | | | æ ö1æ ö cosu;v1 %u;v12p/ 3  c’est-à-direç ¸, d’oùç ¸. 2 è ø è ø | || | 2. si les vecteurs et sont orthogonaux , alors :(%1)(%2)#3´y10, doncy1 %/ 3 .2 3 v wu.w10 Exercice 5| | | | æ ö| | OA1OB OA.OB#OA´OBcosOA;OB13´0#0´310 1. a. etç ¸, donc les vecteurs et sont OA OB è ø  Orthogonaux et le triangle OAB est rectangle isocèle en O. Ù Ù Ù  b. ; AOB190°OAB1OBA145° | | 1 # 1 1BC13cm 2. a.AB(3;3!, doncAB18 3 3² 3² 2cm.CB(0;%3!donc et
| (3!AC1 AC%;6
(%3)²#1
9#361
4513
5cm
| | | | | | | | æ ö æ ö æ CB.CA1CB´CA´cosCB;CA13´3 5 cosCB;CA19 5 cosCB;CA  b. D’une part ,ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø è ø è ø | | | | et  d’autre partCB(0;%3!AC(3;%6!CB.CA1xx'#yy'10´3#(%3)(%6)118
| | | | æ ö æ ö518 2 Ù  d’oùcos9 5 CB;CA118ÛcosCB;CA1 1et ° ç ¸ ç ¸BCA»27 è ø è ø9 5 5 Ù Ù  c. donc ° ° CBA1180%45° 1135BAC1180%135° %27°118 | | 3. Le triangle ACD soit rectangle en D doncDC(%3;6%y!etDA(0;y!
| | DC.DA1xx'#yy'1(%3)´0#(6%y)y
1y(6%y)
10
Ûy
10ou y
. 16
D(3; 6)  Or y = 0 correspond au point A, donc le point D a pour coordonnées : Correction 6
H
G
C
B A I 1. Avec Al-Kashi, on a immédiatement : D’après la formule d’AL-KASHI : | | 2 2 2æ ö AB1CA#CB%2´CA´CB´cosCA;CB ç ¸ è ø | | 2 2 2æ ö 718#5%2´8´5´cosCA;CB ç ¸ è ø | | | | æ ö40 1æ ö ÞcosCA;CBÞ1 1 cosCA;CB160° ç ¸ ç ¸ è ø80 2è ø  De même on trouve | | 2 2 2æ ö BC1AB#AC%2´AB´AC´cosAB;AC ç ¸ è ø 2 2 2 | | Ù æ ö8#7%5 11 ° ° ° µ  cosAB;ACÞ1 1 A»38°et% »1 % . ç ¸B89180 38 60 è ø2.8.7 14 | | | | æ ö11 . . .cos ; 7 8144 2.AB AC1AB ACçAB AC´¸1 ´ ailleurs, par è ø14 | | | | | | æ ö44 1 1 ´ ´ 1 ´ ´ 1 ´ Þ 1 1 AB.AC AB.AHAH AB cosçAB;AH¸AB AHcos 0AHAB AH 5, 5 . è ø8 | | | | | | 2 2æ1 1ö1 1 AG1AI1AB#AC1AB#AC 3.ç ¸.On a alors : 3 3è2 2ø3 3 2 2 uuur uuur | | | | | 2 2 2æ1 1ö1 1 1 1 1 2 1 201 AG1AG1AB#AC1AB#2´ ´ ´AB.AC#AC1 ´49# ´44# ´641. ç ¸ è3 3ø99 9 9 3 9 9 3 201  D’oùAG1 »4, 7 . 3 Exercice 8 | | | | | | | |æ ö 1) Une première expression de estAI.AJ1AI´AJ´cosAI;AJ ç ¸ AI.AJ è ø En appliquant lethéorème de Pythagoredans les triangles ABI et ADJrectanglesen B et D, on établit que : 2 | | æaö5a²a5a5 5a AI1AJ1AB²#BI²1a²#²1. AinsiAI.AJ´1 ´ cos(q)1cos(q)ç ¸ è2ø442 2 uu uuu uu uuu uuu uuu uuu 1 1 2) a) En utilisant larelation de Chasles, on écritAI1AB#BI1AB#BC1AB#AD2 2