Session scientifique Travaux pratiques (TP) de Mathématiques sur le produit scalaire

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Travaux pratiques (TP) en Mathématiques (2011) pour Première S

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Exrait

ère TP 1SCALAIRE MATHEMATIQUESSSI PRODUIT Exercice 1 u13v17  Sachant que les vecteurs u et v sont tels que , et u´v113 ,

2 ´ # % 2u%4v. 2u#4v  calculer les produits scalaires suivants : 1. u(u3v) . 2. (u v) . 3. ( !( ! Exercice2  Le plan est rapporté au repère orthonormal (O;i,j) . Soient les pointsA(1 ; 1),B(4 ; 3) etC(−1 ; 6). 1. Calculer le produit scalaire AB.AC .

µ −1 2. En déduire cos ( A ! en degré à 10 , puis une valeur approchée de près. µ A

· 3.On considère un triangleABCtel queAB= 4,AC= 6 et BAC1p/ 3 . CalculerBC. Exercice 3  ABCest un triangle tel queAB= 6,AC= 7 etBC= 5.

· 1. Calculer le cosinus de l’angle ACB .

· 2. En déduire la valeur exacte du sinus de l’angle ACB . Exercice 4 u14v17 1p A- Soit ; et (u;v) / 6 . Calculer la valeur exacte de chacun des nombres suivants 2  1. u.v 3. 2. (2u%4v).(2u#4v) (4u%5v) u13v14 1p B- Soit ; et (u;v) / 4 la valeur exacte de chacun des nombres suivants. Calculer 2 %v u#v %  1. u.v  2. ( 9u5 ! . ( 9 5 !  3. ( 2u3v !

v%; C-On u ( 3 ; 0 ! ( 1 considère les trois vecteurs : ;

3w ( %2 ;y ! ! et

1. Calculer cos(u;v) et en déduire une mesure de l’angle (u;v) . y 2. Déterminer tel que les vecteurs v et w soient orthogonaux Exercice 5  Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;i,j) d’unité graphique 1 cm.  Soient les points A(3 ; 0) ,B(0; 3 ) , C et (0 ; 6 ) D(3;y) . 1. (a) Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifier.  (b) En déduire la mesure en degrés des angles du triangle OAB. 2. (a) Calculer les distances AB, BC et AC. · cosBAC ·  (b) Calculer la valeur exacte de ( ! , en déduire la mesure, arrondie au degré, de l’angle BCA . ·  (c) En déduire la mesure de l’angle BAC . 3. Déterminer par le calcul le ou les nombres y tel(s) que le triangle ACD soit rectangle en D.

Exercice 6 9 1.Soit un cercle de centre I( 3, 1) et de rayon 5 et A le point de coordonnées (4, 3). 9  Vérifiez queApassant par A.est un point du cercle et déterminer l'équation de la tangente à 2.ABCest un triangle tel queAB= 7,BC= 5 etCA= 8. On noteHle pied de la hauteur issue deBetG  le centre de gravité du triangle. a. Calculer les angles de ce triangle. b. Calculer le produit scalaire AB.AC  et en déduire la longueurAH. c. Exprimer AG en fonction des vecteurs AB et AC , en déduire la longueurAG.

Exercice n° 7

Soit ABCD un carré de côtéa, I le milieu de [BC] et J celui de [DC]. · On se propose d'évaluer l'angle IAJ de mesure q . cos(q) 1) Exprimer AI.AJ en fonction de et dea. 2) a). Exprimer AI et AJ à l'aide des vecteurs AB et AD .  b) Donner une autre expression de AI.AJ . cos(q) 3) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de et une -2  valeur approchée à 10 près par défaut, de q (en degrés).

A

D

A

a

B

F

q

a/2

a

Exercice 8 La figure ci-dessous représente un rectangleABCDtel que : AB= 5 etBC= 3 ; un triangleABFéquilatéral et un triangle BCErectangle et isocèle enC. Le pointHest le milieu du segment [AB]. Calculer les produits scalaires suivants :  1. AB´AH ; 2. BC´BE ; 3. AB´AF ;  4. BD´CE ; 5. BE´BA ; 6. AD´CE . Exercice 9  ABCDest un carré direct de côté 1. On construit le triangle équilatéral directABE, puis  le carré directEBGF.

· 1. Que vaut l’anglepuis .? En déduire CBE BC.BE DA.BE 2. Calculer EA.EB .

D

A

E

I

C

B

B

C

F

D

a/2

C

J

E

G

3. Démontrer que le triangleBCGest équilatéral. . En déduire BC.BG  puis DA.EF 4. Calculer AE.EF 5. En utilisant la relation de Chasles, calculer DE.EF . 6. En déduire que les pointsD,E,Gsont alignés. Exercice 10  Un avion décolle à 21 h 55 de l’aéroport A vers l’aéroport B. Il vole à 320 km/h.  Les durées seront calculées à 1 minute près et les distances à 1 km près, les distances sur la figure  Sont exprimées en km. 1. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport B. 2. Quand l’avion arrive au dessus de D il est détourné vers l’aéroport C en raison d’un épais brouillard  au dessus de l’aéroport B. C

 a. Calculer la distance de D à C.  b. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport C.  c. Déterminer une mesure de chacun des trois angles  du triangle BCD. 3. Un autre avion décolle sans escale (vol direct) à 22 h 10  de l’aéroport A vers l’aéroport C. Il vole à la même vitesse  a . Calculer la distance de A à C.  b. Déterminer l’heure d’arrivée à l’aéroport C

120 120° B

200

D

200

Exercice 11  Dans le plan muni du repère orthonormal (O;i,j) on donne A(−1; 2) ; B (4; 7) et C (5; 0) 1. Déterminer une équation de la hauteur du triangle ABC issue de B. 2. Déterminer une équation de la droite (AC) . 3. Déterminer les coordonnées du point H, projection orthogonale de B sur la droite (AC) . Exercice 12  On suppose que dans le plan muni du repère orthonormal (O;i,j) , on donne les points suivants :  A(12; 0) ; B (0; 6) et C (−2; 0) . (a) Déterminer une équation de la hauteurh A . (b) Déterminer une équation de la hauteurh B . (c) Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle ABC. Exercice 13  Dans le repère orthonormal (O;i,j) on considère les pointsA( –1 ; 2),B(0 ; –3) etC(3 ; 1).

A

 Un graphique complet, montrant l’ensemble de l’exercice sera réalisé. 1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB , AC et BC .  b. Calculer les longueursAB,ACetBC. ·  c. En déduire une valeur approchée au degré près de l’angle ACB . 2. Calculer CA.CB puis CH.CB oùHest le pied de la hauteur issue deA, dans le triangleABC. 3. a. Citer un vecteur normal de la hauteur (AH).  b. Déterminer une équation de (AH). 4. a. Déterminer les coordonnées deG, centre de gravité du triangleABC.  b.Gest-il un point de (AH) ? 5. a. Déterminer les coordonnées du pointDtel queACDBsoit un parallélogramme. uuuu uuuu 1 M C#M B1AD  b. Déterminer l’ensemble des pointsMdu plan . 2

Exercice 1 | | | | | | |  1. u´(u#3v)1u.v#3u.v113#3´13152 . 2 2 | | | | | | 2  2. u%v1u%u v#v1 % # 1 % 1´ ´ . ( ) 2 . 9 2 3 7 49 58 42 18 2 2 2 2 | | | | | | | | | | | | æ ö æ ö 2u%4v. 2u#4v14u#8u.v%8u.v%16v14u1%6v419´1%6 4´9 316 78%4 714%8  3. ç ¸ ç ¸ è ø è ø Exercice 2 | | | | | | : ( !( % ! , donc on a : AB. AC AB3; 2AC2; 5AB.AC1xx'#yy'1(3)´(%2)#(2)´(5)1 %6#1014 AB19#4113 et AB14#25129 , en appliquant la formule du produit scalaire , on obtient : | | | | | | | | æ ö æ ö æ ö 4 1 Û 1 ´ ´ Û 1 AB.AC AB.AC.cos ç AB;AC ¸ cos4 13 29 ç AB;AC ¸ cos ç AB;AC ¸ è ø è ø è ø13´29 | | æ ö  Et ç AB;AC¸»78° . è ø Exercice 3

 ABCest un triangle tel queAB= 6,AC= 7 etBC= 5.

| | | | | | 2 2 2 æ ö ææ ö AB 1 CA # CB % 2 ´ CA ´ CB ´ cosCA;CB Û 36 1 49 # 25 % 2 ´ 7 ´ 5 ´ cosCA;CB Û 36 1 74 % 70 cosCA;CB ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø è ø è ø

| | | | æ ö 36%74 38 19 æ ö cosCA;CB1 1 1CA;CB»57°  et . ç ¸ ç ¸ è ø 3570 70 è ø Exercice 4 | | | | | | æ ö u.v1u´v´cosu;v14´7´cos ( p/ 6 ! 128´3 / 2114 3 A- ç ¸ è ø 2 2 2 2 | | | | | | | | | | | | æ ö æ ö 2u%4v. 2u#4v14u#8u.v%8u.v%16v14u1%6v411´6 1%6 4´9 614 78%4 712%0 ç ¸ ç ¸ è ø è ø 2 2 2 | | | | | | æ ö 2 2 4u%5v116u%2´4´5´u.v#25v116´4%40 1´4 3#25´71256 5%60 3 1#225 11481 5%60 3 ç ¸ è ø | | | | | | æ ö u.v1u´v´cosu;v13´4´cos ( p/ 4 ! 112´2 / 216 2 B- ç ¸ è ø 2 2 2 2 | | | | | | | | æ ö æ ö 9u % 5v. 9u # 5v 1 81 ´ u % 25 ´ v 1 81 ´ u % 25 ´ v 1 81 ´ 3² % 25 4 ´ ² 8 1 1 9 ´ 2 % 5 1 ´ 6 7 1 29 4 % 00 32 1 9 ç ¸ ç ¸ è ø è ø 2 2 2 | | | | | | æ ö 2 2 2u%3v14u%2´2´3´u.v#9v14´3%12 6´2 9#4´ 136 7%12 2 #44 1180 7%2 2 ç ¸ è ø | | C-1. D’une part , u.v1xx'#yy'13´ ( %1 ! #0´31 % d’autre part3 ,

| | | | | | | | | | | | æ ö æ ö æ æ ö 2 u.v u. cos ; 3² 0² ( 1)² ( 3) cos ; 6 cos ; 1vv u ´ % #1 # u v1u v . Donc 6 cosu;v¸1 %3 , ç ¸ ç ¸ ç ¸ç è ø è ø è ø è ø | | | | æ ö 1 æ ö cosu;v1 %u;v12p/ 3  c’est-à-dire ç ¸ , d’où ç ¸ . 2 è ø è ø | | | | 2. si les vecteurs et sont orthogonaux , alors : (%1)(%2)#3´y10 , donc y1 % / 3 . 2 3 v wu.w10 Exercice 5 | | | | æ ö | | OA1 OB OA.OB#OA´OBcosOA;OB13´0#0´310 1. a. et ç ¸ , donc les vecteurs et sont OA OB è ø  Orthogonaux et le triangle OAB est rectangle isocèle en O. Ù Ù Ù  b. ; AOB190°OAB1OBA145° | | 1 # 1 1 BC13cm 2. a. AB ( 3;3 ! , donc AB18 3 3² 3² 2cm . CB ( 0;%3 ! donc et

| ( 3 ! AC1 AC%;6

(%3)²#6²1

9#361

4513

5cm

| | | | | | | | æ ö æ ö æ CB.CA1CB´CA´cosCB;CA13´3 5 cosCB;CA19 5 cosCB;CA  b. D’une part , ç ¸ ç ¸ ç ¸ è ø è ø è ø | | | | et  d’autre part CB ( 0;%3 ! AC ( 3;%6 ! CB.CA1xx'#yy'10´3#(%3)(%6)118

| | | | æ ö æ ö 518 2 Ù  d’où cos9 5 CB;CA118ÛcosCB;CA1 1 et ° ç ¸ ç ¸ BCA»27 è ø è ø 9 5 5 Ù Ù  c. donc ° ° CBA1180%45° 1135BAC1180%135° %27°118 | | 3. Le triangle ACD soit rectangle en D donc DC ( %3;6%y ! et DA ( 0;y !

| | DC.DA1xx'#yy'1(%3)´0#(6%y)y

1y(6%y)

10

Ûy

10ou y

. 16

D(3; 6)  Or y = 0 correspond au point A, donc le point D a pour coordonnées : Correction 6

H

G

C

B A I 1. Avec Al-Kashi, on a immédiatement : D’après la formule d’AL-KASHI : | | 2 2 2 æ ö AB1CA#CB%2´CA´CB´cosCA;CB ç ¸ è ø | | 2 2 2 æ ö 718#5%2´8´5´cosCA;CB ç ¸ è ø | | | | æ ö 40 1 æ ö ÞcosCA;CBÞ1 1 cosCA;CB160° ç ¸ ç ¸ è ø 80 2 è ø  De même on trouve | | 2 2 2 æ ö BC1AB#AC%2´AB´AC´cosAB;AC ç ¸ è ø 2 2 2 | | Ù æ ö 8#7%5 11 ° ° ° µ  cosAB;ACÞ1 1 A»38° et % »1 % . ç ¸ B89180 38 60 è ø 2.8.7 14 | | | | æ ö 11 . . .cos ; 7 8144 2. AB AC1AB AC ç AB AC´¸1 ´ ailleurs, par è ø 14 | | | | | | æ ö 44 1 1 ´ ´ 1 ´ ´ 1 ´ Þ 1 1 AB.AC AB.AHAH AB cos ç AB;AH ¸ AB AHcos 0AHAB AH 5, 5 . è ø 8 | | | | | | 2 2 æ 1 1 ö 1 1 AG 1 AI 1 AB # AC 1 AB # AC 3. ç ¸ .On a alors : 3 3 è 2 2 ø 3 3 2 2 uuur uuur | | | | | 2 2 2 æ 1 1 ö 1 1 1 1 1 2 1 201 AG1AG1AB#AC1AB#2´ ´ ´AB.AC#AC1 ´49# ´44# ´641 . ç ¸ è 3 3 ø 99 9 9 3 9 9 3 201  D’où AG1 » 4, 7 . 3 Exercice 8 | | | | | | | | æ ö 1) Une première expression de est AI.AJ1AI´AJ´cosAI;AJ ç ¸ AI.AJ è ø En appliquant lethéorème de Pythagoredans les triangles ABI et ADJrectanglesen B et D, on établit que : 2 | | æ a ö 5a² a5a5 5a AI1AJ1AB²#BI²1a²#²1 . Ainsi AI.AJ ´1 ´ cos( q ) 1 cos( q ) ç ¸ è 2 ø 4 42 2 uu uuu uu uuu uuu uuu uuu 1 1 2) a) En utilisant larelation de Chasles, on écrit AI1AB#BI1AB#BC1AB#AD 2 2