Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

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Avec correction. Sujet et corrigé bac-stl-ch-juin-2011
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale STL CH

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Extrait

 BaccalauréatSTL Métropole 17 juin 2011- Chimie de laboratoire et de procédés industriels EXERCICE 1 6 points  Leplan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O;u,v ! . On prendra pour unité  graphique2 cm. Partie A 3 2  Pourtout nombre complexez, on noteP(z) le nombre complexe défini par : P ( z ! 1z%8z#24z%24 1. Calculer P2 . ( ! 2. Déterminer des nombres réelsaetbtels que pour tout nombre complexez, on ait 2 P z1 ( z%2 ! z#az#b ( ! ( ! 2 3. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes, l’équation z%6z#121 0 . 4. En déduire les solutions dans C de l’équation : P z10 ( ! Partie B On note A, B, C les points du plan complexe d’affixes respectives  z A 12 ; z13#i3 etz13%i3 B C 1. Placer ces trois points dans le repère ( O;u,v ! . 2. a. Déterminer le module et un argument de z B .  b.En déduite le module et un argument de z C . 3. Démontrer que le triangle OBC est équilatéral. 4.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même infructueuse sera  priseen compte dans l’évaluation.  Lespoints A, B, C appartiennent à un même cercle. Donner son centre et son rayon.

EXERCICE 2 4 points  Une entreprise produit et commercialise des articles destinés à l’industrie chimique.  Ces articles sont susceptibles de présenter au plus trois défauts.  On noteXla variable aléatoire qui à tout article prélevé au hasard dans l’ensemble des articles produits,  associele nombre de défauts. Partie A  Laloi de probabilité deXest donnée par le tableau suivant : k 2 30 1 6 0,005 P ( X1k ! 0,01 917 ………… 0, 1.Compléter ce tableau en déterminant la valeur P ( X11 ! de . 2. a.Calculer l’espérance mathématique deX.  b.Calcule l’écart type deX.

Partie B Le prix de vente d’un article est fixé à 350 € , son prix de fabrication est de 100 € . Si l’article est défectueux, l’entreprise le répare avant sa mise sur le marché. Pour chaque défaut, le coût de réparation s’élève à 40 € . Le bénéfice réalisé par l’entreprise sur la vente d’un article est alors égal au prix de vente de l’article diminué du prix de fabrication et de montant d’éventuelles réparations. On noteYla variable aléatoire qui à tout article prélevé au hasard dans l’ensemble des articles produits, associe le bénéfice en ( €) réalisé par l’entreprise lors de la vente de cet article.

1.Indiquer les quatre valeurs prises par la variable aléatoireY.

2.Dresser le tableau donnant la loi de probabilité deY.

3.Déterminer l’espérance mathématique deY.

4.Donner une estimation du bénéfice que l’entreprise peut espérer faire sur la vente de 10 000 articles.

PROBLÈME 10 points 2x  Onconsidère la fonction numérique f définie sur ¡ par : f(x)11#x%e Partie A

 Legraphique ci-contre est la courbe représentative de cette  fonctiontelle que l’affiche une calculatrice.

1.Au vu de ce graphique, dresser un tableau de variations  Possiblede f sur ¡ . 2.Conjecturer le signe de f sur ¡ . Partie B  Lesvariations et le signe de f surRsont-ils réellement ce  qu’ilssemblent être ?  C’està cette questionque se propose de répondre la partie B.

1.On admet que f est dérivable sur ¡ et on désigne par f fonction dérivée de ' laf .  Déterminerl’expression de f'(x) .

2x f' 2.Résoudre dans ¡ l’inéquation : 1 %2e2 0 .En déduire le signe desur ¡ .

y

3. a.Déterminer la limite de f en . x æ x x  b.Vérifier que pour tout réelx, f(x)11#e%e déduire la limitede. En f en #¥ . ç x ¸ è e ø

4. a.Dresser alors le tableau des variations de f sur ¡ . Déterminer la valeur exacte de son extremum.  b.Justifier que l’équation f(x)10 admet[ dans l’intervalle %0,8 ; 0, 7] une unique solution ¡ . æ ln 2 ö %1  c.Préciser la valeur exacte de f près de (0) et une valeur approchée à 10 f% . ç ¸ è 2 ø  d.Déduire des questions précédentes le signe def(x).

5.Que peut-on dire de la conjecture envisagée à la fin de la partie A ?

6.Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O;i,j ! . On prendra pour unité graphique 4 cm.  Onnote C la courbe représentative de f dans ce repère.  Construirela portion de C correspondant à des abscissesxcomprises entre −1,5 et 0,5. Partie C 1  OnnotePla partie du plan limitée par les droites d’équation x1 % etx= 0 d’une part, l’axe des 2  abscisseset la courbe C d’autre part.

1.HachurerPsur le graphique réalisé à la question B. 6.

x

1 1 2 2x 2.Démontrer que la fonctionFdéfinie par F ( x ! 1x#x%e est une primitivede f sur ¡ . 2 2 4%e 3.Démontrer que l’aire dePest égale àunités d’aire. 8e

Solution Exercice 1 Partie A 3 2 1. P ( z ! 1z%8z#24z%24 3 2 P ( 2 ! 12%8´2#24´2%2418%32 4#8 2%4 516 5% 2 est une solution de 6 0 ? Par conséquent 2 2  l’équation P z1 on a : 0 etP z1z%2 ( z#az#b ! ( !( !( ! 2 32 23 2 2. P ( z ! 1 ( z%2 ! ( z#az#b ! 1z#az#bz%2z%2az%2b z1 ( #a2% ! z ( #b2%a ! z2b ì a%21 %8 ï ì b112 b%2a124Û  Paridentification de coefficient on obtient le système suivant í í a1 %6 î ï %2b1 %24 î 2 2 2 3. z%6z#121 0 : D 1b%4ac1 ( %6 ! %4 1´1´2136 4%8112%0 %b%i%D6i%12 62i%3%b#i%D6#i12 6#2i3  Donc z1 11 13%i 3 ; z1 11 13#i3 1 2 2a22 2a2 2 2 2 ( ! 1 Û ( % ! % 4. P z0z2 ( z6z#12 ! 10Ûz%210ou z6%z1#2 01  D’aprèsles questions précédentes on a : S1 { 2 ; 3%i3 ;3#i3 } Partie B. 1. On note A, B, C les points du plan complexe d’affixes respectives  z A 12 ; z B 3 3 C 1 #i et z13%i3 y 2 B

1

O 0

-1

1

-2 C(A;R=2)

A 2

H 3

C

K 4

5

6 x

2 2 22  2a. z1a#b13#319#311212 3 B ì a3 3 cos1 1q 1 ï B z 2 3 2 ï B p q 1argz q 1#2p  Soit B B , donc on a : í et par conséquent B k , avec k΢ . 6 b3 1 ï sinq 11 1 B ï 2 z B 2 3 î p  Soit q 1argz e z1z B , on a : z1z B 1z12 3 qargz B argz2k C C , comm C C B et C 1 1% B 1 %# . 6 z1z1 OBC est isocèle en O., on déd 2 3 3. Comme C B uit que OB1OC1 et le triangle 2 3  Deplus ( OC;OB ! 1 ( OC;u ! # ( u;OB ! d’après la relation de Chasles uuur uuurr uuurr p æ pöp ( OC;OB ! 1 ( u;OB ! % ( u;OC ! 1 %% 1 et par conséquent le triangle OBC isocèle en O ç ¸ 6 è 6 ø 3 p · a pour l’angle COB1 est donc un triangle équilatéral. 3 4. Le triangle OBC étant équilatéral, les médianes, les médiatrices, les hauteurs et les bissectrices  sonttoutes confondues, son centre du cercle circonscritest aussi son centre de gravité, son orthocentre  etcentre du cercle inscrit. Or celui-ci est situé au deux tiers de chaque sommet à partir de chaque uuu uuu 2  sommet. En particulier si H est le milieu de [BC] et G son centre de gravité, alors OG1OH . 3  Hayant pour affixe 3 alors G a pour affixe 2 , d’où le centre cherché est confondu avec lepoint A  eton conclut que le rayon du cercle circonscrit au triangle OBC est R1OA12cm . Exercice 2 n sait que P X10#P X11#P X12 ! #P ( X13 ! 11  1. O ( !( !(  Donc P X1111% ( P X10#P X12#P X13 ! 11%(0, 917#0, 016#0, 005)11%0, 93810, 062 ( !( !( !( ! 2. a l’espérance mathématique est définie par : 3 E X1k´P X1k10´0, 917#1´0, 062#2´0, 016#3´0, 00510,109 å ( !( ! k10  Calculonsd’abord la variance 3 2 2 2 22 2 3 å V X1k´P X1k%E X10´0, 917#1´0, 062#2´0, 016#3´0, 005%0,109 ( !( !( !( ! k10 V ( X ! 10,171%0, 0118811 : 0,159119 , et on déduit d’après le formulaire %3 X V ! 3990,159119 0, s ( ! 1 ( X1 » près.à 10  PartieB. 1. Nombre des défauts0 1 2 3 Bénéfice correspondant 350 % 100 1 250 350 % 140 1 210 350 % 180 1 170 350 % 220 1 130  D’oùla variable aléatoire Y correspondant est égale à Y1250 ; 210 ;170 ;130 } { 2. De : k 35 40 déduit le tableau correspondant à la loi de probabilité de la variable y10%100%k , on  aléatoire Y y 250 210 170 130 k ( ! 0,917 0,016 0,060 0,005 P Y1y k 3 E ( Y1y´P Y1y# ´# ´1# ´1 ´4 å 3. ! k ( k ! 6 .005 245,016 130 0,170 0,0, 062917 210250 0, k10 4. Le bénéfice moyenespéré par article est de 245,64 € .  Doncpour 1000 articles vendus , l’entreprise peut espérer un bénéfice de 2 456 400 €.

Problème 10points  1.En utilisant le graphique, on peut conjecturerle tableau de variation suivant :  2.de même, on conjecture que f est négative sur ¡ x  0 #¥  0 f(x) Partie B 2x2x 1. f(x)11#x%e  , donc f'(x)11%2e ' ' u(x)u(x)ax ax  Puisque ( e ! 1u'(x)e ou encore ( e ! 1ae 2x2x2x 1 æ 1 ö ln 2 2. 1%2e³0Û %2e³1% Ûe£ Û2xl£n1ln%2x%Û £ ç ¸ 2 è 2 ø 2 ln 2  D’où f'(x)³0Ûx£ % . 2 2x2x2x 1 æ 1 ö ln 2  Demême f'(x)£0Û1%2e£0Û %2e£1% Ûe³ Û2xl³n1ln%2xÛ ³% . ç ¸ 2 è 2 ø 2 x  0 #¥ f'(x) + 0 2x X lim ( 1#x ! 1lim ( x ! 1 %¥ lime10lime10 limf ( x ! 1 %¥ 3.a. et( avec X 1 2x , donc. x|| %¥x%¥ x| %¥x| %¥ x| %¥ x æ x x ö x x x xx2 3. b 1#e%e11#e´ %e´e11#x%e1f(x) ç ¸ x x è e ø e x e x x lime1 #¥  Onsait que lim1 #¥ voir formulaire , donc lim10 et x x| #¥ x| #¥ x| #¥ x e æ x x ö  Donc lim%e1 % , comme somme des limites . ç x ¸ x| #¥ è e ø limf ( x ! 1 %¥  Etenfin commeproduit des limites. x| # ¥ æ ln 2 ö æ 1 ö 2´ %ln 2 ln2 ln2 ln2 ln2 1 1l ç ¸ç ¸ æ ln ö 2 % 2 ln 2 %n 2 è øè ø .  4.a f% 11%e%11 %e%11 %e%11 %% 1 ç ¸ è 2 ø 2 22 22 2 x ln 2 %#¥ 2 f'(x) + 0 1%ln 2 f(x) 2 1%ln 2  4.b Comme 2 % et la fonction 0, 7 f est continue et strictement croissante sur l’intervalle 2 ù%¥;% ( ln 2 ! / 2é elle est en particulier sur l’intervalle ]%0, 8 ;%0, 7[ù%Ì;¥l%/ 2n 2é ( ! û ûë  Deplus f(%0, 8)» %0, 001900 etf(%0, 7)»0, 534200 etÎ]f(%0, 8);f(%0, 7)[ , alors d’après le 1 a  théorèmedes valeurs intermédiaires l’équation f(x admet une solution uniquetelle que ) 0 a Î]%0,8 ;% et 0, 7[f(a)10 . æ ln 2 ö 1%ln 2 2´0 % 1»  c. f(0)11#0%e11%11 0 et f ç ¸ 0,154 è 2 ø 2  d. xa  0 #¥ Signe de f(x + 0 ) 0  5. le graphique de la calculatrice ne permet pas de voirque f(x)20 sur l’intervalle]a; 0 [ .

Partie C  1. Voir graphique ci-après. 1 11 1 2 2x2x2x ( ! 1  2. F ( x ! 1x#x%e ; F' ( x ! 11# ´2x% ´2´e11#x%e1f(x) . Alors F'x f(x) 2 22 2  prouveque F(x une primitive de ) estf(x) sur ¡ . 0 0 A1f(x)dx´u.a1 [ F(x) ] ´u.a1 [ F(%1/ 2)%F(0) ] ´u.a 3. ( ! ò %/ 2 P ( ! %1/ 2 æ %1 ö 2 ç ¸ 1 0 1 2´ 1 11 1 æ %1ö %æ %ö 2 1%1 1 %1 3 1 è ø  ; F ( 0 ! 10%e1 % F%1 #e1 #%e%1 % ç ¸ç ¸ 2 2 è 2 ø 2 2 è 2 ø 8 28 22 2e æ æ1 ö æ 3 1 öæ ö1 1 ö 4æ %e ö A1F(0)%F(%1/ 2)´u.a% %%1 %u.a1 %u.a1u.a P ç ç¸ ç¸¸ ç¸ ç ¸ [ ] 2 82e2e8 2e è èø èø øè øè ø x -1,50 -1,25-1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,000,25 0,5 f(x -1,220,03 0,13 0,14 0,00 -0,40-0,33 -0,14 ) -0,55

6. Graphique

A=16*0,0589397=0,943

-1,5

C

-1 a -0,5

y 1 Intégrale = 0,0589397

0,5

0

-0,5

-1

0,5

T

1 x