Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Pat Rick

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Avec correction. Cmetropole
Sujets Bac en Mathématiques (2011) pour Terminale S

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Extrait

Terminale SJuin 2011 Métropole Exercice 1: Partie A 1. a. Les données de l’énoncé permettent de donner directement : 0,99 T | p ( V ! = 0,02 ; V 0,02 | p ( T ! V = 0,99 ; 0,01 T | p ( T ! V = 0,97. T 0,03 0,98  V Arbre pondéré : 0,97 p VÇT ! 1p ( V ! ´p ( T ! 10, 02´0, 9910, 0198. T b. V p ( T ! ; Or T1 ( VÇT ! ÈVÇT ( 2.On cherche donc ( ! formule des probabilités totales) d’où : ( T ! p ( V T ! p1 ( Ç È ( VÇT ! !  s2 événements sont incompatibles 1p ( VÇT ! #p ( VÇT ! car ce  caril y a dépendance 10, 0198#p ( V ! ´p ( T ! V 10, 0198#0, 98´0, 0310, 0198#0, 029410, 0492; CQFD ! 3. a.positif :Probabilité que la personne soit contaminée si le test est p ( V ! ; T Ç p ( V T ! 0, 0198 Or p ( V ! »1 10, 402 soit environ 40% de "chances". T p ( T ! 0, 0492 onc V; b.On cherche d p ( ! T Ç ´ p ( T V ! p ( V ! p ( T ! V 0, 98´0, 970, 9506 Or »1 111 1 . p ( V ! 0, 9998 T p T 1%p ( T ! 1%0, 95080, 0492 ( ! Partie B 1. Aune personne choisie au hasard, on associe deux « issues » : soit la personne est contaminée (avec un probabilité p = p(V) = 0,02), soit elle ne l’est pas ; c’est donc une épreuve de Bernoulli ; On répète cette expérience 10 fois ; on a donc un « pseudo » schéma de Bernoulli (car a priori, une personne choisie ne peut l’être de nouveau). La variable aléatoire X compte le nombre de personne contaminées ; X suit donc sensiblement la loi binomiale de paramètresn= 10 etp= 0,02. p X³2 ! 11%p ( X02 ! 11% ( p ( X10 ! #p ( X10 ! ! 2. Oncherche  10   10  0 101 9 1 %´ ´# ´ ´ . 1    0, 980, 02   0, 980, 02  0 1     10 9 ( ! 11%0, 98#10´0, 02´0, 98»1%0, 9838»0, 0162 .

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Exercice 2:   Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct. ( O;u,v ! On désigne par A, B, C, D les points d’affixes respectivesz A = 1,z B = i,z C = −1,z D = −i. p i   1 3 3 1& E1r ( D ! Ûz%z1e ( z%z ! Ûz1 #i ( z%z ! z# p D AE De AA A   2 2 A;   3       1 31 31 31#3 1#3 1#3 Û 1 #i ( %i%1 ! #11 %i# %i%1# 1i% 1 ( 1i ! : E       2 22 22 22 22       réponse2. 2. #i1z%1Ûz%z1z%zÛDM1AM D A L’ensemble est donc la médiatrice du segment [AD] (qui est aussi celle du segment [BC] !). réponse1.et4.   z# i z%z D ÎiℝÛ ÎiℝÛCM^DM ¹ 3. (etM C) z#1z%z C L’ensemble est donc le cercle de diamètre [CD] privé du point C. réponse2.  p p  p 4. B arg ( i ! 2karg ( z z ! 2k ( u;BM ! 2k% 1% # p Û %1 %# p %Û 1 p # 2 22 L’ensemble est donc la demi droite ]BD) d’origine B, passant par D et privée du point B (car sinon z – i = 0 et on ne peut pas considérer l’argument). réponse3.

Exercice 3: n%x  ( x ! 1x e Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par f n par :la fonction définie sur n .   O;i,j On note C n sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( ! du plan. Patrick CHATE2 TerminaleS

Partie A

Sur le graphique ci-dessus, on a représenté une courbe C k où k est un entier naturel non nul, sa tangente T k au point d’abscisse 1 et la courbe C 3 · La droite T k coupe l’axe des abscisses au point A de coordonnées (4/5 ;0) x1xe 1. 1 . a.Limites def 1 : 1 %x X % x x#  limx1 %¥lime1lime1 #¥ lime1lim1 #¥ lime10 En :et (oucar ), x x|%¥x|%¥X|#¥ x|%¥ |x%¥ x|%¥ e limf ( x ! 1 %¥ donc, par produit, 1 . x|%¥ x %x  limxe1lim10 limf ( x ! 10 En +: (croissancescomparées) donc, 1 . x x|#¥ |#x¥ x|#¥ e  b.La fonctionf 1 comme produit de fonctions dérivables et pour tout réelest dérivable surx, % %x x% ' ( x ! 11´e#x´ %e ! 1 ( 1%x ! e 1 ( . c. %x | 'f' ( x ! 20Û ( 1%x ! e20Û1%x20Ûx01 Signe de 1 : 1  ; %x e20 |  Variations de 1 :f 1 est donc croissante sur ]; 1] et décroissante sur [1 ; +[. ¹ La courbe C k ne correspond donc pas à C 1 (variations non cohérentes) donck 1; Et commek≥ 1,k≥ 2 ; CQFD ! n x x1x e 2. n a.Pour tout entier naturel n non nul,  f ( 0 ! 10 ⇒ O ( 0; 0 ! ÎC C nn , soit les courbes n passent toutes par O ; %1 1  1   1   f ( 1 ! 1e1 ⇒ B1;ÎC CB1; n   n , soit les courbes n passent toutes par   . e  e   e 

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 b.Pour tout entier naturelnnon nulf n est dérivable surcomme produit de fonctions dérivables et n%1%x n%x n1%x%n1% pour tout réelx: n ( ! ; CQFD ! ' ( x ! 1nx e#x%e1x e ( n%x ! 1x ( n%x ! e 2%2%x ' ( x ! 1x ( 3%x ! e f' ( x ! 20Ûx ( 3%x ! e20Û3%x20Ûx03 3. Pourtout réelxon a : 3 , et 3  ; 2%x x e³0   f 3 est donc croissante sur ][ ; elle admet donc bien un maximum en 3.; 3] et décroissante sur [3 ; + 4. a.L’équation de T k est :y=f k ’(1) ( x – 1) +f k (1) = 0 ; % %% %# 1 %1 k1k1 1k1k2 Or k et k  d’où k ; f ( 1 ! 1f' ( 1 ! 1 ( k%1 ! e1T:y1 ( x%1 ! # 1x# e ee ee e La droite T k coupe donc l’axe des abscisses lorsque : %k#2 k%1%k#2e k%2 y10Ûx# 10Ûx1 %1 ; e e k%1 e k%1  k%2  Donc T k coupe bien l’axe des abscisses au point de coordonnées :   . ; 0  k%1  b.On déduit de ce qui précède et des données de l’énoncé que :  k%2   4  k%2 4 ; 01; 0Û 1Û5 ( k%2 ! 14 ( k%1 ! Ûk16    .  k%1   5  k%1 5 Partie B 1 1 n%x I1dxx e1f ( x ! dx ,n≥ 1. n n ∫ 0 ∫ 0 1 %x I1xe dx 1. Calculde 1 à l’aide d’une intégration par parties ∫ 0 % %    u'(x)1e  u(x)1 %e Posons et; Alorsgrâce à la formule d'intégration par parties , il vient :    v(x)1x  v'(x)11   1 11 1 %x I 1 1xe dx = u'(x)v(x)dx1 [ u(x)v(x) ] %u(x)v'(x)dx ∫ 0 ∫ 0 ∫ 0 0 1 1 1 %x%x1%x% 1 1% 2         1 %xe%e%1´dx1e%0%e% 1%e%1%11. ∫ 0 e e ( !( !( !   0     0   2. a.Pour tout entier naturel non nuln,f n  estpositive sur [0 ; 1]. On peut donc interpréter géométriquement I n  commel’aire délimitée par la courbe C n , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1. Les représentations graphiques données permettent alors de conjecturer le fait que la suite (I n ) semble décroissante. b.Soitnun entier naturel non nul ; 1 11 1 n#1%x n%x n1# %x nx%n x% n#1n  I%I1x e dx%x edx1x e%x edx1 ( x1% ! dxx e ; ∫ 0 ∫ 0 par linéarité ∫ 0 ∫ 0 n%x ( x%1 ! x e£0 donc,par "négativité" de l’intégrale, Or, sur l’intervalle [0 ; 1],on en déduit que 1 n%x n#1n n#1n , ce qui démontre le fait que la suite (I n ) est décroissante. ( x%1 ! x edx£0ÛI%I£0I£I ∫ 0

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c.Pour tout entier naturelnnon nul et tout réelxde [0 ; 1], f n (x) ≥ 0, donc par positivité de l’intégrale, pour tout entier naturelnnon nul I n ≥ 0. La suite (I n ) est décroissante et minorée (par 0) : elle est donc convergente. d.La fonction exponentielle étant croissante sur [0 ; 1], pour tout entier naturelnnon nul, et Pour toutréelxde [0 ; 1], il vient successivement : 0£x£1 %1£ %x£0 %1%x0 e£e£ecarx֏ecroissante sur n%1n%nx n x e£x e£xcarx³0croissante sur [0 ; 1] ième Donc par passage à l’intégrale dans la 2inégalité, il vient : 1 1 1 n%x n  1 n#1  1 I1dxx e£x dx1x1; ∫ ∫ n   0 0  n#1  n#1 0 1 1 Ainsi, n le théorème des gendarmes donne :Comme , n . 0£I£ ; lim 01lim10 limI10 n|#¥ |#¥ n|#¥ n#1 n n#1

Exercice 4: non spécialistes Partie A   nM H H étant le projeté orthogonal de M sur le plan, les vecteurset 0 sont colinéaires donc :

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     1.La formuleu.v1u´v´cosu;vdu produit scalaire donne : ( !       2 2 2 n.M H1n´M H´cosn;M H1a#b#c´M H´cosn;M Hd’où : 0 0 ( 0 ! 0 ( 0 !     2 2 2 n.M H1a#b#c´M H´cosn;M H ( ! 0 00   2 2 2  2 2 2   ; 1a#b#c´M H´cosn;M H1a#b#c´M H´cosn;M H ( !( !  0 0  0 0 xy1x´y x³0⇒x1x   H étantle projeté orthogonal deM 0  surle plan, les vecteurs 0 colinéaires donc : sont Maisn et M H   2 2 2 cosn;M H1 ±1 d’où finalement n.M H1a#b#c´M H ; CQFD ! ( 0 ! 0 0   2.La forme analytique du produit scalaire donne : n.M H1a ( x%x ! #b ( y%y ! #c ( z%z ! 0H0H0H0 1 ( ax#by#cz ! % ( ax#by#cz ! 1 %d% ( ax#by#cz ! 1a%x b%y cz%d; CQFD ! H H H0 0 0  0 0 00 0 0 HÎ ( P ! 3.On déduit de ce qui précède que :   2 2 2 | n.M H1a#b#c´M H , 0 0   1 %% % %1 %# # #1 ##z d#; |n.M 0 H ax 0 by 0 cz d ( ax by cz d !  ax by c 0 00 00 0 0 %x1x ax#by#cz#d 2 2 2 0 0 0 D’où a#b#c´M H1ax#by#cz#dÛM H1 1d ( M; ( P ! ! . 0 00 00 0 2 2 2 a#b#c Partie B A(4 ; 1 ; 5), B(3 ; 2 ; 0), C(1 ; 3 ; 6) et F(7 ; 0 ; 4). 1. a.   On a : AB ( %7;1;%5 ! et AC ( %3; 2;1 ! ; Les coordonnées de ces vecteurs n’étant pas proportionnelles, les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B et C définissent donc un plan. Les coordonnées des points A, B et C vérifient l’équation x + 2y –z –1 = 0 qui est l’équation cartésienne d’un plan. On en déduit qu’il s’agit d’une équation du plan (ABC). Autre méthode(plus longue à mettre en œuvre): on peut aussi retrouver cette équation en   recherchant un vecteur normal, doncorthogonal àAB etACen vérifiant que le vecteur de (ou   coordonnées (1 ; 2 ; -1) est orthogonal à AB  etAC) et en utilisant un des points A, B ou C pour trouver la constante correspondant. 1 ( 7 ! 2 0 ( 1 ! 4 1 ax#by#cz#d% ´ %# ´ # %´ % 6 12 12 F F F b.d1d ( F; ( P ! ! 1 1 11 12 6. 2 2 22 6 6 2 2 a#b#c 1#2# ( %1 ! 2. a. ( D ! admet tout vecteur normal àétant la droite passant par le point F et perpendiculaire au plan (P)  (P) pour un vecteur directeur donc notammentn ( 1; 2;%1 ! . x#71k´1  x1 %7#k     Et, 1 ´1 ÛÎ D Û M ( x;y;z ! ( ! FM kn  y k2Û  y12k oùkÎ.   %41k´ ( %1 ! z14k%   Patrick CHATE6 TerminaleS