Sujets Bac de Mathématiques de niveau Terminale

Kdouh

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Sujets Bac en Mathématiques (2010) pour Terminale STL

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Extrait

Exercice 1( 4 points )

y t 1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y" # 25y 1 0 , où,est une fonction de la variable réelle  Définieet deux fois dérivable sur l’ensemble R des nombres réels .

2. Déterminer la fonction f , solution de l’équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions p1 p1 % e f' ( ! 5 .  suivantes: f ( ! 3 t æ p 3. Vérifier que , pour tout nombre réel t , f(t) 1 2 cos5t # . ç ¸ è 6 ø

4. a. Résoudre dans R l’équation 2 cosx 1 1 1  b.En déduire les solutions dans R de l’équation f(t) 1 .

Exercice 2( 5 points )

Un conteneur contient 100 flacons de même capacité, remplis d’une solution liquide contenant un produit  Pet dosée de la manière suivante : · 5 flacons sontremplis d’unesolution dosée à 10% du produit P ; · à 20% d 30 flacons sontremplis d’unesolution doséeu produit P ; · remplis d’une40 flacons sontsolution dosée à 30% du produit P ; · 20 flacons sontremplis d’unesolution dosée à 40% du produit P ; · solution dosée àremplis d’une5 flacons sont 50% du produit P.  On tire au hasard un flacon du conteneur . On admet que tout les flacons ont la même probabilité  d’êtretirés.  Onappelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage d’un flacon , associe le nombre exprimant le  pourcentagede la solution contenue dans ce flacon . Ainsi , si on tire l’un des cinq flacons dont le  contenuest dosée à 10% , X prend la valeur 10 .

1. Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

2. Calculer l’espérance mathématique E ( X ! de la variable aléatoire X .

3. Déterminer le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu de 100 flacons dans un  mêmerécipient.

4. Dans cette question , toute trace de recherche , même incomplète , ou d’intiative même non fructueuse,  seraprise en compte dans l’évaluation .  Leproduit P étant toujours dosé soit à 10% , soit à20%, soit à 30% , soit à40%, soit à 50% , on souhaite  Obtenir E X 1 29, 2 en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons . ( !  Proposerune manière de parvenir à ce résultat.

Problème 11points 3 2 2  Onconsidère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; #¥ [ par : f(x) 1 x % xlnx # 1 . 2 x 1. Déterminer la limite de la fonction f en 0 ( on rappelle que la limite dexlnxlorsque tend  vers0 est 0). 3 2 æ ö 2.Vérifier que, pour tout nombre réelappartenant à l’intervall f x 1 x % x # . x e ]0; #¥ [ , ( ) ç ln ¸ 1 è 2 ø  Endéduire la limite de la fonction f en #¥ .

3. On désigne par f' la dérivée de la fonction f . x a. Calculer f'(x) appartenant à l’intervalle.Vérifier que, pour tout nombre réel ]0; #¥ [ , 1 ( % ! f'(x) 2x1 lnx .

x b. Etudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de.

4. Donner le tableau de variation de la fonction f . Indiquer les limites en 0 et en #¥ , ainsi que la valeur de  L’extremumde la fonction f .

on f(x) 1 0 a 5. Montrer que l’équatiadmet une solutionunique dans l’intervalle ]0; #¥ [ . % 1 a  Donnerun encadrement ded’amplitude . 10

6. On notela courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O;i,j !  unitégraphique 2 cm. a  Tracerla courbe( faire figurer sur le tracé le point A de la courbe d’abscisse).

11 1 3 3 g 7. On considère la fonctiondéfinie sur l’intervalle ]0; #¥ [  par g(x)1x%xlnx#x . 8 3 g  Vérifierque la fonctionest une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0; #¥ [  .

8. On considère le domaine D limité par la courbe,l’axe des abscisses et les droites d’équations  respectives x 1 2 et x 1 4 .  Calculerl’aire A du domaine D . Donner une valeur exacte , puis une valeur approchée de A au  centième.

Corrigé Bac STL-CHIMIEFrance Métropolitaine 2010 Exercice 1 (4 points) 2 2 1 y"#25y10 est de la . forme: y"#wy1 0 avec w1 25 , donc w1 l’ensemble des solutions 5 et 1 ( w ! # ( w ! 1 ( ! # ( !  apour expression : y Acosx Bsinx Acos 5x Bsin 5x . 2.on a : f(x)1Acos 5x#Bsin 5x et f'(x)1 %5Asin 5x#5Bcos 5x . ( !( !( !( ! p1 ( p ! # ( p ! 1 % f( )Acos 5Bsin 5A1 %3 , donc A13 p1 % ( p ! # ( p ! 1 %1 f5'( )Asin 55Bcos 55B5 , donc B1 % 1. p1  Lasolution f de l’équation différentielle , qui vérifie les conditions : f(p)1 3 et f'( )5  estdonnée par : f(x)13 cos ( 5x ! %sin ( 5x ! . é ù æ pö é æ p ö æ pù ö 3 1 2 cos5t# 12 cos ( 5t ! cos%sin ( 5t ! sin12 cos ( 5t ! %sin ( 5t ! ç ¸ê ç¸ ç ¸ú êú è 6 ø è 6 62 2 ë øè øû 3. ë û . 13 cos ( 5t ! %sin ( 5t ! 1f(t) ì p x1 #2kp p 1 æ ö ï 3 x1 Ûx1 Ûx1 Û 4. 2cos 1cos coscos ç ¸ í où k est un entier relatif. 2 è 3 ø p ï x#1 %2kp ï î 3 b. ì p p ì p ì p2kp 5t# 1 #2kp 5t1 #2kp t1 # p p æ öæ ö 1 ï 6 3 ï 6 ï 30 5 f(t)11Þ2 cos5t# 11Þcos 5t# 1Û ÞÞ ç ¸ç ¸ í íí è 6 ø è 6 ø 2 p pp p2kp ï ïï 5t% ## 12kp5t#1 %2kpt#1 % ï ï ï î 6 3 î2 î 10 5 où k est un entier relatif

Exercice 2 (5 points) Un conteneur contient 100 flacons de même capacité, remplis d'une solution liquide contenant un produit P. 1) On tire au hasard un flacon du conteneur. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque  tiraged'un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue  dansce flacon. 5  5flacons sont remplis d'une solution dosée à 10% du produit P : p ( X110 ! 1 10, 05 100 30  30flacons sont remplis d'une solution dosée à 20% du produit : p ( X120 ! 1 10, 3 100 40  40flacons sont remplis d'une solution dosée à 30% du produit P : p ( X130 ! 1 10, 4 100 20  20flacons sont remplis d'une solution dosée à 40% du produit P : p ( X140 ! 1 10, 2 100 5  5flacons sont remplis d'une solution dosée à 50% du produit P : p ( X120 ! 1 10, 05 . 100  D’oùla loi de probabilité de la variable aléatoire X : X1x 10 2030 40 50 i 0,05 0,3 0,4 0,2 0,05 p ( X1x ! i 2) Espérance mathématique de X : E X110´0, 05#20´0, 3#30´0, 4#40´0, 2#50´0, 05129 ( ! 3) Le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu des 100 flacons dans un même récipient serait ( ! 1  doncun dosage moyen, soit puisque E X un dosage moyen de 29 , 29% 4)Le produit P étant toujours dosé soit à 10%, soit à 20%, soit à 30%, soit à 40%, soit à 50%, on souhaite

( ! 1  obtenir E X modifiant le dosage de la solution contenue dans un 29, 2 en seul des flacons. 20  Ilfaut donc une espérance supérieure à la précédente de 10, 2 . 100  Voicitrois compositions possibles :

Nombre de flacons5 3039206 X1x 10 20304050 i p ( X1x ! 0,05 0,30,390,20,06 i Nombre de flacons4304120 5 X1x 10203040 50 i ( ! 0,040,30,410,2 0,05 p X1x i Nombre de flacons52940215 X1x 1020304050 i p ( X1x ! 0,050,290,400,210,05 i er : E X ! 110´0, 05#20´0, 3#30´0, 39#40´0, 2#50´0, 06129, 2  1 cas ( e ( ! 1# ´# ´# ´  2cas : E X110´0, 04#20´2 500, 0529, 20, 330 0,41 40 0, e  3 cas E ( X ! 110´0, 04#20´0, 29#30´0, 41#40´0, 21#50´0, 05129, 2 :  Ainsien modifiant le dosage de la solution contenue dans un flacons à 30 % et en transformant  ceflacon en un flacon à 50 %, on obtient E ( X ! 129, 2 . Problème 3 æ 3 ö 3 2 2 2 22 2 f(x) 1 x % xlnx # 1lim ( 1 ln 1 1 ( ! % ( ! # 1. . f x) lim ç x % x x # ¸ limxlimxlnx . 0 00 0 2 x | | x è 2 ø | 2 x | x 2 2 limf(x)11  lim ( x ! 10 lim ( xlnx ! 1 lim ( x ! ´ lim ( xlnx ! 1 0 e des limites )  ;, donc. ( somm x|0 x|0 x | 0 | x0 | x0 æ 3 2 2 ö é 2 æ 3ö ù 2 æ 3 ö 2. limf(x)1limx%xlnx#11limx%lnx#11lim ( x ! ´lim%lnx#1. ç ¸ê ç¸ úç ¸ 2 22 x|#¥ |#x¥ |#¥x|#¥x|#¥x è øë èø ûè ø 2 æ 3 ö 3 limf(x)1 %¥ limx1 #¥ ( ! ( ! ; lim%lnx1 %lim lnx1 % ( produit des limites) , donc ç ¸ x|#¥ x|#¥ x|#¥ |#x¥ è 2 ø 2 3. On désigne par f' la dérivée de la fonction f . 1 2 a. f'(x) 1 3x % 2xlnx % x ´ 1 3x % 2xlnx x % 2 1 x2 % xlnx2x 1 ( 1 ln % x ! . x

x b. Etudier le signe de f'(x) suivant les valeurs de. f'(x)10Û2x ( 1%lnx ! Û2x10ou1%lnx10Ûx10ou11lnxÛx10ou x1e f'(x)³0Û2x ( 1%lnx ! ³0Û2x³0et1%lnx³0Ûx³0et1³lnxÛx³0ou x£e

#¥ x 0 e 3 1 2x + + 2 22 f(e) 1 e % elne # 1 1 e # 1 1 % lnx  +0 2 2 f'(x) 0 + 1 2 e#1 f(x) 2 1 1 a 5. Montrer que l’équation f(x) 0 admet une solutionunique dans l’intervalle ]0; #¥ [ . % 1 a  Donnerun encadrement ded’amplitude . 10  Lafonction fest continue dérivable sur l’intervalle [e;#¥ elle strictement décroissante sur [ et

75 »  l’intervalle [4; 5]Ì[e;#¥[ , or f(4) 2,820 et f(5)1 %25 ln(5)#1» %1, 73600 ,donc d’après le 2 a  théorèmedes valeurs intermédiaires l’équation f(x) 1 0 admet une solutionunique dans l’intervalle [4;5 ] Ì ]0; #¥ [ f(4, 6)»0, 4486520 etf(4, 7)» %0, 050700 .Donc on a : 4, 6£a£4, 7 . 6. y

4

3

2

1

a e x 0 12 3 4 5 6

-1

11 1 3 3 g 7. On considère la fonctiondéfinie sur l’intervalle ]0; #¥ [  par g(x)1x%xlnx#x . 18 3 g  Vérifierque la fonctionest une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0; #¥ [ 33 11 111 93 2 23 22 22 22 2 g'(x) 1 x % xlnx % x ´ # 1 1 x % xlnx % x1 # 1 x x % lnx1 # 1 x x % lnx1 # f 1 (x 18 3x6 36 2 g  Doncla fonctionest une primitive de la fonction f sur l’intervalle ]0; #¥ [ . 4 æ ö 4 8. A1f(x)dx´u.a1g(x)´u.a14´g(4)%g(2) [ ][ ] ò 2 2 ç ¸ è ø 11 1352 128 ´ ln 2352 % 384 ´ ln 2 # 36 388 % 384 l ´ n 2 3 3 g(4) 1 4 % 4 ln4 # 4 #1 % 4 1 1 18 39 39 9 11 144 8 ´ ln 244 % 24 ´ ln 2 # 18 62 % 24 l ´ n 2 3 3 g(2) 1 2 % 2 ln2 # 4 #1 % 2 1 1 18 39 39 9 æ 326 ö A14´g(4)%g(2) ] 14´ %40 ln 2cm²»34cm² ç ¸ [ è 9 ø