Sujets Bac STG Mercatique de Mathématiques de niveau Terminale

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Sujets Bac en Mathématiques (2010) pour Terminale STG Merca., Terminale STG GSI, Terminale STG CFE

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Extrait

Baccalauréat STG Mercatique France 22 juin 2010 EXERCICE 1 5 points On s’intéresse au nombre de clients ayant accèsàl’Internet haut débit en France. On a pris pour indice de référence 100 en décembre 2007. On dispose des renseignements suivants : déc-01 déc-02 déc-03 déc-04 déc-05 déc-06 déc-07

Nombre de clients ayant accèsà l’Internet

604

3626

6562

9465

12711

15752

Déc-08

17691

Indice 3,8 10,8 23,0 41,7 60,1 80,7 100,0 112,3  (Sources : France Telecomet ARCEP) Les pourcentages demandés seront arrondisà1%. 1.Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accèsàl’Internet haut débit en France en décembre  2002. le taux d’évolution du nombre de clients ayant accèsàl’Internet haut débit de décembre 2007à  décembre 2008. 2. a.Calculer le taux d’évolution du nombre de clients ayant accèsàl’Internet haut débit de décembre 2005à  décembre 2008.  b.Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre de clients ayant accèsàl’Internet haut débit de  décembre 2005àdécembre 2008.  c.On suppose qu’en 2009 l’évolution s’est poursuivie avec le taux annuel calculéau 3. b.  Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accèsàl’Internet haut débit en décembre 2009. 3.Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative,même non fructueuse,  sera prise en compte dans l’évaluation.  On s’interroge sur la pertinence de la supposition faiteàla question 3. c. Pour cela, on calcule les taux  d’évolution annuels suivants : De De De décembre-04 décembre-05 décembre-06 à à à décembre-05 décembre-06 décembre-07 Taux d’évolution du # 44% # 34%#24% nombre de clients ayant accèsàl’Internet haut débit

 La supposition faite dans la question 3. c. vous paraît-elle pertinente ? EXERCICE 2 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte. Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte1point ; une réponse fausse enlève0,25point et l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l’exercice est ramenée à0. Formulaire : uv Siuetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonctionest dérivable sur l’intervalle I ( uv ! '1u'v#uv' et . x x R On considère deux fonctionsfetgdéparfinies sur f(x)1 ( 2#x ! e et g(x)12xe On notefla fonction dérivée de la fonctionfsur R etgla fonction dérivée de la fonctiongsur R . C C C On a tracé, en annexe 1, trois courbes 1 , 2 et 3 . Parmi elles, figure la représentation graphique de chacune des fonctionsfetg.

1.f(0) estégalà:  a.0b.2c..2 2.La représentation graphique de la fonctiongest : C C C  a. 1 b. 2 c. 3 3.Pour tout nombre réelx, g'(x) estégalà: x x x  a.b. ( 2x#2 ! e c. #e 2e2 x 4.On admet que, pour tout nombre réelx, f'(x)1 ( 3#x ! e . La fonctionfest :  a.croissante sur R b.décroissante sur R c.ni décroissante ni croissante sur R . EXERCICE 3 5 points Sur un site Internet, on trouve les données suivantes qui concernent le Tour de France. Anné2007 2008e 2006 Nombre de 176 189 180 participants

Nombre d’«épinglés »*

45

38

26

 (Source : cyclisme-dopage.com) * La catégorie «épinglés » est constituée par les coureurs ayantétécontrôlés positifs (y compris par constat  de carence ou par constat d’un hématocrite supérieurà50 %), ayant reconnu s’être dopéet ayantété  sanctionnés (par la justice, leur fédération ou leuréquipe) dans le cadre d’affaires liées au dopage. Première partie : Traitement des données sur tableur On reporte ces données dans une feuille de calcul, afin de les compléter :

1 2

3

4

5

A Année

Nombre de participants

Nombre d’«épinglés »

Nombre de « non épinglés »

Taux d’«épinglés»

B 2006

176

45

25,6%

C 2007

189

38

D 2008

180

26

E 2009

545

109

436

 La plage de cellule B5 :E5 est au format pourcentageàune décimale. 1.Donner une formule qui, entrée en cellule B4, permet par recopie vers la droite d’obtenir le contenu des  cellules de la plage B4 :D4. 2.Donner une formule qui, entrée en cellule E2, a permis par recopie vers le bas d’obtenir le contenu des  cellules de la plage E2 :E4. 3.Donner une formule qui, entrée en cellule B5, permet par recopie vers la droite d’obtenir le contenu des  cellules de la plage B5 :E5. 4.Calculer la valeur affichée dans la cellule C5. Deuxième partie : Probabilités Pour chacune des années 2006, 2007 et 2008, on dispose pour chaque participant d’une fiche sur laquelle figurent l’année, le nom du participant, et la mention«épinglé»ou bien « non-épinglé». Ainsi un même participant peut figurer sur plusieurs fiches s’il a participéau tour de France plusieurs fois parmi les années 2006, 2007 ou 2008. Toutes les fiches sont mélangées, et on en choisit une au hasard. On définit lesévènements suivants :  D : « la fiche est une fiche du Tour de France de l’année 2008 » ;  E : « la fiche porte la mention «épinglé».  Les probabilités demandées seront arrondies au centième. 1. a.Calculer la probabilitéde l’événement D. b.Calculer la probabilitéde l’événement D n E. c.Calculer la probabilité, sachant D, de l’événement E. 2.Calculer la probabilitéde l’événement E. 3.Calculer la probabilité, sachant que la fiche choisie porte la mention «épinglé», que ce soit une fiche de  l’année 2008. EXERCICE 4 6 points

Dans cet exercice, on s’intéresse au nombre de personnes, enfants et adultes, vivant avec le VIH/SIDA (Virus de l’Immunodéficience Humaine/Syndrome Immuno- Déficitaire Acquis) au Sénégal. Partie A : étude d’un premier modèle Le tableau ci-dessous présente les données de 1996à2006 : Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Rang de l’annéexi 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Estimation du nombre de personnes vivant 9 11 13 16 20 24 29 35 41 49 57 avec le VIH au Sénégal (en milliers)yi (Source : UNAIDS (Joint United Nations programon HIV/A1DS))  Le nuage de points de coordonnées¡xi;yi¢, pourivariant de 0à10, est donnéen annexe2à rendre avec  la copie. 1.Àl’aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, uneéquation de la droite  d’ajustement deyenx(arrondir les coefficients au millième). y14,8x#3, 9 2.On décide d’ajuster le nuage avec la droiteDd’équation .  a.Tracer la droiteDsur le graphique figurant sur l’annexe 2.  b.En utilisant cet ajustement affine, estimer le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal en 2007. Partie B : Étude d’un deuxième modèle  Le taux d’évolution annuel moyen du nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal entre les années  1996 et 2006 est d’environ 20 %.  On décide alors de modéliser la situationàl’aide d’une suite géométrique de raison 1,2.  Pour tout entier natureln,undésigne une estimation du nombre de personnes, en milliers,vivant avec le VIH  au Sénégal pendant l’année 1996+n. ( u ! u19  Ainsi n est la suite géométrique de premier terme 0 et de raison 1,2. u  1.Exprimer n en fonction den.  2.Déterminer, d’après ce modèle, le nombre prévisible de personnes atteintes en 2007. Partie C : Exploitation des modèles Des experts ont estiméqu’en 2007 il y avait 67 000 personnes vivant avec le VIH au Sénégal. 1.Lequel des deux modèlesétudiés dans les parties A et B donne la meilleure prévision pour 2007 ? 2.Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera  prise en compte dans l’évaluation  En choisissant le modèle qui vous paraît le mieux adapté, déterminer l’annéeàpartir de laquelle le nombre

 de personnes vivant avec le VIH au Sénégal dépassera 100 milliers.

Correction Exercice 1 10,8 1.15752´ 11701, 216 . En décembre 2002, il y avait 1 701 clients ayant accès à l’internet haut débit 100  en France.

2. 112, 3%100112, 3  Le taux d’augmentation du nombre de clients ayant accès à l’internet haut débit de décembre  2007 à décembre 2008 est de 12,3 %.

v%v I%I f i 17691%9465 f i 112, 3%60,1 3. a. t»1 1 0, 8691 ou t1 1 »0, 8686 v9465I60,1 i i  Le taux d’augmentation du nombre de clients ayant accès à l’internet haut débit de décembre2005 à  décembre 2008 est de 86,9 %.

b. De décembre 2005 à décembre 2008 il y a 3 évolutions annuelles.  Le coefficient multiplicateur global correspondant à l’augmentation globale de 86,9 % est : 1#t11#0,86911,869 t t moyen, donc on g . Soi m le taux a : 3 3 1/ 3  1#t1 ( 1#t ! Ût1 ( 1#t ! %11 ( 1,869 ! %1»1, 2318%1»0, 2318 g m g m  Le taux d’augmentation annuel moyen du nombre de clients ayant accès à l’internet haut débit de  décembre 2005 à décembre 2008 est de 23,2 %.

c. 17691´1, 2321 . 21795, 312 En supposant que l’augmentation se poursuive au même taux annuel, on aurait  22 000 clients ayant accès à l’internet haut débit en décembre 2009.

4. L’augmentation du nombre de clients ayant accès à l’internet haut débit de décembre 07 à décembre 08 est  de 12,3 %. Les augmentations successives (44 %, 34%, 24 % et 12 %) diminuent en taux, une remontée  brutale à 23 % pour l’augmentation de décembre 08 à décembre 09 ne paraît pas pertinente.

Exercice 2 x0 1. f(x)1 ( 2#x ! e . f(0)1 ( 2#0 ! e12 Réponseb

x g 2. est une fonction exponentielle, donc la droite ne peut pas être sa représentation graphique. g(x)12xe 0 alors g(0)12´0´e1 0 . C g passe donc par (0 ; 0)  Des deux courbes seule C 1 passe par (0 ; 0) :Réponse a

x x x 3. g(x)12xe on poseu= 2xalorsu’et= 2 v1e alors v'1e ,donc x x x 1 # 1 # 1 ( # ! g'(x)u'v uv' 2e2xe2 2x e Réponseb

x x f'(x)1 ( 3#x ! e # 1 4. s’annule pour 3x0 soit pour x1 %3 . e est toujours positive  L’observation de la courbe C 2 ne permettait pas de conclure.Réponse c x % 3 #¥ 3#x  0 + f'(x) 0 +

f(x)

%3 %e

154

D 2008

E 2009

3

D3 /D2

20,1%

109

436

25,6%

189

38

Nombre d’«épinglés »

Nombre de « non épinglés »

131

45

C 2007

176

Exercice 3 Première partie A 1 Année 2 Nombre de participants

C 2007

D 2008

26

180

176

38

189

B 2006

1. B4 = B2 – B3 ou B$2-B$3 2. E2 = somme (B2 :D2) ou E2 = somme (B2 :D2) 38 C1 », 201058 3. B5 = B3/B2 ou B$2/ B$3 4. 5 0 , soit 20,1% 189 Deuxième partie 180 36 26 1. a p ( D ! 1 1 » b. 0, 33 p ( DÇE ! 1 »0, 0477»0, 05 545 109 545 26 13 ( ! 0,  c. p D E1 1 »14 180 90 45#38#26 109 1 2. p ( E ! 1 11 1 0, 20 . 545 545 5 p ( DÇE ! 26 0, 048 p ( D ! 1 1;»0, 24 3. E p ( E ! 2109 0, Exercice 4 Partie A 1. Équation de la droite d’ajustement de ce nuage de points : y14, 755x#3,864 2. a. voir graphique .  b. En utilisant ce modèle, l’année 2007 a pour rang 11.y= 4,8 × 11 + 3,9 = 56,7  En 2007, on peut estimer le nombre de personnes atteintes du VIH au Sénégal à environ 56 700. Partie B

Nombre de « non épinglés »

Taux d’«épinglés»

B3 /B2

4

5

C3 /C2

A Année

Taux d’«épinglés»

Nombre d’«épinglés »

Nombre de participants

1 2

3

151

545

20,0%

E 2009

45

1 C2 % C3

1 B2 % B3

26

14,4%

180

Somme(B2 ;D 2) Somme(B3 ;D 3) Somme(B4 ;D 4)

4

E3 /E2

1 D2 % D3

5

B 2006

n n 1. u1u´q , on aalors u19´ ( 1, 2 ! n0 n 11 2. Au rang 11 : u19´ ( 1, 2 ! » 66,87 .En 2007, on peut estimer le nombre de personnes atteintes du VIH 11  au Sénégal à environ 66 900.ou encore 67000 personnes. Partie C 1. Le second modèle B donne une meilleure prévision. (plus proche de la réalité : 66 900 » 67 000).Le modèle s’appuyant sur un taux d’évolution annuel moyen de 20% est le plus proche de l’estimation faite par les experts. n 2. En choisissant le second modèle on a à résoudre l’équation : 100 19´ ( 1, 2 ! alors æ 100 ö ln ç ¸ n 100 n æ 100 ö æ 100 ö è 9 ø ( 1, 2 ! 1 Ûln(1, 2)1lnÛnln(1, 2)1lnÛn1 »13, 21 ç ¸ ç ¸ 9 è 9 ø è 9 ø ln(1, 2)  1996 + 14 = 2010.En 2010 le nombre de personnes atteintes du VIH au Sénégal dépassera 100 000.

y

100

1

95

90

85

80

75

70

65

60

55

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

x