Sujets BTS de Mathématiques de niveau BTS

Kdouh

Description

Avec correction. Sujet bts -opt-lunetier-2011
Sujets BTS en Mathématiques (2011) pour BTS Optique Lunetier

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• Publié par: ressources-pour-le-superieur
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Extrait

Brevet de technicien supérieur Opticien –lunetier session 10mai 2010 Exercice 1 9 points Les verres photochromiques s’assombrissent ou s’éclaircissent en fonction de la luminosité. On étudie dans cet exercice le coefficient de transmission d’un verre minéral photochromique en fonction de la lon ueur d’onde de la lumière. y 100

90

80

70

60

50

40

30

20

10 0 x 400 450 500 550 600300 350  Suite à une étude expérimentale, on a obtenu le nuage de points suivant, oùxcorrespond  à la longueur d’onde en Nm , etyau coefficient de transmission, exprimé en pourcentage.  Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Ajustement affine  On s’intéresse tout d’abord à la phase de transition entre l’état sombre et l’état clair,  correspondant aux données du tableau suivant. Longueur d’ondex(en Nm 410 420 430) 400 Coefficient de transmissiony ) 4 (en % 25 55 85 1. Donner une équation de la droite de régression deyenx, obtenue par la méthode des moindres carrés, %2 a  sous la forme y1a x#b , oùetest arrondi à b est arrondi à l’unité. 10 2. Utiliser l’équation précédente pour estimer le coefficient de transmission pour une longueur d’onde de  416 Nm . Arrondir à l’unité. B. Étude de fonctions et calcul intégral  Un modèle global de la situation expérimentale conduit à exprimer le coefficient de transmission,  exprimé en pourcentage, en fonction de la longueur d’onde x, en Nm , à l’aide de la fonction f définie 89 [ 0 ;#¥[ f(x)190%  sur par : . 0,2 ( x%416 ! 1#e  La courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée par le graphique  suivant.

y 100

90

80

70

60

50

40

30

20

10 0 300

350

400

450

500

550

x

0,2 ( x%416 ! 89´0, 2e f'(x)1 2 [ 0 ;#¥[ 1. a.Démontrer que, pour toutx,de l’intervalle æ0,2 ( x%416 ! ö . 1#e ç ¸ è ø b.En déduire le sens de variation def sur [ 0 ;#¥[ . 2.Les questions a., b. et c. suivantes sont des questions à choix multiples. Pour chaque question, une seule  réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune  justification.  La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse enlève0,5point.  Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.  Si le total est négatif, la note pour cette partie est ramenée à0. a. limf(x)190limf(x)11limf(x)1 #¥ x| #¥x| #¥x| #¥

b.La courbe C

admet une asymptote dont une équation est :

x 1 90

y189

y145, 5x%18923, 55

c.Une équation de la tangenteTà la courbe C au point d’abscisse 416 est :

y1 %4, 45x%18923, 55

y14, 45x%1805, 7

y145, 5x%18923, 55

 Le coefficient directeur de cette tangente correspond à la vitesse de transition. %0,2 ( x%416 ! e #¥ 3. a.Montrer que pour toutx de [ 0 ; [ , f(x)190%445´0, 2 %0,2 ( x%416 ! 1#e #¥  b.Utiliser l’expression précédente pour donner une primitive def sur l’intervalle [ 0 ; [ . %2 ochée arrondie à de l’aire,  c.En déduire la valeur appr 10 en unités d’aire, limitée par la courbe C ,

 l’axe des abscisses et les droites d’équations x 1 380 et x 1 550 .  Cette aire correspond à la quantité d’énergie absorbée par le verre durant la transition sombre-clair.

Exercice 2 11 points  Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante  Une entreprise fabrique et distribue un produit de consommation courante en grande quantité. A. Lois de probabilités 1. On considère un stock important de produits fabriqués par l’entreprise pendant un mois.  On noteEl’évènement : « un produit prélevé au hasard dans ce stock est défectueux ». ( ! 1  On suppose que P E0, 05 .  On prélève au hasard 40 produits dans le stock pour vérification. Le stock est suffisamment important  pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 40 produits.  On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de produits  de ce prélèvement qui sont défectueux. a. Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. b. Calculer la probabilité qu’aucun produit de ce prélèvement ne soit défectueux. %3  Donner le résultat arrondi à . 10 c. On admet que la loi deXpeut être approchée par une loi de Poisson.  Donner le paramètre¸, de cette loi de Poisson. X l l d. On note 1 une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètreest la valeuroù ,  obtenue au c. £ – Donner, avec la précision permise par la table, la probabilité de l’évènement « X 1 4 ». – En déduire la probabilité qu’il y ait plus de quatre produits défectueux dans le prélèvement. 2. On prélève au hasard 400 produits dans le stock pour vérification. Le stock est suffisamment important  pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 400 produits.  On considère la variable aléatoire Y , qui à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de produits B ( !  défectueux de ce prélèvement, suit la loi binomiale 400 ; 0, 05 .  On admet que la loi de Y peut être approchée par la loi normale de moyenne 20 et d’écart type 4,4. a. Justifier les paramètres de cette loi normale. N ( ! b. On note Z .une variable aléatoire suivant la loi normale 20 ; 4, 4  En utilisant cette variable aléatoire, calculer la probabilité qu’il y ait au plus 30 produits défectueux %3 ( £ !  dans le prélèvement, c’est-à-dire calculer P Z . Donner le résultat arrondi à . 30, 5 10 B. Intervalle de confiance  On s’intéresse dans cette partie à la proportion inconnuepde produits dans le stock présentant une erreur  d’étiquetage.  Pour cela, on prélève au hasard et avec remise 100 produits dans le stock.  SoitFla variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans cet échantillon,  des produits présentant une erreur d’étiquetage. On suppose queFsuit la loi normale de moyennep p ( 1%p ! inconnue et d’écart typer . 100  Pour l’échantillon prélevé, on constate que 6 produits présentent une erreur d’étiquetage. 1.Donner une estimation ponctuellefde la proportion inconnuep. 2.Déterminer un intervalle de confiance centré sur f de la proportionpavec le coefficient de %2  confiance 90% .. Arrondir les bornes de l’intervalle à 10 C. Probabilités conditionnelles et suites  L’entreprise décide de réaliser une campagne publicitaire dans une région donnée, pendant quelques  semaines, afin d’assurer la promotion du produit de consommation courante qu’elle fabrique.  Avant le début de la campagne, la proportion de consommateurs du produit est de 25%.  L’impact de campagne est le suivant : – 97%des consommateurs du produit une semaine donnée restent consommateurs la semaine suivante ; – 15% des non consommateurs du produit une semaine donnée deviennent consommateurs la semaine

 suivante.  On interroge au hasard un individu dans la région. Tous les individus ont la même probabilité d’être  interrogés.  On note C 0 l’évènement : « l’individu est consommateur du produit la semaine précédant le début de p C  la campagne publicitaire » et 0 la probabilité de l’évènement 0 .  Pour tout entier naturelnnon nul, on note C n l’évènement : « l’individu est consommateur du produit P C  la semainen» et n la probabilité de l’évènement n . 1.Donner, à l’aide de l’énoncé :  a.la probabilité P 0 ; P ( C ! P ( C ! n1  b.pour tout entier natureln, les probabilités conditionnelles C n#1 et C # n n P ( B ! de l’évènementd obabilité B sachant que A est réalisé.)  (On rappelle que A ésigne la pr 2.Justifier que la probabilité que l’individu interrogé soit consommateur du produit la semaine 1  est égale à 0,355. P5 3.Montrer que pour 1 0 2 0,1 tout entier natureln, n# 1, 8P n # . 5 4.Pour tout entier natureln, on pose u1P% . n n 6 ( u !  a.Montrer que la suite de terme général n est une suite géométrique. nÎ¥ u P  Calculer n puis n en fonction den. ( P !  b.Quelle est la limite de la suite n nÎ¥  Ce nombre représente la proportion maximale de consommateurs que peut envisager l’entreprise  à l’issue de la campagne promotionnelle.

EXERCICE 1

y x A. 1° à l’aide de la calculatrice , l’équation de la droite de régression de en , obtenue par  la méthode des moindres carrés, est : y12, 73x%1091. 2° pour x1 obtient : 416 on y12, 73´416%1091145  Pour une longueur d’onde de 416 Nm , on peut estimer le coefficient de transmission à 45 %. B.1° 89 a) La fonction f est dérivable sur l’interva [ 0 ;#¥[ f(x)190% lle et : 0,2 ( x%416 ! 1#e 0,2 ( x%416 ! 0, ( 2x%41 ! 6  on pose u(x)11#e u'(x)10, 2´e ' æ k ö ku' a x#xb a #b  (on utilise le fait que : f(x)1e , f'(x)1a´e  et 1 % ). ç ¸ 2 u è ø u 0,2 ( x%416 ! 89´0, 2e f'(x)1 2  par conséquent , on obtient : æ 0,2 ( x%416 ! ö , pour tout x de l’intervalle [ 0 ;#¥[ . 1#e ç ¸ è ø 2 æ 0,2x%416 ö ( ! 0,2 ( x%416 ! 1#e b) , pour tout réel xÎ[ 0 ;#¥[ , est carré donc elle es positif , sur e20 ç ¸ è ø  l’intervalle [ 0 ;#¥[ , doncf'(x)20 ;l’intervalle [ 0 sur #¥ la fonction [ . Donc f est strictement #  croissante sur l’intervalle [ 0 ;¥[ . 2° a) limf(x)190limf(x)11limf(x)1 #¥ x| #¥x| #¥x| #¥ æ 89 ö æ 89 ö lim1lim% 1lim%lim1 %  En effet : f(x) ç 90 ¸ 90 ç ¸ 90 0 0,2 ( x%416 ! 0, ( 2x%41 ! 6 x| #¥ |x#¥ | #¥x| #¥x è 1#e ø è 1#e ø 0,2 ( x%416 ! 0, ( 2x%41 ! 6 k lim1#e11#lime1 #¥ lim1 #¥;k20  Puisque ( !( ! : . x| #¥ |x#¥ x| #¥ x b.La courbe C admet une asymptote dont une équation est :

x 1 90 y190y145, 5x%18923, 55 limf(x)1b  Ce fait dans la question précédente : . x| #¥ c.Une équation de la tangenteTà la courbe C au point d’abscisse 416 est :

y1 %4, 45x%18923, 55

y14, 45x%1805, 7

y145, 5x%18923, 55

ente au point d'abscisse a est y1f'(a)(x%a)#f(a on calcule : ) ,  l'équation de la tang 0,2 ( 416%416 ! 89´0, 2e89´0, 2 f'(416)1 1 14, 45 89 2 0,2 ( 416 416 ! 4 f(416)190% 190%45, 5 æ%ö et 1#e 0,2 ( 416%416 ! 1#e ç ¸ è ø y14, 45(x%416)#45, 514, 45x%4, 45´416#45, 514, 45x%1851, 2#45, 514, 45x1%805, 7  D’où y14, 45x%1805, 7 x 3°a) Pour tout réel de l’intervalle [ 0 ;#¥[ , %0,2 ( x%416 ! 0%, ( 2x41% ! 6 89e e 189´ 189´  de plus 445´0, 2189 0,2 ( x%416 ! %0,2 ( x%416 ! 0,2 ( x4%16 ! %0 ( ,2x4% ! 16 1#e e 1# e e#1 ( ! x #¥  Pour tout réel de l’intervalle [ 0 ; [ , on a :

190

144, 5

%0,2 ( x%416 ! 0%, ( 2x4%1 ! 6 e0, 2´e f(x)190%445´0, 2190%445 %0,2 ( x%416 ! 0%, ( 2x41% ! 6 e#1e#1 %0,2 ( x%416 ! 0%, ( 2x41% !  On pose u(x)1e#1u'(x)1 %0, 2´e u'(x) %0,2 ( x%416 ! f(x)190%445´x #¥  , or pour tout réel de l’intervalle [ 0 ; [ u(x)1e#120 u(x) #¥  On en déduit qu’une primitive de la fonction f0 ; [ est la fonctionsur l’intervalle [ F définie sur %0,2(x%416)  l’intervalle [ 0 ;#¥[ parF(x)190x#445 ln(u(x))190x#445 ln ( 1#e ! 550 æ ö A1 c) Soit A cette aire. ç f(x)dx ¸ u.a car la fonction f est positive sur l’intervalle [380 ; 550] ò 380 è ø 550  la courbe C est au dessus de l’axe des abscisses. Donc A1 [ F(x) ] u.a1 ( F ( 550 ! %F ( 380 ! ! u.a ( ! 380

%0,2 ( 550 4%16 ! F ( ! #1 ´ 445 lne#1149500  550 90 550 ( !

%0,2 ( 380 4%16 ! 1 F ( 380 ! 190´380#445 ln ( e#1 ! 337404, 33

A1 ( F550%F380 ! u.a149500%37404, 33u.a112095, 67u.a . ( ! ( ! ( ! EXERCICE 2 A.1° a) On considère une épreuve élémentaire (qui consiste à prélever un seul produit) qui a exactement  2 issues : ( ! 11 %  le produit est défectueux de probabilité p1P E10, 05 succès et q1p0, 95 dans le cas échec.  On répète 40 fois cette épreuve élémentaire de façon indépendante (car le tirage est assimilé à un  tirage avec remise).  Donc la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de produits B ( !  défectueux suit la loi binomiale de paramètres n 1 400 et p1 . 0, 05 soit 400 ; 0, 05 0 0 40 b) P ( X10 ! 1C´ ( 0, 05 ! ´ ( 0, 95 ! » 0,129 . 40 c) l 1np140´0, 0512 d) P X£41P X10#P X11#P X12#P X13#P X141 ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! ( ! %2 0%22 1 %2 2%3 2% e´2e´2e´2e´2e´2 P ( X£4 ! 1 # # # # 0! 1! 2! 3! 4! P X£410,135#0, 271#0, 271#0,180#0, 09» . La probabilité qu’il y ait plus de quatre 0, 947 ( !  produits défectueux dans le prélèvement est : P X2411%P X£411%0, 947»0, 053 . ( ! ( ! 2°. a) La loi binomiale de paramètres n 1 400 et p1 être approchée par la loi normale 0, 05 peut m1np1400´0, 05120 s 1np ( 1%p ! 1400´0, 05´0, 95119»4, 4  de moyenne et d’écart type N ( !  b) La variable aléatoire Z suit la loi normale 20 ; 4, 4 donc la variable aléatoire T définie par Z%20 T1 N ( !  suit la loi normale 0 ;1 . 4, 4 æ Z%520 30, %20 ö æ 10, 5 ö P ( Z£30, 5 ! 1P£ 1P T£ 1P ( T£2, 39 ! 1 P ( 2, 39 ! »0, 9916»0, 992 ç ¸ ç ¸ 4, 4 4, 4 4, 4 è ø è ø B. 1° Sur l’échantillon, on obtient une fréquence f des produits présentant une erreur d’étiquetage égale à 6 1 Donc l’estimation ponctuelle de la proportion inconnue p est : 0, 06 . f10, 06 . 100

é ù f(1%f)f(1%f) f%t;# f10, 06 2° L’intervalle de confiance est : ê f t ú avec ; n1100 et le réel t est n%1n%1 ë û ( ! 1  tel que 2Pt%1 0, 90 (car le coefficient de confiance est de 90%)  Calcul de t : 2Pt%110, 90Þ2Pt11, 90Þ Pt10, 95t»1, 645 par lecture inverse de la table ( ! ( ! ( !  de la loi normale centrée réduite. é ù 0, 06´0, 060, 94 ´0, 94  L’intervalle de ê ú confiance est : 0, 06%; 0, 061, 645 #1, 645 9 9 ë û  c’est-à-dire :donc finalement : [ 0, 06%0, 04 ; 0, 06#0, 04 ] [ 0, 02 ; 0,10 ] C. 25 1° a) P1P ( C ! 1 10, 25 0 0 100 97 15  b) P ( C ! 1 1 et 0, 97 P ( C ! 1 10,15 . C n#1n#1 n C n 100 100 C1 ( CÇC ! È ( CÇC ! ( CÇC ! ( CÇC ! 2° 1 0 1 0 1 . Les événements 0 1 et 0 1 sont incompatibles  et forment une partition de l’univers , donc on a : ( P ( CÇC ! 1P ( C ! ´P ( C ! 10, 25´0, 9710, 2425 P1P C ! 1P ( CÇC ! #P ( CÇC !  , or 1 1 0 1 0 1 0 1 0C1 0 ( ! 1 ( ! ´ ( ! 10, 75´0,11 ( ! P C 0 ÇC 1 P C 0 P C 1 5 0,1125 , d’où P 1 1P C 1 10, 2425#0,112510, 355 C 0 C1 ( CÇC ! ÈCÇC ( CÇC ! CÇC ! 3° ( ! ts n n1 n#n n#1n n#1 Les événemen # et ( n n#1 sont incompatibles 1  et forment une partition de l’univers , donc on a : 1 ( ! 1 ( Ç # Ç 1 ! ´ ( ! # ´ ( ! P n1 P C n1 P C n C n ! 1 P ( C C ! 1 P ( CC P 1 P C P C # # #n n#n C n#n n ( ! n Cn  Sur les branche d’un nœud la somme des probabilité est égale à 1.  Donc P1P C1P C´P C# ( 1%P C ! ´P ( C ! ( ! ( ! ( ! ( ! n#1n#1n C n#1n n# n Cn P1P C1P C´0, 97# ( 1%P C ! ´0,151P ( C ! ( 0, 97%0,15 ! #0,1510,82P ( C ! #0,15 ( ! ( ! ( ! n#1n#1n nn n P10, 82´P#0,15  Et par conséquent n#1n pour tout entier naturel n 4° a) pour tout entier n, on a : 5 5 0, 9%5%4,1 æ 5 ö u1P% 10, 82´P#0,15% 10,82´P# 10, 82´P# 10,82´P% 10,82u n#1n#1nn n ç n ¸ 6 6 6 6 è 6 ø u10, 82u  donc n#1 ce qui permet de conclure que la suite de terme général, pour tout entier n; u n est la 5 1 5 3%10 7  suite géométrique de raison q1 de premier terme 0,82 et u1P% 1 % 1 1 % 0 0 6 4 6 12 12 7 n 5 7 n 5 1 æ 7 n P1u# 1 % ´ ( 0, 82 ! # 11% ´ ( !  donc u1 % ( 0, 82 !  et n n ç 0, 82 ¸ n 12 6 12 6 6 è 2 ø æ 7 n ö 7 n ( 0,82 ! ( 0, ! b) On a q10,8201donclimu n 1lim% 1 %lim8210 ç ¸ n| #¥ |n#¥ è 12 ø 12 | #¥n  la limite de la suite (u n ) est égale à zéro, æ 5 ö 5 5 lim1lim# 1lim# 1 P n ç u n ¸ u n  (somme des limites ). n| #¥ |n#¥ è 6 ø | #¥n 6 6