Terminale S DM de Maths

Tpautrel

Description

Avec correction. Type bac
Devoir Maison (DM) en Mathématiques (2011) pour Terminale S

Sujets

• Annales
• Devoir surveillé
• Devoir scolaire
• Cours
• exercices
• Lycée
• École
• ressources pédagogiques
• Ressource

Informations

• Publié par: ressources-de-terminale
• Nombre de lectures: 900
• Langue: Français

Extrait

Mathématiques spécialité

Devoir maison n°1

Exercice 129 p39: Congruences et logarithme décimal

Thibault Pautrel

1. a)Déterminer suivant les valeurs de l'entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de n 7 . Essayons quelques valeurs: n 3 4 5 6 7 7 7 7 7 77 7² 7 restes 7 41 7 4 1 7 n 7 Conjecture: il y a une périodicité dans les restes depar 9, de période 3. n3n Autrement dit, ∀n∈ℕ,7≡7[9] . Démontrons-le: n3n3 3 = × 7≡1[9] 7 77 . Or. La congruence étant compatible avec la multiplication, on peut donc écrire: n3n n3n 7≡7×1[9]7≡7[9] donc . k∈ℕ Dans tout ce qui suit,* ● n=3k Pour : 3k3k3 7=7 7≡1[9] . Or. L'élévation à la puissance étant compatible avec la congruence, on peut donc écrire: 3k 7≡1[9] . n 7 Donc pour n = 3, 6, 9 ... soit pour tout multiple entier de 3, le reste de la division depar 9 est 1. ● n=3k1 Pour : 3k1 3k 3 3k1 3k1 7=7 ×7 7≡1[9]7≡1×7[9]7≡7[9] . Ordonc par multiplication,, ainsi. n n=3k1 7 Donc pour n = 4, 7,10... soit pour tout n de la forme, le reste de la division depar 9 est 7. ● n=3k2 Pour : 3k2 3k2 3 2 3k2 3k2 7=7 ×7 7≡1[9]7≡4[9]7≡1×4[9]7≡4[9]. . Oret doncpar multiplication,<=> n n=3k2 7 Donc pour n = 5,8,11... soit pour tout n de la forme, le reste de la division depar 9 est 4.

2005 2005 ≡7[9] b) Démontrer alors que: 2005=9×222 7 2005≡7[9] donc .Élevons à la puissance 2005: 2005 2005 2005 ≡7[9] . 2005 Il faut faut démontrer que 7≡7[9] . Or 2005 = 3 X 668 + 1 donc l'exposant n est de la forme 3k + 1. 2005 3k1 ≡ [ ] Donc le reste de 7 est 7. puisque 97 7 avec ici k = 668. 2005 Ainsi, 2005 ≡7[9] .

n ≡ [ ] 2. a)Démontrer que pour tout entier naturel non nul: 10 19 . n 1 2 3 10 10 10 10 Restes 11 1 n Conjecture: le reste de la division de 10par 9 est 1. n1n 1 n n  =  ]≡ [] 10≡1[9] Démonstration: 10 10 . Or 10≡1[9 donc par multiplication 10 19 <=> .

N≡S[9] b) On désigne par N un entier naturel et on note S la somme de ces chiffres. Démontrer que. 10 a a a...a 0 9 de la forme 0 1 2n avec a i i∈ℕ N estpour tout. S=aaa...a 0 1 2n . n n−01 1 n N=a×10a×10...a×10a×10 ≡ [ ] Or n n−1 10 . Or 910 1 pour tout n entier naturel non nul. 1 2 ≡ [ ]≡ [ ] Or 10 19;10 19;... . On va donc pouvoir transformer l'écriture de N: n1 0 a n ×10...a 1 ×10a 0 ×10≡a n ×1...a 1 ×1a 0 ×1[9] N≡S[9] Donc

c) Endéduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9: ● Démontrons que si N est divisible par 9, S est divisible par 9: N=9k, k∈ℕ N≡S[9] N−S=9q , q∈ℕ Si N est divisible par 9,. Orce qui signifie que. 9k−S=9q S=9k−qK=k−q , K∈ℤ S=9K D'où =>. En posant, on a biendonc S est divisible par 9.

Démontrons que si S est divisible par 9, alors N est divisible par 9: ● S=9, k 'k '∈ℕ N−S=9q , q∈ℕ Si S est divisible par 9,. Par ailleurs,. N−9k '=9 q N=9qk ' D'où =>. Donc N est un multiple de 9. => Il vient que N est divisible par 9 <=> S est divisible par 9. 2005 A=2005 3. Onsuppose que, on désigne par: B la somme des chiffres de A C la somme des chiffres de B D la somme des chiffres de C A≡D[9] a) Démontrer que. N , S∈ℕ×ℕN≡S[9] Il a été établi que, .Donc cette relation est applicable pour N = A et S = B d'où A≡B[9]B≡C[9] C≡D[9] . De même,et . A≡B≡C≡D[9] A≡D[9] Donc .Il vient que. b) Sachant que 2005 < 10000, démontrer que A s'écrit en numération décimale avec au plus 8 020 chiffres. B72 180 En déduire que. n n−1 10   A=a×10a×10...a×10a×10 0a9 En numération décimale, A s'écrit n n−01 1 avec i 2005 = Par ailleurs A2005 . 4 2005 x x 200510 L'ordre se conserve en élevant à la puissance 2005 car la fonction qui aassocie estune bijection de IR dans IR (dans la mesure où la puissance 2005 est impaire). 2005 42005 8020n8020 n8020n18020 D'où 200510 <=> A10 . Il vient que 10A10 => donc. La nombre A étant un nombre à n+1 chiffres, il s'ensuit que le nombre de ses chiffres doit être inférieur 8020. B=aa...a 0a9 0 1n avec i . Au plus, B est la somme de (n+1)chiffres 9. B9n1 B72 180 Donc Oron sait que le nombre de chiffre de A est 8020 (donc n+1 = 8020) d'où. C45 c) Démontrerque : p∈ℕ B est un nombre plus petit que 72 180 comportant p chiffres (*). p5 p5 p15 Or 1072 18010 donc .. DoncDonc B comporte 5 chiffres au plus. C=bbbbb C désignant la somme des chiffres de B ( 0 1 2 3 4 ). Dans le cas où tous les chiffres de B sont des 9, C45 il vient que C vaut au plus 9 X 5 soit 45. D'où. d) Enétudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15. 0 1n C=c×10c×10...c×10 C45 D=cc...c C est de la forme 0 1n et, vérifiant 0 1m . C est donc un nombre composé de 2 chiffres au plus puisqu'il est inférieur à 45, nombre composé lui même de 2 10 C=c c D=cc0c9 chiffres. Donc 1 0 et 1 0 , avec i . On donne à c 0 (chiffre des unités de C) la valeur maximale (c'est-à-dire 9). C c 0 c 1 D 1 910 2 911 3 912 C45 Les valeurs de c 1 pour obtenirnombre fini: 1, 2 et 3, avec 19 < 45, 29 <45 et 39 <45.sont donc en D12 Donc .Les majorants de 12 inférieurs à 15 sont 13, 14 et 15. 13 est donc un majorant inférieur à 15 de D. D=7 e) Démontrer que: A≡7[9]A≡D[9] On sait queet D≡7[9] D=9k7k∈ℕ Donc ,ce qui veut dire, avec. D13 D12 D14 Or donck vaut obligatoirement 0. On serait arrivé à la même conclusion avec, ou D15 même . Il vient par suite que D = 7.