Terminale STG Mercatique Mathématiques

Kdouh

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Avec correction. Dsn-3
Devoir Surveillé (DS) en Mathématiques (2011) pour Terminale STG Merca.

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Extrait

DS N°3MATHEMATIQUES TERM-STG-MERC 2010-2011

Exercice n°1 :8 point  Lasubvention accordée à une association par une collectivité locale a été de 5 000 € pour 2003.  Pour2004, la subvention a été augmentée de 15 % ; et pour 2005, la subvention a été augmentée de 9 %. Année 20042005 Taux d’évolution+15% +9%

1°. Calculer le montant de la subvention de 2004 et en 2005.

2°. Calculer le coefficient multiplicateur correspondant à l’évolution de la subvention entre 2003 et 2005.

3°. Calculer, sous forme décimale, puis sous forme de pourcentage, le taux d’évolution de la subvention  entre2003 et 2005.

4°. Déterminer une valeur approchée, à 0,01 % prés, du taux d’évolution moyen annuel de la subvention,  de2003 à 2005.

5°. L’association a besoin d’une subvention de 7000 € en 2006. Calculer le taux d’évolution entre 2005 et  2006nécessaire pour que cette subvention soit accordée, puis calculer le taux d’évolution entre 2003 et  2006.Les résultats seront éventuellement donnés arrondis à 0,01 % prés.

6°. Déterminer une valeur approchée, à 0,01 % prés, du taux d’évolution moyen annuel de la subvention,  de2003 à 2006. Exercice2ints3po:

1. La population d’une commune rurale diminue de 2% par an. Sa population aura diminué de moitié  dans: a. 15 ansb. 20 ansc. 35 ansd. 50 ans

2. Le prix d’un article augmente d’un certain pourcentage puis baisse immédiatement du même  pourcentage.Finalement le prix de cet article : a.a augmenté b. a baissé c. n’a pas varié d. on ne peut pas savoir

3. La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000. Le taux d’accroissement moyen annuel a été de  a. 3%b. 2,75%c. 2,5%d. 1,75%

Exercice 3-9points

 Uneentreprise fabrique et commercialise un produit. Sa capacité de production, sur un mois, lui  permetde réaliser entre 0 et 13 tonnes de ce produit. On désigne par x le nombre de tonnes de  produitfabriqué par l'entreprise en un mois. 3 2  Lecoût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par : f(x)1x%15x#75x .  Cetteentreprise vend l'intégralité de ce qu'elle produit au prix de 36,75 milliers d'euros la tonne.  Larecette, pourxtonnes produites, est notée R(x) , exprimée en milliers d'euros.  Ondonne représentationgraphiqueCde la fonction f C sur l'intervalle [0 ;13].  Unitésgraphiques : 1 cm pour 1 tonne en abscisse et 2 cm pour 100 milliers d'euros en ordonnée. Partie A :

1.Calculer la recette, en milliers d'euros, pour une production de 3 tonnes puis de 10 tonnes.

2.Donner l'expression de R(x) en fonction dexet représenter la fonction R dans le repère donné ci-dessous.

3.Dans cette question, les tracés nécessaires aux déterminations graphiques devront figurer sur le schéma.

a)Déterminer graphiquement l'intervalle auquel doit appartenirxpour que l'entreprise réalise un bénéfice.

b)Déterminer graphiquement un intervalle dans lequel se situe la valeur dexpermettant d'obtenir un  bénéficemaximum. Partie B : x  Danscette partie, on se propose de déterminer plus précisément cette valeur depermettant d'obtenir un  bénéficemaximum (cf. question 3. b) précédente).On admet que B(x)1R(x)%f(x)

1.On désigne par B(x) le bénéfice réalisé pourxappartenant à l'intervalle [5 ; 10]. 3 2  Montrerque B(x)1 %x#15x%38, 25x . 1 %% 2.Calculer B'(x) où B la dérivée de la fonction' désigne B . Montrer que B'(x) 3(x1, 5)(8, 5x) .

3.Préciser le signe de B'(x) pour xappartenant à l'intervalle [5 ;10] .  Dresserle tableau de variations de la fonction B sur cet intervalle.

4.Quelle est la valeur dexqui assure un bénéfice maximum ?  Quelleest alors la valeur de ce maximum en milliers d'euros ?

en milliers d'euros 500

450

400

350

300

250

200

150

100

50

C

tonnes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13

Exercice n°1 :  Lasubvention accordée à une association par une collectivité locale a été de 5 000 € pour 2003. Pour  2004,la subvention a été augmentée de 15 % ; et pour 2005, la subvention a été augmentée de 9 %. Année 20042005 Taux d’évolution+15% +9% æ 15 ö 5000´1# 15000´1,1515750 1. Montant de la subvention en 2004 : ç ¸ 100 è ø  En2004, la subvention est de5750 € æ 9 ö 5750´1# 15750´1, 0916267,5  Montantde la subvention en 2005 : ç ¸ 100 è ø  En2004, la subvention est de6267,5 € 2.Coefficient multiplicateur correspondant à l’évolution de la subvention entre 2003 et2005 : æ 15 öæ 9 ö 1#1# 11,15´1, 0911,2535 ç ¸ç ¸ 100 100 è øè ø  Lecoefficient multiplicateur correspondant à l’évolution de la subvention entre 2003 et 2005 est 1,2535 %4 1#t1C t1C%111, 2535%110,2535 à près 3.On a 200|2005 200|3 2005 donc 2003|2005 200|3 2005 10 10,  soit t 2003|2005 2535 . Donc, sous forme de pourcentage, le taux d’évolution de la subvention entre  2003et 2005est25,35 %.

1/ 2 4.On a la formule suivante : 1#t1 ( (1#t)(1#t) ! 1(1#t)(1#t)11, 2535 moyen1 21 2 %4 ; ;  D’où t11, 2535%1 1,11959%10,1196 à près. moyen 10  Doncune valeur approchée, à 0,01 % prés, du taux d’évolution moyen annuel de lasubvention, de 2003  à2005 est de 11,96 %. 7000%6267, 5 %4 t1 »0,1169 On aà 5. 2005|2006 Pour que l’association obtienne une subvention10 près. 6267, 5  de7000 € en 2006, le taux d’évolution entre 2005 et 2006 doit être d’environ11,69 %. 7000-5000 t ==0  Ona : 003|2006 ,4 . Pour que l’association obtienne une subvention de 7000 € 2 5000  en2006, letaux d’évolution entre 2003 et 2006 doit être de40 %. 3 6. (1 On a la formule suivante : #t)1(1#t)(1#t)(1#t)11, 4 Moyen1 2 3 1/ 31/ 3 %4  D’où 1#t1 ( 1, 4 ! c’est-à-dire t1 ( 1, 4 ! %1;1,1187%1;0,1187 à près.Donc, à Moyen Moyen 10  0,01% prés, le taux d’évolution moyen annuel de la subvention, de 2003 à 2006 est d’environ11,87 % Exercice 2

1. La population d'une commune rurale diminue de 2% par an. Sa population aura diminué de moitié 35  dans:C : 35 anscar ( 0, 98 ! »0, 5 2. Le prix d'un article augmente d'un certain pourcentage puis baisse immédiatement du même 2 æ t ö æ t ö t 1 +1 =1 <1  pourcentage.Finalement le prix de cet article: B : a baissécar %% ¸ ç ¸ç 100 10010000 è øè ø 3. La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000.Le taux d'accroissement moyen annuel a été de 40 40  D : 1,75% car ( 1 + 0, 0175 ! = ( 1, 0175 ! » 2

Exercice 3 PARTIE A : 1.Recette, en milliers d'euros, pour une production de 3 tonnes : 36,753 = 110,25 milliers d'euros  Recette,en milliers d'euros, pour une production de 10 tonnes :36,75 10= 367,5 milliers d'euros

2.R (x) = 36,75x

3.aSur l'intervalle [3,25 ; 11,75] la courbe représentation de la fonction R est au dessus de la courbe  doncc'est sur cet intervalle que l'entreprise réalise un bénéfice. L'entreprise réalise donc un bénéfice pour une production comprise entre 3,25 tonnes et 11,75 tonnes.

3.b.Ce bénéfice est maximum sur l'intervalle [8 ; 9]. PARTIE B : 3 23 23 2 1. B(x)1R(x)%C(x)136, 75x%(x1%5x7#5x) 316, 75x x%1#5x7%5x1x%15#x38,%25x 3 2  B(x)1 %x#15x%38, 25 x . 2 2. B'(x)1 %3x#30x%38, 25 2 22  3(x%1, 5)(8, 5%x)13(8, 5x%x1,%5 8,´5 1,#5x) 31 ( x%10#x12%, 75 ! 31x%30x#3 1%2, 7´5 donc B'(x)13(x%1, 5)(8, 5%x) 3.Pourxappartenant à l'intervalle [5 ; 10] , 3x%1, 520 , B'(x du signe de 8,5 ) est %xsur [1 ; 5] ( ! B(5)158, 75B(8, 5)1144, 5 ; B(10)1 . 117, 5 ; x 5 8,510 B'(x)  +0%  144,5 B(x) 58,75 117,5 4.La valeur dexqui assure un bénéfice maximum est 8,5 tonnes et le maximum est 144,5 milliers d'euros .

y en milliers d'euros 500

450 432,55 400

350

300

250

200 167,5 150 119,64 100

50

R

C bénéfice maximal  bénéfice

8,5 3,25 11,7 tonnes 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13x